选修2-2综合测评

全书综合测评

(满分:150分;时间:120分钟)

一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)

1.在复平面内,复数对应的点位于(　　)

A.第一象限  B.第二象限

C.第三象限      D.第四象限

2.用反证法证明“a,b,c三个实数中最多只有一个是正数”,下列假设中正确的是(　　)

A.有两个数是正数

B.这三个数都是正数

C.至少有两个数是负数

D.至少有两个数是正数

3.曲线f(x)=xcos x在点(π, f(π))处的切线方程为(　　)

A.y=0      B.2x-y=0

C.x+y=0 D.x-y=0

4.已知复数z=(i是虚数单位,a∈R)是纯虚数,则实数a=(　　)

A.-1 B.1 C.2 D.-2

5.如图,在杨辉三角中,虚线所对应的斜行的各数之和构成一个新数列,则新数列的第10项为(　　)

A.55   B.89 C.120   D.144

6.函数f(x)=x2+xsin x的图象大致为(　　)

7.设函数f(x)满足f(x)=x[f'(x)-ln x],且在(0,+∞)上单调递增,则f的取值范围是(e为自然对数的底数)(　　)

A.[-1,+∞) B.

C. D.(-∞,-1]

8.有甲、乙、丙、丁四位大学生参加创新设计大赛,只有其中一位获奖,有人走访了这四位大学生,甲说:“是丙获奖.”乙说:“是丙或丁获奖.”丙说:“乙、丁都未获奖.”丁说:“我获奖了.”这四位大学生的话只有两人说的是对的,则获奖的大学生是(　　)

A.甲 B.乙 C.丙 D.丁

9.已知函数f(x)=x-2sin x+ex-,则满足f(x-2)+f(x)>0的x的取值范围是(　　)

A.(-∞,-1)  B.(-∞,1)

C.(-1,+∞)  D.(1,+∞)

10.已知函数f(x)=ax3+bx2+cx-17(a,b,c∈R)的导函数为f'(x), f'(x)≤0的解集为{x|-2≤x≤3},若f(x)的极小值等于-98,则a的值是(　　)

A.-   B.

C.2   D.5

11.已知函数f(x)的定义域为(0,+∞),且3f(x)+xf'(x)>0恒成立,其中f'(x)是f(x)的导函数,若(m-2 020)3f(m-2 020)>f(1),则实数m的取值范围是(　　)

A.(2 019,2 020)   B.(2 019,2 021)

C.(2 019,+∞)      D.(2 021,+∞)

12.设函数f(x)=a∈R,则下列结论中正确的是(　　)

A.对任意实数a,函数f(x)的最小值为a-

B.对任意实数a,函数f(x)的最小值都不是a-

C.当且仅当a≤时,函数f(x)的最小值为a-

D.当且仅当a≤时,函数f(x)的最小值为a-

二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)

13.复数z=(i为虚数单位)的共轭复数是　　　　. 

14.已知f(n)=1+++…+(n∈N*).经计算f(4)>2, f(8)>, f(16)>3, f(32)>,则根据以上式子得到第n个式子为　　　　　　　　　　. 

15.已知函数f(x)=+3kln x+k(1-x),若x=3是函数f(x)唯一的极值点,则实数k的取值范围为　　　　. 

16.已知定义在R上的函数f(x)=ex+1-ex+x2+2m(x-1)(m>0),当x1+x2=1时,不等式f(x1)≥f(x2)恒成立,则实数x1的取值范围为　　　　. 

三、解答题(本大题共6小题,共70分)

17.(10分)(1)已知a,b,c,d∈R,求证:≥ac+bd;

(2)求证:1,2,不可能是一个等差数列中的三项.

18.(12分)已知数列{an}满足a1=1,an+1=(n∈N*).

(1)分别求a2,a3,a4的值;

(2)猜想数列{an}的通项公式an,并用数学归纳法证明.

19.(12分)设函数f(x)=,a,b∈(0,+∞).

(1)用分析法证明:f+f≤;

(2)设a+b>4,求证:af(b),bf(a)中至少有一个大于.

20.(12分)已知函数f(x)=xln x-x2(a∈R).

(1)若a=2,求曲线y=f(x)在点(1, f(1))处的切线方程;

(2)若g(x)=f(x)+(a-1)x在x=1处取得极小值,求实数a的取值范围.

21.(12分)已知函数f(x)=x3-x-.

(1)判断的单调性;

(2)求函数y=f(x)的零点的个数;

(3)令g(x)=+ln x,若函数y=g(x)在内有极值,求实数a的取值范围.

22.(12分)已知常数a>0,函数f(x)=ln(1+ax)-.

(1)讨论f(x)在区间(0,+∞)上的单调性;

(2)若f(x)存在两个极值点x1,x2,且f(x1)+f(x2)>0,求a的取值范围.

答案全解全析

一、选择题

1.D　因为==1-i,所以其对应的点的坐标为(1,-1),位于第四象限.

2.D　根据用反证法证明数学命题的方法和步骤,应先假设要证的命题的否定成立,

而要证的命题“a,b,c三个实数中最多只有一个是正数”的否定为“至少有两个数是正数”.故选D.

3.C　∵f(x)=xcos x,∴f'(x)=cos x-xsin x,

∴曲线f(x)在点(π, f(π))处切线的斜率k=f'(π)=-1,

又f(π)=-π,∴切点为(π,-π),

∴曲线f(x)在点(π, f(π))处的切线方程为x+y=0.

4.A　∵z====+i,

∴要使复数z=(i是虚数单位,a∈R)是纯虚数,则=0,且≠0,解得a=-1.

5.A　由题意,可知a1=1,a2=1,a3=1+1=2,a4=1+2=3,a5=2+3=5,a6=3+5=8,a7=5+8=13,a8=8+13=21,a9=13+21=34,a10=21+34=55.

6.A　因为f(-x)=x2-xsin(-x)=x2+xsin x=f(x),x∈R,所以f(x)为偶函数,故选项B错误. f(x)=x2+xsin x=x(x+sin x),令g(x)=x+sin x,x∈R,则g'(x)=1+cos x≥0恒成立,且等号不恒成立,所以g(x)是单调递增函数,则当x>0时,g(x)>g(0)=0,故x>0时, f(x)=xg(x), f'(x)=g(x)+xg'(x)>0,即f(x)在(0,+∞)上单调递增,故只有选项A正确.

7.B　由f(x)=x[f'(x)-ln x],得f'(x)=+ln x,

因为函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,所以f'(x)≥0,即 +ln x≥0,

所以+ln ≥0,

整理得f≥.

故选B.

8.D　若甲说的对,则乙、丙两人说的也对,这与只有两人说的对不符,故甲说的不对;

若甲说的不对,乙说的对,则丁说的也对,丙说的不对,符合条件,故获奖的是丁;

若甲说的不对,乙说的不对,则丁说的也不对,与题意不符.故选D.

9.D　因为f(x)的定义域是R,

f(-x)=-x+2sin x+-ex=-=-f(x),x∈R,

所以f(x)是奇函数.

又f'(x)=1-2cos x+ex+≥1-2+2>0,

故f(x)在R上递增.

所以f(x-2)+f(x)>0,即f(x-2)>-f(x)=f(-x),

故x-2>-x,解得x>1.故选D.

10.C　由题意, f'(x)=3ax2+2bx+c(a,b,c∈R),

因为f'(x)≤0的解集为{x|-2≤x≤3},

所以a>0,且-2+3=-,-2×3=,

则3a=-2b,c=-18a,

故f(x)的极小值为f(3)=27a+9b+3c-17=-98,解得a=2,b=-3,c=-36.

故选C.

11.        D　令h(x)=x3f(x),则h'(x)=3x2f(x)+x3f'(x)=x2[3f(x)+xf'(x)]>0,

所以函数h(x)在(0,+∞)上单调递增.

(m-2 020)3·f(m-2 020)>f(1)可化为(m-2 020)3·f(m-2 020)>13·f(1),

即h(m-2 020)>h(1),所以m-2 020>1,解得m>2 021,

所以实数m的取值范围是(2 021,+∞).

故选D.

12.D　因为f(x)=a∈R,

所以,当x≤a时, f(x)=ex单调递增,此时0<f(x)≤ea;

当x>a时, f(x)=x2-x+a=+a-,

(1)若a>,则f(x)=+a->0,此时f(x)=的值域为(0,+∞),无最小值;

(2)若a≤,则f(x)min=a-<0,此时f(x)=的值域为,

此时,函数f(x)的最小值为a-.

二、填空题

13.答案　-i

解析　因为z====+i,

所以z的共轭复数为-i.

14.答案　f(2n+1)>(n∈N*)

解析　观察题中等式:

f(4)=f(22)>2=,

f(8)=f(23)>=,

f(16)=f(24)>3=,

f(32)=f(25)>=,

……

则f(2n+1)>(n∈N*).

15.答案　

解析　由题意知函数f(x)的定义域为(0,+∞),且f'(x)=+-k=,

因为x=3是函数f(x)唯一的极值点,所以x=3是导函数f'(x)=0的唯一根,

所以ex-kx3>0恒成立,即k<恒成立,

令g(x)=,x∈(0,+∞),则g'(x)=,

所以g(x)在(0,3)上单调递减,在(3,+∞)上单调递增,

所以g(x)的最小值为g(3)=,所以k<.

16.答案　

解析　由f(x1)≥f(x2),可得-++2m(x1-1)≥-++2m(x2-1),

即(-)-(-)+(-)+2m(x1-x2)≥0.

因为x1+x2=1,所以问题可转化为(-)-(-)+(2m+1)(2x1-1)≥0恒成立.

记g(x)=(ex+1-e2-x)-(ex-e1-x)+(2m+1)·(2x-1),(x∈R,m>0)

则g'(x)=(ex+1+e2-x)-(ex+e1-x)+2(2m+1)=(ex+1-ex)+(e2-x-e1-x)+2(2m+1)

=ex(e-1)+e2-x(1-e-1)+2(2m+1)>0,

所以g(x)在R上单调递增.

又g=0,

所以当x≥时,g(x)≥0恒成立,

即实数x1的取值范围为.

三、解答题

17.证明　(1)∵(a2+b2)(c2+d2)=a2c2+b2d2+(a2d2+b2c2)≥a2c2+b2d2+2abcd=(ac+bd)2,

∴≥|ac+bd|≥ac+bd.

(2)假设1,2,是公差为d的等差数列{an}中的三项,

设am=1,ap=2,aq=,则d==,

∴d==,故=-2.

∵m,p,q∈N*,

∴是有理数,而-2是无理数,故矛盾.

∴假设不成立,即1,2,不可能是一个等差数列中的三项.

18.解析　(1)a2==,a3===,a4===.

(2)猜想an=(n∈N*).

①当n=1时猜想显然成立.

②假设n=k(k∈N*)时猜想成立,即ak=,

则当n=k+1时,ak+1===,

所以当n=k+1时猜想也成立.

综合①②,可知猜想对任意n∈N*都成立.

19.证明　(1)要证f+f≤,

只需证+≤,

只需证+≤,

即证≤,

即证(a-b)2≥0,这显然成立,

∴f+f≤.

(2)假设af(b),bf(a)都小于或等于,即≤,且≤,

∴2a≤b+2,2b≤a+2,两式相加得a+b≤4,

这与a+b>4矛盾,

∴af(b),bf(a)中至少有一个大于.

20.解析　(1)当a=2时, f(x)=xln x-x2(x>0),

则 f'(x)=ln x+1-2x, f(1)=-1, f'(1)=-1,

所以曲线y=f(x)在点(1, f(1))处的切线方程为y=-x.

(2)由已知得g(x)=xln x-x2+(a-1)x,x>0,则g'(x)=ln x-ax+a(x>0),记h(x)=g'(x)=ln x-ax+a(x>0),则h(1)=0,h'(x)=-a=.

①若a≤0,则当x∈(0,+∞)时,h'(x)>0,g'(x) 单调递增,所以当x∈(0,1)时,g'(x)<0,当x∈(1,+∞)时,g'(x)>0,所以g(x)在x=1处取得极小值,满足题意.

②若0<a<1,则>1,当x∈时,h'(x)>0,g'(x)单调递增,所以当x∈(0,1)时,g'(x)<0,x∈时,g'(x)>0,所以g(x)在x=1处取得极小值,满足题意.

③若a=1,则当x∈(0,1)时,h'(x)>0,g'(x)单调递增,当x∈(1,+∞)时,h'(x)<0,g'(x)单调递减,所以当x∈(0,+∞)时,g'(x)≤0,且等号不恒成立,所以g(x)单调递减,不合题意.

④若a>1,即0<<1,则当x∈,1时,h'(x)<0,g'(x)单调递减,g'(x)>0,当x∈(1,+∞)时,h'(x)<0,g'(x)单调递减,g'(x)<0,所以g(x)在x=1处取得极大值,不合题意.

综上可知,实数a的取值范围为a<1.

21.解析　(1)易知的定义域为(0,+∞).f(x)=x,

设φ(x)=x2-1-,x∈(0,+∞),

则φ'(x)=2x+>0,

∴φ(x)在(0,+∞)上单调递增,即在(0,+∞)上单调递增.

(2)由题知函数f(x)的定义域为[0,+∞).∵f(0)=0,∴x=0为y=f(x)的一个零点.结合(1)可知φ(1)=-1<0,φ(2)=3->0,故φ(x)在(1,2)内有唯一零点.

因此y=f(x)在[0,+∞)上有且仅有2个零点.

(3)g(x)=+ln x=+ln x=ln x+,定义域是(0,1)∪(1,+∞),

则g'(x)=-==.

设h(x)=x2-(2+a)x+1,x∈(0,1)∪(1,+∞),要使函数y=g(x)在内有极值,则h(x)=0有两个不同的实根x1,x2,

∴Δ=[-(2+a)]2-4>0,解得a>0或a<-4,且一根在内,不妨设0<x1<,

又x1x2=1,

∴0<x1<<e<x2,

由于h(0)=1,则只需h<0,即-(2+a)+1<0,解得a>e+-2.

22.解析　(1)对函数f(x)求导可得f'(x)=-==,因为(1+ax)(x+2)2>0,所以当1-a≤0,即a≥1时, f'(x)≥0恒成立,且等号不恒成立,则函数f(x)在(0,+∞)上单调递增;当0<a<1时,令f'(x)=0,得x=(负值舍去),则函数f(x)在上单调递减,在上单调递增.

(2)函数f(x)的定义域为,由(1)可得当0<a<1时,令f'(x)=0,得x=±,则->-,所以a≠,即a∈∪,则x=±为函数f(x)的两个极值点,代入f(x1)+f(x2)>0可得

f(x1)+f(x2)=ln [1+2]+ln [1-2]--=ln [1-4a(1-a)]+=ln(1-2a)2+-2.

令2a-1=t,g(t)=ln t2+-2,由a∈∪知:当a∈时,t∈(-1,0),当a∈时,t∈(0,1).

当t∈(-1,0)时,g(t)=2ln(-t)+-2,

对g(t)求导可得g'(t)=-=<0,所以函数g(t)在(-1,0)上单调递减,则g(t)<g(-1)=-4<0,即f(x1)+f(x2)<0,不符合题意.

当t∈(0,1)时,g(t)=2ln t+-2,对g(t)求导可得g'(t)=-=<0,所以函数g(t)在(0,1)上单调递减,则g(t)>g(1)=0,即f(x1)+f(x2)>0恒成立.

综上,a的取值范围为.