数学选修2-1第三章 空间向量与立体几何综合与测试同步达标检测题

专题强化练6　空间向量与立体几何的综合应用

解答题

1.(2018安徽合肥高三二检,★★☆)如图1,在矩形ABCD中,AB=1,AD=2,E为AD的中点,沿BE将△ABE折起至△PBE的位置,如图2,点P在平面BCDE上的射影O落在BE上.

(1)求证:BP⊥CE;

(2)求二面角B-PC-D的余弦值.

2.(2019福建长泰一中高二期末,★★☆)如图,在平行四边形ABCD中,AB=1,BD=,∠ABD=90°,将△ABD沿对角线BD折起,使得AC=2.

(1)求证:平面ABD⊥平面BCD;

(2)求异面直线BC与AD所成角的余弦值;

(3)E为线段AC上的一个动点,当线段EC的长为多少时,DE与平面BCD所成角的正弦值为?

3.(2019湖北大冶一中高二月考,★★★)如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是边长为2的正方形,侧面PAB⊥底面ABCD,PA⊥PB.

(1)求证:平面PAD⊥平面PBC;

(2)当三棱锥P-ABC的体积最大时,求二面角B-AC-P的余弦值.

4. (2020北京丰台高三期末,★★★)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥平面ABC,∠BAC=,AA1=AB=AC=1,H为CC1的中点.

(1)求证:AB⊥A1C;

(2)求二面角A1-BC-A的余弦值;

(3)问:在棱A1B1上是否存在点N,使得HN∥平面A1BC?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.

答案全解全析

解答题

1.解析　(1)证明:∵点P在平面BCDE上的射影O落在BE上,

∴PO⊥平面BCDE,∴PO⊥CE.

由题意知BE⊥CE,又PO∩BE=O,

∴CE⊥平面PBE,

∵BP⊂平面PBE,∴BP⊥CE.

(2)以O为坐标原点,过点O且平行于CD的直线为x轴,过点O且平行于BC的直线为y轴,PO所在的直线为z轴,建立如图所示的空间直角坐标系.

易知O为BE的中点,

则B,C,

D,P,

∴=(-1,0,0),=,=,=(0,2,0).

设平面PCD的法向量为n1=(x1,y1,z1),

则

即令z1=,

可得n1=为平面PCD的一个法向量.

设平面PBC的法向量为n2=(x2,y2,z2),

则即

令z2=,可得n2=(2,0,)为平面PBC的一个法向量.

∴cos<n1,n2>==,

由题图可知,二面角B-PC-D的平面角为钝角,故二面角B-PC-D的余弦值为-.

2.解析　(1) 证明:在Rt△ABD中,AD==.

∵四边形ABCD是平行四边形,

∴BC=AD=,CD=AB=1,又AC=2,

∴在△ABC中,AB2+BC2=AC2,

∴AB⊥BC,

又AB⊥BD,BC∩BD=B, ∴AB⊥平面BCD,又AB⊂平面ABD,

∴平面ABD⊥平面BCD.

(2)如图,以B为坐标原点建立空间直角坐标系.

则A(0,0,1),D(0,,0),C(1,,0),从而=(1,,0),=(0,-,1),

cos<,>===-,

∴异面直线BC与AD所成角的余弦值为.

(3)=(1,0,0),=(-1,-,1).

设=λ=(-λ,-λ,λ)(0≤λ≤1),则=+=(1-λ,-λ,λ),

易知平面BCD的一个法向量为n=(0,0,1), 设DE与平面BCD所成的角为θ,

则sin θ=|cos<,n>|==,

∴= ,解得λ=(负值舍去),

∴=,即CE=.

3.解析　(1)证明:∵侧面PAB⊥底面ABCD,侧面PAB∩底面ABCD=AB,四边形ABCD为正方形,∴BC⊥AB,BC⊂平面ABCD,

∴BC⊥平面PAB,

又AP⊂平面PAB,∴AP⊥BC,

又AP⊥PB,PB∩BC=B,

∴AP⊥平面PBC,又AP⊂平面PAD,

∴平面PAD⊥平面PBC.

(2)VP-ABC=VC-APB=××PA×PB×BC=×PA×PB,

当PA×PB最大时,VP-ABC最大.

令PA=x,PB=y,∵PA⊥PB,∴x2+y2=4,

∴VP-ABC=xy≤×=,当且仅当x=y=,即PA=PB=时,VP-ABC取得最大值,为.

如图所示,分别取线段AB,CD的中点O,F,连接OP,OF,以O为坐标原点,OP,OB,OF所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系Oxyz.

则A(0,-1,0),C(0,1,2),P(1,0,0),

所以=(1,1,0),=(0,2,2),

设n=(x,y,z)为平面PAC的法向量,则即令x=1,则y=-1,z=1,

∴n=(1,-1,1),

易知m=(1,0,0)为平面ABC的一个法向量,设二面角B-AC-P的平面角为θ,又θ为锐角,

∴cos θ==.

4.解析　(1)证明:因为AA1⊥平面ABC,AB⊂平面ABC,所以AA1⊥AB.

因为∠BAC=,所以AC⊥AB.

又AC∩AA1=A,

所以AB⊥平面A1AC.

因为A1C⊂平面A1AC,所以AB⊥A1C.

(2)由(1)可知AB,AC,AA1两两垂直,如图,建立空间直角坐标系Axyz.

因为AA1=AB=AC=1,

所以A(0,0,0),B(1,0,0),C(0,1,0),A1(0,0,1).

因为AA1⊥平面ABC,

所以=(0,0,1)即为平面ABC的一个法向量.

设平面A1BC的法向量为n=(x,y,z),

=(1,0,-1),=(0,1,-1),

则 即

令z=1,则x=1,y=1,

于是n=(1,1,1).

所以cos<,n>==.

由题图知二面角A1-BC-A为锐角,所以其余弦值为.

(3)假设棱A1B1上存在点N,使得HN∥平面A1BC.

设=λ(0≤λ≤1),易知=(1,0,0),所以=(λ,0,0).

因为C1(0,1,1),H为CC1的中点,所以H.

所以=+=.

若HN∥平面A1BC,则·n=λ-1+=0,解得λ=∈[0,1].

又因为HN⊄平面A1BC.

所以在棱A1B1上存在点N,使得HN∥平面A1BC,且=.