人教版新课标A选修2-2第一章 导数及其应用综合与测试免费同步测试题

第一章　导数及其应用

专题强化练2　利用导数的运算法则与几何意义求切线方程

一、选择题　　　　　　　　　　　　　　　　

1.(2019湖南长郡中学高二期末,★★☆)曲线f(x)=x3-2x+1在点(1, f(1))处的切线方程为(　　)

A.y=x-1 B.y=-x+1

C.y=2x-2 D.y=-2x+2

2.(2019安徽合肥一中高二期中,★★☆)设函数f(x)=aln x+bx2,若函数f(x)的图象在点(1,1)处的切线与y轴垂直,则实数a+b=(　　)

A.1     B.

C.     D.-1

3.(2019辽宁沈阳高二上期末,★★☆)偶函数f(x)=x(ex-ae-x)的图象在x=1处的切线的斜率为(　　)

A.2e    B.e C.  D.e+

4.(2019广东佛山高三月考,★★☆)若曲线y=ex在x=0处的切线也是y=ln x+b的切线,则b=(　　)

A.-1    B.1 C.2  D.e

5.(2019福建泉州泉港一中高二期末,★★☆)设a∈R,函数f(x)=x3-ax2+(a+3)x的导函数是f'(x),若f'(x)是偶函数,则曲线y=f(x)在原点处的切线方程为(　　)

A.y=-3x B.y=-2x

C.y=3x D.y=2x

6.(2019湖北黄冈高三月考,★★★)已知圆C:x2+(y-1)2=R2与函数y=2sin x的图象有唯一交点,且交点的横坐标为α,则=(　　)

A.-2    B.2 C.-3   D.3

二、填空题

7.(2020河北衡水中学高三期末,★★☆)已知函数f(x)=ln x+x2,则曲线f(x)在点(1, f(1))处的切线在y轴上的截距为　　　　. 

8.(2019黑龙江哈尔滨阿城二中高二期中,★★☆)设曲线y=在点(2,5)处的切线与直线ax+y-1=0平行,则a=　　　　. 

9.(2019贵州铜仁一中高二期末,★★☆)已知f(x)=若方程f(x)=ax恰有2个不同的实根,则实数a的取值范围为　　　　. 

三、解答题

10.(2019陕西西安中学高二上期末,★★☆)已知曲线f(x)=x+ln x.

(1)求曲线f(x)在(e, f(e))处的切线方程;

(2)若曲线f(x)在点(1,1)处的切线与曲线y=ax2+(a+2)x+1相切,求实数a的值.

11.(2019安徽定远重点中学高二上期末,★★☆)已知函数f(x)=x3-3x及其图象上一点P(1,-2),过点P作直线l.

(1)求使直线l和曲线y=f(x)相切且以P为切点的直线方程;

(2)求使直线l和曲线y=f(x)相切且切点异于点P的直线方程.

s

12.(★★★)已知函数f(x)=ln x+ax.

(1)当a=1时,求函数f(x)的图象在点P(1, f(1))处的切线方程;

(2)若函数f(x)的图象存在与直线2x-y=0平行的切线,求实数a的取值范围.

答案全解全析

一、选择题

1.A　因为f(x)=x3-2x+1,所以f'(x)=3x2-2,则f(1)=0, f'(1)=1,因此,所求切线方程为y=x-1.

2.D　函数f(x)=aln x+bx2的导数为f'(x)=+2bx,

由题意可得,函数f(x)的图象在点(1,1)处的切线的斜率为f'(1)=a+2b=0,

又f(1)=aln 1+b=1,解得b=1,a=-2,

所以a+b=-1.

3.A　因为函数f(x)为偶函数,

所以f(-x)=f(x),

即-x(e-x-aex)=x(ex-ae-x),解得a=1,

故f(x)=x(ex-e-x),

所以f'(x)=ex-e-x+(ex+e-x)x,

所以f'(1)=e1-e-1+e1+e-1=2e,

故函数f(x)=x(ex-ae-x)的图象在x=1处的切线的斜率为2e.

故选A.

4.C　y=ex的导数为y'=ex,

曲线y=ex在x=0处的切线的斜率为k=e0=1,

则曲线y=ex在x=0处的切线方程为y-1=x,即y=x+1.

y=ln x+b的导数为y'=,

设切点为(m,n),则=1,

解得m=1,则n=2,

则有2=ln 1+b,解得b=2.

故选C.

5.C　f'(x)=3x2-2ax+a+3,

因为f'(x)是偶函数,

所以f'(-x)=f'(x),即3(-x)2+2ax+a+3=3x2-2ax+a+3,解得a=0,

所以f(x)=x3+3x, f'(x)=3x2+3,

则f'(0)=3,

所以曲线y=f(x)在原点处的切线方程为y=3x.

6.B　根据题意,圆C:x2+(y-1)2=R2与函数y=2sin x的图象有唯一交点,

则圆C在交点处的切线与函数y=2sin x的图象在交点处的切线重合.

又交点的横坐标为α,则交点的坐标为(α,2sin α),

对于y=2sin x,其导数为y'=2cos x,

则有y'x=α=2cos α,

则有 =-,

变形可得α=2cos α(1-2sin α)=2cos α-4sin αcos α,

则 = = =2.故选B.

二、填空题

7.答案　-2

解析　由f(x)=ln x+x2,得f'(x)=+2x,

所以f'(1)=3,

又f(1)=1,所以切点为(1,1),

所以切线方程为y-1=3(x-1),即y=3x-2,

令x=0,得y=-2,所以切线在y轴上的截距为-2.

8.答案　4

解析　由y=得

y'==-,

所以y'x=2=-4,

又曲线y=在点(2,5)处的切线与直线ax+y-1=0平行,

所以-a=-4,即a=4.

9.答案　

解析　问题等价于当直线y=ax与函数y=f(x)的图象有2个交点时,求实数a的取值范围.作出函数y=f(x)的图象如图所示:

直线y=ax与曲线y=ln x相切时,设切点为(t,ln t),对函数y=ln x求导得y'=,切线方程为y-ln t=(x-t),即y=x+ln t-1,则有解得

由图象可知,当a=时,直线y=ax与函数y=f(x)的图象在(-∞,1]上没有公共点,在(1,+∞)上有一个公共点,不合乎题意;

当≤a<时,直线y=ax与函数y=f(x)的图象在(-∞,1]上没有公共点,在(1,+∞)上有两个公共点,合乎题意;

当0<a<时,直线y=ax与函数y=f(x)的图象在(-∞,1]上有一个公共点,在(1,+∞)上有两个公共点,不合乎题意;

当a≤0时,直线y=ax与函数y=f(x)的图象在(-∞,1]上只有一个公共点,在(1,+∞)上没有公共点,不合乎题意;

当a>时,直线y=ax与函数y=f(x)的图象在(-∞,1]上至多有1个公共点,在(1,+∞)上没有公共点,不合乎题意.

综上所述,实数a的取值范围是.

三、解答题

10.解析　由题可得f'(x)=1+.

(1)f(e)=e+1,k=f'(e)=1+,

所以曲线在点(e, f(e))处的切线方程为

y-(e+1)=(x-e),即y=x.

(2)函数f(x)=x+ln x在x=1处的导数为f'(1)=1+1=2,所以切线方程为l:y=2x-1,

曲线y=ax2+(a+2)x+1的导数y'=2ax+a+2,因为l与该曲线相切,

所以y'=2ax+a+2=2,所以x=-,

代入曲线方程可求得切点为-,-,代入切线方程可求得a=8.

11.解析　(1)由f(x)=x3-3x,得f'(x)=3x2-3,

过点P且以P(1,-2)为切点的直线的斜率为f'(1)=0,

∴所求直线方程为y=-2.

(2)设切点坐标为(x0,-3x0),

则直线l的斜率k=f'(x0)=3-3,

∴直线l的方程为y-(-3x0)=(3-3)·(x-x0),

又直线l过点P(1,-2),

∴-2-(-3x0)=(3-3)(1-x0),

∴-3x0+2=(3-3)(x0-1),

∴x0=-(x0=1舍去),

故所求直线的斜率k=3-3=-,

于是直线方程为y-(-2)=-(x-1),

即y=-x+.

12.解析　(1)当a=1时, f(x)=ln x+x,

∴f'(x)=+1,

∴f'(1)=1+1=2,

又f(1)=1,

∴所求切线方程为y-1=2(x-1),

即2x-y-1=0.

(2)由题可得函数f(x)的定义域为(0,+∞).

∵f(x)=ln x+ax,

∴f'(x)=+a.

∵函数f(x)的图象存在与直线2x-y=0平行的切线,

∴方程+a=2有解,即=2-a有解,

即函数y=(x>0)的图象与直线y=2-a有公共点.

∵y=>0,

∴2-a>0,解得a<2.

当直线2x-y=0与函数y=f(x)的图象相切时,设切点为(x0,2x0),

则有解得x0=e,

此时a=2-,不符合题意.

综上所述,a<2且a≠2-.

∴实数a的取值范围是∪.