高中数学人教版新课标A选修2-2第三章 数系的扩充与复数的引入综合与测试课后测评

第三章　数系的扩充与复数的引入

本章达标检测

(满分:150分;时间:120分钟)

一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)

1.若集合A={i,i2,i3,i4}(i是虚数单位),B={1,-1},则A∩B等于(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

A.{-1} B.{1}

C.{1,-1} D.⌀

2.(3-2i)(3+2i)+4i=(　　)

A.9+8i B.13+4i

C.5+4i D.13+8i

3.复数z=(i为虚数单位)在复平面内对应的点位于(　　)

A.第一象限      B.第二象限

C.第三象限  D.第四象限

4.设z=,i是虚数单位,则z的虚部为(　　)

A.1 B.-1 C.3 D.-3

5.已知复数z=1+i,则z4=(　　)

A.-4i   B.4i C.-4   D.4

6.已知i为虚数单位,若=a+bi(a,b∈R),则ab=(　　)

A.1  B.

C.  D.2

7.若复数z=,则下列结论正确的是(　　)

A.|z|=2 B.z的虚部为i

C.=-1+i D.z2=2i

8.已知复数z1,z满足z1=-1-i,z1z=4,则复数在复平面内对应的点的坐标为(　　)

A.(2,-2) B.(-2,2)

C.(2,2) D.(-2,-2)

9.如果复数(其中i为虚数单位,b为实数)的实部和虚部互为相反数,那么b等于(　　)

A.-6 B. C.- D.2

10.已知集合A={x|x=2n,n∈Z},B={x|x=2n+1,n∈Z},i是虚数单位,若k∈Z,且ik∈

{-1,1},则(　　)

A.k∈A      B.k∈B

C.k∈A∩B D.k∉A∪B

11.已知是复数z的共轭复数,(z+1)(-1)是纯虚数,则|z|=(　　)

A.2 B. C.1 D.

12.i为虚数单位,则1+i+2i2+3i3+…+2 018i2 018+2 019i2 019=(　　)

A.-2 018+2 019i      B.1 008-1 008i

C.-1 009-1 010i   D.1 010-1 009i

二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)

13.已知i为虚数单位,复数z=,则|z|=　　　　. 

14.已知复数z在复平面内对应的点是(1,-2),i为虚数单位,则=　　　　. 

15.若z∈C,且|z+2-2i|=1,则|z-2-2i|的最小值为　　　　. 

16.已知a>0,b>0,复数(a+2i)(3-bi)的虚部为4,则2a+b的最小值为　　　　. 

三、解答题(本大题共6小题,共70分)

17.(10分)已知复数z=.

(1)求z的共轭复数;

(2)若az+b=1-i,求实数a,b的值.

18.(12分)已知复数z1=2+ai(其中a∈R且a>0,i为虚数单位),且为纯虚数.

(1)求实数a的值;

(2)若z=,求复数z的模|z|.

19.(12分)已知z1=m2+i,z2=(2m-3)+i,m∈R,i为虚数单位,且z1+z2是纯虚数.

(1)求实数m的值;

(2)求z1·的值.

20.(12分)已知复数z1=(a-4)+i,z2=a-ai(a为实数,i为虚数单位),且z1+z2是纯虚数.

(1)求复数z1,z2;

(2)求的共轭复数.

21.(12分)已知复数z在复平面上对应的点在第二象限,且满足z2=.

(1)求复数z;

(2)设z,z2,z3在复平面上对应的点分别为A,B,C,求S△ABC.

22.(12分)设z是虚数,ω=z+是实数,且-1<ω<2.

(1)求z的实部的取值范围;

(2)设u=,那么u是不是纯虚数?并说明理由.

答案全解全析

一、选择题

1.C　∵A={i,i2,i3,i4}={i,-1,-i,1},B={1,-1},

∴A∩B={i,-1,-i,1}∩{1,-1}={1,-1}.故选C.

2.B　(3-2i)(3+2i)+4i=9-4i2+4i=13+4i,故选B.

3.D　z====-i,

对应的点的坐标为,位于第四象限.

4.D　因为z==1-3i,所以z的虚部为-3,故选D.

5.C　z4=(1+i)2(1+i)2=(2i)2=-4,故选C.

6.B　由==a+bi(a,b∈R),得a=,b=-,所以ab=.故选B.

7.D　z===1+i,|z|==,故A错;z的虚部为1,故B错;=1-i,故C错;z2=(1+i)2=2i,故D正确.

8.D　由z1=-1-i,z1z=4,得z====-2+2i,

∴=-2-2i,

∴复数在复平面内对应的点的坐标为(-2,-2).

9.C　由题意,得==+i,

∵复数(其中i为虚数单位,b为实数)的实部和虚部互为相反数,

∴+=0,

∴b=-.故选C.

10.A　由ik=-1或ik=1,得k为偶数,即k∈A.故选A.

11.C　设z=a+bi(a,b∈R),则=a-bi,

因此(z+1)(-1)=(a+1+bi)(a-1-bi)=a2-1+b2-2bi,

因为(z+1)(-1)是纯虚数,所以a2-1+b2=0,-2b≠0,

所以a2+b2=1,所以|z|==1.

故选C.

12.C　由复数的基本运算性质,可得i4n=1,i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i,其中n为整数,

设S=i+2i2+3i3+…+2 018i2 018+2 019i2 019,①

两边同乘i,可得iS=i2+2i3+3i4+…+2 018i2 019+2 019i2 020,②

①-②可得(1-i)S=i+i2+i3+…+i2 019-2 019i2 020=-2 019i2 020

=-2 019=-1-2 019=-2 020,

所以S==-1 010-1 010i,

所以原式为1+S=-1 009-1 010i.故选C.

二、填空题

13.答案　1

解析　z====i,

所以|z|=1.

14.答案　1+i

解析　依题意知z=1-2i,故====1+i.

15.答案　3

解析　设z=a+bi(a,b∈R),则

|z+2-2i|=|a+bi+2-2i|=|(a+2)+(b-2)i|==1,所以(a+2)2+(b-2)2=1,这表示的是一个以(-2,2)为圆心,半径r为1的圆,而|z-2-2i|=|a+bi-2-2i|=|(a-2)+(b-2)i|=,这表示圆上任意一点(a,b)到点(2,2)的距离,由于圆心(-2,2)到点(2,2)的距离为d==4,所以|z-2-2i|的最小值为d-r=4-1=3.

16.答案　4

解析　(a+2i)(3-bi)=3a-abi+6i-2bi2=3a+2b+(6-ab)i,

∵复数(a+2i)(3-bi)的虚部为4,

∴6-ab=4,即ab=2,

∵a>0,b>0,∴2a+b≥2=4,

当且仅当a=1,b=2时等号成立,

∴2a+b的最小值为4.

三、解答题

17.解析　(1)因为z===1+i,

所以=1-i.

(2)由题意得a(1+i)+b=1-i,

即a+b+ai=1-i,解得a=-1,b=2.

18.解析　(1)=(2+ai)2=4-a2+4ai,因为为纯虚数,所以解得a=2.

(2)由(1)知z1=2+2i,所以z====2i,所以|z|=2.

19.解析　(1)z1+z2=(m2+2m-3)+i.

∵z1+z2是纯虚数,

∴解得m=1.

(2)由(1)得z1=1+i,z2=-1+i,

则=-1-i,

∴z1·=

=-=-=--i.

20.解析　(1)z1+z2=2a-4+(1-a)i,

∵z1+z2为纯虚数,

∴2a-4=0,且1-a≠0,

∴a=2,∴z1=-2+i,z2=2-2i.

(2)由(1)得====--i,

∴的共轭复数为-+i.

21.解析　(1)设z=a+bi(a<0,b>0),

则=a-bi,

故z2=a2-b2+2abi==a-bi,

所以a2-b2=a,2ab=-b,

又a<0,b>0,所以a=-,b=,

所以z=-+i.

(2)由(1)得z=-+i,z2=--i,z3=1.

z,z2,z3在复平面上对应的点分别为A,B,C,如图所示.

故S△ABC=××=.

22.解析　(1)设z=a+bi(a、b∈R,b≠0),

则ω=a+bi+=+i.

∵ω是实数,∴b-=0.

又b≠0,∴a2+b2=1,∴ω=2a.

∵-1<ω<2,∴-<a<1,即z的实部的取值范围是.

(2)u是纯虚数.

理由如下:由(1),知u====-i.

∵-<a<1,b≠0,

∴-≠0,

∴u是纯虚数.