高中数学人教版新课标A选修2-22.2直接证明与间接证明练习

第二章　推理与证明

2.2　直接证明与间接证明

2.2.1　综合法和分析法

基础过关练

题组一　综合法

1.在△ABC中,tan A·tan B>1,则△ABC是(　　)

A.锐角三角形 

B.直角三角形

C.钝角三角形 

D.不确定

2.已知a≥0,b≥0,且a+b=2,则(　　)

A.ab≤ B.ab≥

C.a2+b2≥2 D.a2+b2≤3

3.设函数f(x)的导函数为f'(x),若对任意x∈R都有f'(x)>f(x)成立,则(　　)

A.3f(ln 2)>2f(ln 3)

B.3f(ln 2)<2f(ln 3)

C.3f(ln 2)=2f(ln 3)

D.3f(ln 2)与2f(ln 3)的大小不确定

4.(2019黑龙江铁人中学高二期中)若a≥0,P=+,Q=+,则P,Q的大小关系是　(　　)

A.P=Q    B.P>Q

C.P<Q    D.无法确定

5.已知x>0,y>0,且+=1,若x+2y>m2+2m恒成立,求实数m的取值范围.

6.在锐角三角形ABC中,A、B、C为三个内角,求证:sin A+sin B+sin C>cos A+cos B+cos C.

题组二　分析法

7.如图所示,四棱柱ABCD-A1B1C1D1的侧棱垂直于底面,则当　　　　时,BD⊥A1C(写上一个条件即可). 

8.(2019山西原平范亭中学高二月考)求证:-<-.

9.(2019黑龙江双鸭山一中高二月考)证明:若a>0,则-≥a+-2.

10.(1)已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且A,B,C成等差数列,a,b,c成等比数列,用综合法证明:△ABC为等边三角形;

(2)设a,b,c为一个三角形的三边,s=(a+b+c),且s2=2ab,试用分析法证明:s<2a.

答案全解全析

基础过关练

1. A　∵tan A·tan B>1,∴∠A、∠B只能都是锐角,∴tan A>0,tan B>0,

又∵tan A·tan B>1,∴1-tan A·tan B<0,

∴tan(A+B)=<0,

∴A+B>90°,∴∠C为锐角.故选A.

2.C　由a≥0,b≥0,a+b=2,可得ab≤1,当且仅当a=b=1时取等号,又a2+b2=4-2ab,

∴a2+b2≥2.

3.B　令F(x)=(x>0),则F'(x)=,∵对任意x∈R都有f'(x)>f(x)成立,∴f'(ln x)>f(ln x),

∴F'(x)>0,

∴F(x)为增函数,∵3>2>0,∴F(3)>F(2),即 > ,

∴3 f(ln 2)<2 f(ln 3).

4.B　由P=+,Q=+,

可得P2=2a+13+2·=2a+13+2,

Q2=2a+13+2·=2a+13+2,

因为>,

所以P2>Q2,又P>0,Q>0,所以P>Q.

故选B.

5.解析　∵x>0,y>0,+=1,∴x+2y=(x+2y)·=4++≥4+2=8,当且仅当=时取等号,若x+2y>m2+2m恒成立,则m2+2m<8恒成立,解得-4<m<2.故实数m的取值范围是(-4,2).

6.证明　在锐角三角形ABC中,A+B>,

∴A>-B,∴0<-B<A<,

∵正弦函数在内是单调递增函数,

∴sin A>sin=cos B,即sin A>cos B.

同理,sin B>cos C,sin C>cos A,

∴sin A+sin B+sin C>cos A+cos B+cos C.

7.答案　AC⊥BD(答案不唯一)

解析　连结AC,要证BD⊥A1C,由A1A⊥BD知只需证BD⊥平面AA1C,则可添加的一个条件为AC⊥BD.

8.证明　要证-<-,

只需证+<+,

只需证(+)2<(+)2,

只需证9+2<9+2,

只需证<,

只需证14<18.

因为14<18显然成立,所以-<-成立.

9.证明　要证-≥a+-2,

只需证+2≥a++,

因为a>0,所以不等式两边均大于零,

所以只需证≥,只需证a2++4+4≥a2++4+2,

只需证≥,

只需证a2+≥,

只需证a2+≥2,

只需证≥0.

因为≥0显然成立,

所以原不等式成立.

10.证明　(1)因为A,B,C成等差数列,

所以2B=A+C.

由A+B+C=π,得B=.

因为a,b,c成等比数列,所以b2=ac.

由余弦定理得b2=a2+c2-2accos B=a2+c2-ac,

所以ac=a2+c2-ac,即(a-c)2=0,

所以a=c,所以A=C,

又B=,所以A=B=C=.

所以△ABC为等边三角形.

(2)由于s2=2ab,所以要证s<2a,只需证s<,即证b<s,

因为s=(a+b+c),所以只需证2b<a+b+c,即证b<a+c.

由于a,b,c为一个三角形的三边,所以上式成立.故s<2a.