高中数学人教版新课标A选修2-21.3导数在研究函数中的应用免费练习题

第一章　导数及其应用

1.3　导数在研究函数中的应用

1.3.1　函数的单调性与导数

基础过关练

题组一　利用导数研究函数的图象变化

1.导函数y=f'(x)的图象如图所示,则函数y=f(x)的图象可能是(　　)

2.已知y=xf'(x)的图象如图所示(其中f'(x)是函数f(x)的导函数),下面四个图象中,y=f(x)的图象大致是(　　)

3.设f'(x)是函数f(x)的导函数,将y=f(x)和y=f'(x)的图象画在同一个平面直角坐标系中,不正确的是(　　)

4.(2019内蒙古集宁一中高二下期中)f(x)在定义域内可导,y=f(x)的图象如图所示,则导函数y=f'(x)的图象可能为(　　)

题组二　利用导数确定函数的单调性与单调区间

5.(2019河北唐山开滦二中高二下期中)函数f(x)=x3-3x2+1的单调递减区间为(　　)

A.(2,+∞)   B.(-∞,2)

C.(-∞,0)   D.(0,2)

6.函数f(x)=2x+cos x在(-∞,+∞)上是(　　)

A.增函数   B.减函数

C.先增后减   D.不确定

7.函数f(x)=ln x-x的单调递增区间为　　　　. 

8.函数f(x)=x3-3x的单调递减区间为　　　　. 

9.(2019北京海淀一o一中学高二下期中)函数f(x)=x2-2ln x的单调递减区间为　　　　. 

10.求下列函数的单调区间.

(1)f(x)=3x2-2ln x;

(2)f(x)=x2·e-x;

(3)f(x)=x+.

题组三　利用导数处理含参函数的单调性

11.(2019河北鹿泉一中高二月考)若函数f(x)=x3-3bx+1在区间[1,2]内是减函数,b∈R,则(　　)

A.b≤4 B.b<4

C.b≥4 D.b>4

12.(2019天津耀华中学高二下期中)若函数f(x)=ln x+ax2-2在区间内存在单调递增区间,则实数a的取值范围是(　　)

A.(-∞,-2] B.

C. D.(-2,+∞)

13.(2019福建厦门一中高二下期中)已知函数f(x)=在区间(a,a+2)上不是单调函数,则实数a的取值范围是(　　)

A.(-1,1) B.[0,1]

C.[0,1) D.

14.已知函数f(x)=x3+ax2+(2a-3)x-1.

(1)若f(x)的单调递减区间为(-1,1),求实数a的值;

(2)若f(x)在区间(-1,1)内单调递减,求实数a的取值范围.

15.(2019辽宁丹东高三总复习质量测试)已知a≤0,设函数f(x)=,试讨论f(x)的单调性.

题组四　利用导数解决不等式问题

16.(2019广西梧州高二下期末)已知函数f(x)为R上的奇函数,且当x≥0时, f(x)=-ex+1+mcos x,记a=-2f(-2),b=-f(-1),c=3f(3),则a,b,c间的大小关系是　(　　)

A.b<a<c B.a<c<b

C.c<b<a D.c<a<b

17.(2019四川雅安高二下期末)设f(x),g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,且f'(x),g'(x)分别是f(x),g(x)的导数,当x<0时, f'(x)g(x)+f(x)g'(x)>0且g(6)=0,则不等式f(x)g(x)<0的解集是(　　)

A.(-6,0)∪(6,+∞) B.(-6,0)∪(0,6)

C.(-∞,-6)∪(0,6) D.(-∞,-6)∪(6,+∞)

18.(2019天津耀华中学高二下期中)定义在(0,+∞)上的函数f(x)满足x2f'(x)+1>0, f(1)=5,则不等式f(x)<+4的解集为　　　　. 

19.(2019浙江丽水高二下期末)已知奇函数y=f(x)(x∈R且x≠0), f'(x)为f(x)的导函数,当x>0时,xf'(x)-f(x)>0,且f(2)=0,则不等式f(x)≤0的解集为　　　　　　　　. 

能力提升练

一、选择题

1.(2019河南郑州高三预测,★★☆)下列函数既是奇函数,又在[-1,1]上单调递增的是(　　)

A.f(x)=|sin x|   B.f(x)=ln

C.f(x)=(ex-e-x)   D.f(x)=ln(-x)

2.(2020重庆南开中学高二期末,★★☆)已知定义在R上的函数f(x),其导函数f'(x)的图象如图所示,则下列叙述正确的是(　　)

A.f(b)>f(c)>f(d) B.f(b)>f(a)>f(e)

C.f(c)>f(b)>f(a) D.f(c)>f(e)>f(d)

3.(2019山西太原高三上期中,★★☆)函数y=x++2ln x的单调递减区间是(　　)

A.(-3,1) B.(0,1)

C.(-1,3) D.(0,3)

4.(2019北京海淀一o一中学高二下期中,★★☆)已知函数f(x)=ln x-x+,若a=f,b=f(π),c=f(5),则(　　)

A.c<b<a B.c<a<b

C.b<a<c D.a<c<b

5.(2019河北石家庄高二下期末,★★☆)在R上可导的函数f(x)的图象如图所示,则关于x的不等式x·f'(x)>0的解集为(　　)

A.(-∞,-1)∪(0,1) B.(-1,0)∪(1,+∞)

C.(-2,-1)∪(1,2) D.(-∞,-2)∪(2,+∞)

6.(2019山东聊城一中高三上期中,★★★)函数f(x)=sin x+2xf', f'(x)为f(x)的导函数,令a=,b=log32,则下列关系正确的是(　　)

A.f(a)<f(b) B.f(a)>f(b)

C.f(a)=f(b) D.f(a)≤f(b)

二、填空题

7.(★★☆)若函数f(x)=x2-x+1+aln x在(0,+∞)上单调递增,则实数a的最小值是　　　　. 

8.(2019河北张家口高三上期末,★★☆)函数f(x)=sin x-aln x在上单调递增,则实数a的取值范围是　　　　. 

9.(2019云南昭通云天化中学高二下月考,★★☆)若定义在R上的函数f(x)满足f(1-x)=f(1+x),且当x<1时, f(x)=,则满足f(a-1)>f(a)的a的取值范围是　　　　. 

10.(2019安徽黄山高三检测,★★★)设定义域为R的函数f(x)满足f'(x)>f(x),则不等式ex-1f(x)<f(2x-1)的解集为　　　　. 

三、解答题

11.(2019河北石家庄高二下期末,★★☆)已知函数f(x)=ln x+ax-.

(1)若f(x)的图象在x=1处的切线与x轴平行,求a的值;

(2)当a=-2时,求f(x)的单调区间.

答案全解全析

基础过关练

1.D　∵当x>0时, f'(x)>0,当x<0时, f'(x)<0,∴函数f(x)在(0,+∞)上是增函数,在(-∞,0)上是减函数,故选D.

2.C　当0<x<1时,xf'(x)<0,

∴f'(x)<0,故y=f(x)在(0,1)上为减函数;

当x>1时,xf'(x)>0,∴f'(x)>0,

故y=f(x)在(1,+∞)上为增函数.故选C.

3.D　A,B,C均有可能;对于D,若C1为导函数,则y=f(x)应为增函数,不符合;若C2为导函数,则y=f(x)应为减函数,也不符合,故选D.

4.D　当x∈(-∞,0)时,原函数单调递增,则f'(x)>0,排除A,C,当x∈(0,+∞)时,函数单调性为“增”“减”“增”,导数值符号为“正”“负”“正”,只有D满足,故选D.

5.D　因为f(x)=x3-3x2+1,

所以f'(x)=3x2-6x=3x(x-2),

易知在区间(0,2)上f'(x)<0,

所以函数的单调递减区间为(0,2),故选D.

6.A　∵f(x)=2x+cos x,∴f'(x)=2-sin x,

∵sin x∈[-1,1],∴f'(x)>0在(-∞,+∞)上恒成立,

∴f(x)在(-∞,+∞)上是增函数,故选A.

7.答案　(0,1)

解析　易知函数的定义域为(0,+∞), f'(x)=-1,令f'(x)>0,解得0<x<1,

∴f(x)的单调递增区间为(0,1).

8.答案　(-1,1)

解析　由题意得f'(x)=3x2-3=3(x-1)(x+1),

令f'(x)<0,解得-1<x<1,

∴函数的单调递减区间为(-1,1).

9.答案　(0,1)

解析　f'(x)=2x-=,其中x>0,令f'(x)<0,则x∈(0,1),故函数f(x)=x2-2ln x的单调递减区间为(0,1).

10.解析　(1)函数的定义域为(0,+∞).

∵f'(x)=6x-,令f'(x)=0,解得x1=,x2=-(舍去),用x1分割定义域,得下表:

∴函数f(x)的单调递减区间为,单调递增区间为.

(2)函数的定义域为(-∞,+∞).

∵f'(x)=(x2)'e-x+x2(e-x)'=2xe-x-x2e-x=e-x·(2x-x2),令f'(x)=0,又e-x>0,

∴x1=0,x2=2,用x1,x2分割定义域,得下表:

∴f(x)的单调递减区间为(-∞,0)和(2,+∞),单调递增区间为(0,2).

(3)函数的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞).

∵f'(x)=1-,令f'(x)=0,得x1=-1,x2=1,用x1,x2分割定义域,得下表:

∴函数f(x)的单调递减区间为(-1,0)和(0,1),单调递增区间为(-∞,-1)和(1,+∞).

11.C　f'(x)=3x2-3b,

因为函数f(x)=x3-3bx+1在区间[1,2]内是减函数,

所以导函数f'(x)=3x2-3b在区间[1,2]内小于等于0,即b≥4.

故选C.

12.D　因为f(x)=ln x+ax2-2在区间内存在单调递增区间,

所以f'(x)=+2ax>0在区间上成立,即2a>-在区间上有解,

因此,只需2a>-=-4,解得a>-2.

13.C　因为f(x)=(x>0),

所以f'(x)==,

由f'(x)=0得x=1,

所以,当0<x<1时, f'(x)>0,即f(x)=单调递增;

当x>1时, f'(x)<0,即f(x)=单调递减.

又函数f(x)=在区间(a,a+2)上不是单调函数,

所以有解得0≤a<1.

14.解析　由题意得f'(x)=3x2+2ax+2a-3=(x+1)(3x+2a-3).

(1)∵f(x)的单调递减区间为(-1,1),

∴-1和1是方程f'(x)=0的两根,

∴=1,∴a=0.

(2)∵f(x)在区间(-1,1)内单调递减,

∴f'(x)≤0在(-1,1)内恒成立.

又二次函数y=f'(x)的图象开口向上,方程f'(x)=0的一根为-1,

∴≥1,∴a≤0.

∴实数a的取值范围为{a|a≤0}.

15.解析　f'(x)=-.

若a=0,则 f'(x)=-,当x<1时, f'(x)>0,当x>1时, f'(x)<0.所以f(x)在

(-∞,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减.

若a<0,则由f'(x)=0得x=1或x=1-,因为1->1,所以当x<1或x>1-时, f'(x)>0,当1<x<1-时, f'(x)<0.所以f(x)在(-∞,1)和上单调递增,在上单调递减.

16.        D　根据题意得f(0)=m=0,则f(x)=-ex+1.令g(x)=xf(x),则g(x)=xf(x)为R上的偶函数,所以a=-2f(-2)=g(-2)=g(2),b=-f(-1)=g(-1)=g(1),c=3f(3)=g(3).

又当x≥0时,g'(x)=[x(-ex+1)]'=1-ex-xex=-(x+1)ex+1≤0,且只有x=0时,g'(x)=0,

所以g(x)在[0,+∞)内单调递减,所以c<a<b,故选D.

17.        C　根据题意,可设h(x)=f(x)g(x),则h(x)为奇函数,又当x<0时, f'(x)g(x)+f(x)g'(x)>0,所以h(x)在(-∞,0)和(0,+∞)上为增函数,且h(6)=h(6)=0, f(x)g(x)<0转化为h(x)<0,当x<0时,有h(x)<h(-6),则x<-6,

当x>0时,有h(x)<h(6),则0<x<6,故解集是(-∞,-6)∪(0,6).故选C.

18.答案　(0,1)

解析　设g(x)=f(x)--4,x∈(0,+∞),

则g'(x)=f'(x)+.

因为x2f'(x)+1>0,x∈(0,+∞),即f'(x)+>0,x∈(0,+∞),

所以g'(x)>0,故函数g(x)在(0,+∞)上单调递增.

又g(1)=0,故g(x)<0的解集为(0,1),即f(x)<+4的解集为(0,1).

19.答案　(-∞,-2]∪(0,2]

解析　由题意构造函数F(x)=,求导得F'(x)=,

当x>0时,F'(x)>0,

所以F(x)=在(0,+∞)上递增,

因为f(2)=0,所以F(2)=0,则有x∈(0,2]时,F(x)≤0,此时f(x)≤0;

x∈[2,+∞)时,F(x)≥0,此时f(x)≥0.

当x<0时,因为 f(x)为奇函数,所以F(x)是偶函数,根据对称性知,x∈(-∞,-2]时,F(x)≥0,此时f(x)≤0;x∈[-2,0)时,F(x)≤0,此时f(x)≥0.

综上, f(x)≤0的解集为(-∞,-2]∪(0,2].

能力提升练

一、选择题

1.C　对于A, f(x)=|sin x|,其定义域为R,为偶函数,不符合题意;

对于B, f(x)=ln ,其定义域为(-e,e),有f(-x)=ln =-ln =-f(x),为奇函数,设t==-1+,在(-e,e)上为减函数,而y=ln t为增函数,

则f(x)=ln 在(-e,e)上为减函数,不符合题意;

对于C, f(x)=(ex-e-x),其定义域为R,有f(-x)=(e-x-ex)=-(ex-e-x)=-f(x),为奇函数,且f'(x)=(ex+e-x)>0,在R上为增函数,符合题意;

对于D, f(x)=ln(-x),其定义域为R,

f(-x)=ln(+x)=-ln(-x)=-f(x),为奇函数,

设t=-x=,y=ln t,t=在R上为减函数,而y=ln t为增函数,

则f(x)=ln(-x)在R上为减函数,不符合题意.故选C.

2.C　由导函数f'(x)的图象可得f'(x)在(a,c)上为正数,在(c,e)上为负数,所以f(x)在(a,c)上为增函数,在(c,e)上为减函数,

所以f(c)>f(b)>f(a), f(c)>f(d)>f(e).

3.B　易知函数的定义域是(0,+∞),

y'=1-+=,

令y'<0,解得0<x<1,

故函数的单调递减区间为(0,1),故选B.

4.A　f(x)的定义域是(0,+∞),

f'(x)=-1-=-<0,

故f(x)在(0,+∞)上单调递减,

而5>π>,所以f(5)<f(π)<f,即c<b<a.故选A.

5.B　当x>0时,xf'(x)>0⇒f'(x)>0⇒函数f(x)单调递增,结合题图知x>1;

当x=0时,不成立;

当x<0时,xf'(x)>0⇒f'(x)<0⇒函数f(x)单调递减,结合题图知-1<x<0.

综上,所求不等式的解集为(-1,0)∪(1,+∞).

6.B　因为f'(x)=cos x+2f',

f'=cos +2f',

解得f'=-,

所以f(x)=sin x-x.

因为f'(x)=cos x-1≤0,

所以f(x)为减函数.

因为b=log32>log3==a,

所以f(a)>f(b),故选B.

二、填空题

7.答案　

解析　因为函数f(x)=x2-x+1+aln x在(0,+∞)上单调递增,

所以f'(x)=2x-1+≥0在(0,+∞)上恒成立,

即a≥x-2x2在(0,+∞)上恒成立.

令g(x)=x-2x2(x>0),

根据二次函数的性质可知:当x=时,

g(x)max=.

所以a≥,故实数a的最小值是.

8.答案　(-∞,0]

解析　函数f(x)=sin x-aln x在上单调递增,

即f'(x)=cos x-≥0在上恒成立,则a≤xcos x.

令g(x)=xcos x,则g'(x)=cos x-xsin x,

令h(x)=cos x-xsin x,则h'(x)=-2sin x-xcos x<0在上恒成立,

即g'(x)在上单调递减且g'>0,即g'(x)>0恒成立,

则函数g(x)在上单调递增,

可得g(x)>g(0)=0,即a≤0.

9.答案　a>

解析　因为f(1-x)=f(1+x),

所以f(x)的图象关于直线x=1对称,

当x<1时, f(x)= ,则f'(x)= = >0,

所以f(x)在(-∞,1)上单调递增,

由对称性可知:函数f(x)在(1,+∞)上单调递减.

若f(a-1)>f(a),则|a-1-1|<|a-1|,

解得a>.

10.答案　(1,+∞)

解析　设F(x)=,

则F'(x)= ,

∵f'(x)>f(x),

∴F'(x)>0,即函数F(x)在定义域上单调递增.

∵ex-1f(x)<f(2x-1),

∴< ,即F(x)<F(2x-1),

∴x<2x-1,即x>1,

∴不等式ex-1f(x)<f(2x-1)的解集为(1,+∞).

三、解答题

11.解析　(1)f'(x)=+a+=(x>0),由题意知f'(1)=0,解得a=-2.

(2)当a=-2时, f'(x)=-2+=(x>0),

令f'(x)=0,解得x=1或x=-(舍).

当x∈(0,1)时, f'(x)>0, f(x)单调递增;

当x∈(1,+∞)时, f'(x)<0, f(x)单调递减.

综上,函数f(x)的单调递增区间为(0,1),单调递减区间为(1,+∞).