高中数学人教版新课标A选修2-13.2立体几何中的向量方法第1课时课时作业

3.2　立体几何中的向量方法

第1课时　空间的平行与垂直

基础过关练

题组一　方向向量与法向量

1.若A(1,0,-1),B(2,1,2)在直线l上,则直线l的一个方向向量是(　　)

A.(2,2,6) B.(-1,1,3)  

C.(3,1,1)  D.(-3,0,1)

2.如图,在空间直角坐标系中,ABCD-A1B1C1D1是棱长为1的正方体,给出下列结论:

①直线DD1的一个方向向量为(0,0,1);

②直线BC1的一个方向向量为(0,1,1);

③平面ABB1A1的一个法向量为(0,1,0);

④平面B1CD的一个法向量为(1,1,1).

其中正确的有(　　)

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

3.已知A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1),则下列向量是平面ABC的法向量的是(　　)

A.(1,1,-1) B.(1,-1,1)

C.(-1,1,1) D.(-1,-1,-1)

4.若a=是平面α的一个法向量,且b=(-1,2,1),c=与平面α都平行,则向量a等于(　　)

A. 

B.

C. 

D.

5.若A,B,C是平面α内的三点,设平面α的法向量a=(x,y,z),则x∶y∶z=　　　　. 

6.正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F分别为棱A1D1、A1B1的中点,在如图所示的空间直角坐标系中,求:

(1)平面BDD1B1的一个法向量;

(2)平面BDEF的一个法向量.

题组二　利用空间向量解决平行问题

7.已知直线l的一个方向向量是a=(3,2,1),平面α的一个法向量是u=(-1,2,-1),则l与α的位置关系是(　　)

A.l⊥α B.l∥α

C.l与α相交但不垂直 D.l∥α或l⊂α

8.平面α的法向量u=(x,1,-2),平面β的法向量v=,已知α∥β,则x+y=(　　)

A. B. C.3 D.

9.已知O为坐标原点,四面体OABC中,A(0,3,5),B(1,2,0),C(0,5,0),直线AD∥BC,并且AD交坐标平面xOz于点D,则点D的坐标为　　　　. 

题组三　利用空间向量解决垂直问题

10.已知平面α的一个法向量为a=(1,2,-2),平面β的一个法向量为b=(-2,-4,k),若α⊥β,则k=(　　)

A.4 B.-4 C.5 D.-5

11.已知点A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1),点D满足条件:DB⊥AC,DC⊥AB,AD=BC,则点D的坐标为(　　)

A.(1,1,1) 

B.(-1,-1,-1)或

C. 

D.(1,1,1)或

12.已知P是平行四边形ABCD所在平面外一点,如果=(2,-1,-4),=(4,2,0),=(-1,2,-1).给出下列结论:①AP⊥AB;②AP⊥AD;③是平面ABCD的一个法向量;④∥.其中正确的是　　　　(填序号). 

13.如图,已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直,AB=,AF=1,M是线段EF的中点.求证:AM⊥平面BDF.

题组四　向量法的综合应用

14.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别在A1D,AC上,且A1E=A1D,AF=AC,则下列说法正确的是(　　)

A.EF至多与A1D,AC之一垂直

B.EF⊥A1D,EF⊥AC

C.EF与BD1相交

D.EF与BD1异面

15.如图所示,已知PA⊥平面ABCD,四边形ABCD为矩形,PA=AD,M,N分别为AB,PC的中点.求证:

(1)MN∥平面PAD;

(2)平面PMC⊥平面PDC.

16.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为直角梯形,且AD∥BC,∠ABC=∠PAD=90°,侧面PAD⊥底面ABCD,PA=AB=BC=AD.

(1)求证:CD⊥平面PAC;

(2)侧棱PA上是否存在点E,使得BE∥平面PCD?若存在,指出点E的位置并证明;若不存在,请说明理由.

能力提升练

一、选择题

1.(2019浙江温州十五校联合体期末,★★☆)u=(2,-2,2)是平面α的一个法向量,v=(1,2,1)是平面β的一个法向量,则下列命题正确的是(　　)

A.α,β平行 B.α,β垂直

C.α,β重合 D.α,β不垂直

2.(2019北京房山高二期末,★★☆)若d=(4,2,3)是直线l的方向向量,n=(-1,3,0)是平面α的法向量,则直线l与平面α的位置关系是(　　)

A.垂直 

B.平行

C.直线l在平面α内 

D.相交但不垂直

3.(2019河北张家口一中高二月考,★★★)如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,以下结论不正确的是(　　)

A.异面直线A1D与AB1所成的角为60°

B.直线A1D与BC1垂直

C.直线A1D与BD1平行

D.三棱锥A-A1CD的体积为a3

二、填空题

4.(★★☆)如图所示,已知矩形ABCD中,AB=1,BC=a,PA⊥平面ABCD,若在BC上只有一点Q满足PQ⊥QD,则实数a的值为　　　　. 

5.(★★★)如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1=AD=1,E为CD的中点,点P在棱AA1上,且DP∥平面B1AE,则AP的长为　　　　. 

三、解答题

6.(★★☆)如图,在四棱锥P-ABCD中,PC⊥平面ABCD,PC=2,在四边形ABCD中,∠ABC=∠BCD=90°,AB=4,CD=1,点M在PB上,PB=4PM,PB与平面ABCD成30°角.求证:

(1)CM∥平面PAD;

(2)平面PAB⊥平面PAD.

7.(2018浙江宁波高二期中,★★★)如图,在四棱锥P-ABCD中,PD⊥底面ABCD,底面ABCD为正方形,PD=DC,E,F分别是AB,PB的中点.

(1)求证:EF⊥CD;

(2)在平面PAD内求一点G,使GF⊥平面PCB,并说明点G的位置.

答案全解全析

基础过关练

1.A　由题意知=(1,1,3),因为A,B在直线l上,所以与共线的向量是直线l的方向向量,选项中只有(2,2,6)符合,故选A.

2.C　DD1∥AA1,=(0,0,1),∴①正确;BC1∥AD1,=(0,1,1),∴②正确;直线AD⊥平面ABB1A1,=(0,1,0),∴③正确;点C1的坐标为(1,1,1),与平面B1CD不垂直,∴④错误.

3.D　=(-1,1,0),=(-1,0,1).设平面ABC的法向量为n=(x,y,z),则有取x=-1,则y=-1,z=-1.故平面ABC的一个法向量是(-1,-1,-1).

4.D　由题意知a·b=0,a·c=0,即解得

所以a=.

5.答案　2∶3∶(-4)

解析　=,=,因为a为平面α的法向量,

所以a·=0,a·=0,

所以解得

所以x∶y∶z=y∶y∶=2∶3∶(-4).

6.解析　(1)设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,则D(0,0,0),B(2,2,0),A(2,0,0),C(0,2,0),E(1,0,2).

(1)连接AC,易知AC⊥平面BDD1B1,所以=(-2,2,0)为平面BDD1B1的一个法向量.

(2)=(2,2,0),=(1,0,2).

设平面BDEF的法向量为n=(x,y,z),

则∴∴

令x=2,得y=-2,z=-1.

∴n=(2,-2,-1)为平面BDEF的一个法向量.

7.D　因为a·u=-3+4-1=0,所以a⊥u,所以l∥α或l⊂α.

8.A　∵α∥β,∴u=λv(λ∈R),即解得λ=-4,y=-,x=4,

∴x+y=4-=.

9.答案　(1,0,5)

解析　∵D∈平面xOz,∴设D(x,0,z),

则=(x,-3,z-5),易知=(-1,3,0).

∵直线AD∥BC,∴∥,∴存在λ∈R,使(x,-3,z-5)=λ(-1,3,0),

∴即

∴点D的坐标为(1,0,5).

10.D　∵α⊥β,∴a⊥b,∴a·b=1×(-2)+2×(-4)+(-2)k=-2-8-2k=0,∴k=-5.

11.D　设D(x,y,z),则=(x,y-1,z),=(x,y,z-1),=(x-1,y,z),=(-1,0,1),=(-1,1,0),=(0,-1,1).

由⊥得-x+z=0,①

由⊥得-x+y=0,②

由AD=BC得(x-1)2+y2+z2=2,③

联立①②③,得x=y=z=1或x=y=z=-,所以点D的坐标为(1,1,1)或.故选D.

12.答案　①②③

解析　·=2×(-1)+(-1)×2+(-4)×(-1)=-2-2+4=0,则⊥,即AB⊥AP,故①正确.·=4×(-1)+2×2+0=0,则⊥,即AP⊥AD,故②正确.又AB∩AD=A,∴AP⊥平面ABCD,故是平面ABCD的一个法向量,故③正确.=-=(2,3,4),∴与不平行,故④错误.

13.证明　以C为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,则A(,,0),B(0,,0),D(,0,0),F(,,1),E(0,0,1),M.

所以=,=(0,,1),=(,-,0).

设n=(x,y,z)是平面BDF的法向量,

则n⊥,n⊥,

所以即

取y=1,得x=1,z=-,

则n=(1,1,-).

因为=,

所以n=-,则n与共线.

所以AM⊥平面BDF.

14.B　分别以DA,DC,DD1所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系,不妨设正方体的棱长为1,则D(0,0,0),A1(1,0,1),A(1,0,0),C(0,1,0),E,F.

∴=(1,0,1),=(-1,1,0),

=,

∴·=0,·=0,

∴EF⊥A1D,EF⊥AC.

又B(1,1,0),D1(0,0,1),∴=(-1,-1,1),则=-3,所以EF与BD1平行.故选B.

15.证明　如图所示,以A为坐标原点,AB,AD,AP所在的直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系Axyz.设PA=AD=a,AB=b.

(1)P(0,0,a),A(0,0,0),D(0,a,0),

C(b,a,0),B(b,0,0).

因为M,N分别为AB,PC的中点,

所以M,N.

所以=,

又=(0,0,a),=(0,a,0),

所以=+.

又因为MN⊄平面PAD,

所以MN∥平面PAD.

(2)由(1)可知P(0,0,a),C(b,a,0),M,D(0,a,0).

所以=(b,a,-a),=,=(0,a,-a).

设平面PMC的法向量为n1=(x1,y1,z1),

则即

所以

令z1=b,则n1=(2a,-b,b).

设平面PDC的法向量为n2=(x2,y2,z2),

则即

所以

令z2=1,则n2=(0,1,1).

因为n1·n2=0-b+b=0,所以n1⊥n2,

所以平面PMC⊥平面PDC.

16.解析　因为∠PAD=90°,所以PA⊥AD.又因为侧面PAD⊥底面ABCD,且侧面PAD∩底面ABCD=AD,所以PA⊥底面ABCD.又因为∠BAD=90°,所以AB,AD,AP两两垂直.分别以AB,AD,AP所在直线为x轴,y轴,z轴建立如图所示的空间直角坐标系.

设AD=2,则A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,1,0),D(0,2,0),P(0,0,1).

(1)证明:=(0,0,1),=(1,1,0),=(-1,1,0),

所以·=0,·=0,所以AP⊥CD,AC⊥CD.

又因为AP∩AC=A,所以CD⊥平面PAC.

(2)侧棱PA上存在点E,使BE∥平面PCD,且E为PA的中点.证明如下:因为E为PA的中点,所以E,=.

设平面PCD的法向量为n=(x,y,z),则

因为=(-1,1,0),=(0,2,-1),

所以取x=1,则y=1,z=2,

所以平面PCD的一个法向量为n=(1,1,2).

所以n·=(1,1,2)·=0,所以n⊥.

因为BE⊄平面PCD,所以BE∥平面PCD.

故当E为PA的中点时,BE∥平面PCD.

能力提升练

一、选择题

1.B　u·v=2×1-2×2+2×1=0,∴u⊥v,

∴平面α与β垂直,故选B.

2.D　 因为不存在实数λ,使d=λn,所以d与n不平行,因此直线l与平面α不垂直,又d·n=4×(-1)+2×3+3×0=2,所以d与n不垂直,从而直线l与平面α不平行,故直线l与平面α相交但不垂直.

3.C　如图所示,建立空间直角坐标系,

则A1(a,0,a),D(0,0,0),A(a,0,0),B1(a,a,a).

∴=(-a,0,-a),=(0,a,a),

∴cos<,>===-,又异面直线所成的角大于0°且小于等于90°,

∴异面直线A1D与AB1所成的角为60°,故A中结论正确;

易知C1(0,a,a),B(a,a,0),=(-a,0,a),

∴·=(-a,0,-a)·(-a,0,a)=a2-a2=0,∴直线A1D与BC1垂直,故B中结论正确;

易知D1(0,0,a),=(-a,-a,a),

∴·=(-a,0,-a)·(-a,-a,a)=a2-a2=0,∴直线A1D与BD1垂直,故C中结论错误;三棱锥A-A1CD的体积=×a2·a=a3,故D中结论正确,故选C.

二、填空题

4.答案　2

解析　以A为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系.

则D(0,a,0),设Q(1,y,0),P(0,0,z),则=(1,y,-z),=(-1,a-y,0).由·=0,得-1+y(a-y)=0,即y2-ay+1=0.当Δ=a2-4=0,即a=2时,只有一个点Q满足PQ⊥QD.

5.答案　

解析　分别以AB,AD,AA1所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系(图略),

设AB=a,点P坐标为(0,0,b),则A(0,0,0),B1(a,0,1),D(0,1,0),E,

=(a,0,1),=,=(0,-1,b).∵DP∥平面B1AE,

∴存在实数λ,μ,使=λ+μ,

即(0,-1,b)=λ(a,0,1)+μ=.

∴∴b=λ=,即AP=.

三、解答题

6.证明　以C为坐标原点,CB所在直线为x轴,CD所在直线为y轴,CP所在直线为z轴,建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz.

∵PC⊥平面ABCD,

∴∠PBC为PB与平面ABCD所成的角,

∴∠PBC=30°.

∵PC=2,∴BC=2,PB=4.

∴C(0,0,0),D(0,1,0),B(2,0,0),A(2,4,0),P(0,0,2),M,

∴=(0,-1,2),=(2,3,0),=.

(1)设n=(x,y,z)为平面PAD的法向量,

由得

令y=2,得n=(-,2,1).

∵n·=-×+2×0+1×=0,

∴n⊥.

又CM⊄平面PAD,∴CM∥平面PAD.

(2)如图,取AP的中点E,连接BE,

则E(,2,1),=(-,2,1).

∵PB=AB,∴BE⊥PA.

又∵·=(-,2,1)·(2,3,0)=0,

∴⊥,即BE⊥DA.

又∵PA∩DA=A,∴BE⊥平面PAD.

∵BE⊂平面PAB,

∴平面PAB⊥平面PAD.

7.解析　(1)证明:以DA,DC,DP所在的直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系(如图).

设AD= a,则D(0,0,0),A(a,0,0),B(a,a,0),C(0,a,0),E,P(0,0,a),F,∴=,=(0,a,0),

∴·=·(0,a,0)=0,

∴⊥,即EF⊥CD.

(2)∵G∈平面PAD,∴可设G(x,0,z),

∴=.

由(1)知=(a,0,0),=(0,-a,a).

要使GF⊥平面PCB,

只需·=·(a,0,0)=a=0,

·=·(0,-a,a)=+a=0,

∴x=,z=0.

∴点G的坐标为,即点G为AD的中点.