人教A版 (2019)必修 第一册第一章 集合与常用逻辑用语本章综合与测试免费习题

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(满分:150分;时间:120分钟)

一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)

1.已知全集U={0,1,2,3,4},M={0,1,2},N={2,3},则(∁UM)∩N=(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　

A.{2} B.{3}

C.{2,3,4} D.{0,1,2,3,4}

2.已知a∈R,集合M={1,a2},N={a,-1},若M∪N有三个元素,则M∩N=(　　)

A.{0,1} B.{0,-1}

C.{0} D.{1}

3.命题“对任意x∈R,x2+2x+2>0”的否定是(　　)

A.不存在x∈R,x2+2x+2≤0

B.存在x∈R,x2+2x+2≤0

C.存在x∈R,x2+2x+2>0

D.对任意x∈R,x2+2x+2≤0

4.若集合P={1,2,3,4},Q={x|x≤0或x≥5},则“x∈P”是“x∈∁RQ”的(　　)

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

5.已知集合A={x|x2-5x+6=0},B={x|0<x<6,x∈N},则满足A⊆C⊆B的集合C的个数为(　　)

A.4 B.8

C.7 D.16

6.已知集合A={x|x<-2或x>3},B={x|a≤x≤2a-1},若A∪B=A,则实数a的取值范围为(　　)

A.

B.{a|a<1或a>3}

C.

D.{a|a≤1或a≥3}

7.已知m,n∈R,则“|m|+|n|>1”是“n<-1”的(　　)

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

8.如图所示,M,P,S是V的三个子集,则阴影部分所表示的集合是(　　)

A.(M∩P)∩S B.(M∩P)∪S

C.(M∩S)∩(∁SP) D.(M∩P)∪(∁VP)

二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.

在每小题给出的选项中,有多个选项符合题目要求,全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分)

9.下列四个结论中,正确的有(　　)

①⌀⊆⌀;②0∈⌀;③{0}⫌⌀;④{0}=⌀.

A.① B.② C.③ D.④

10.下列四个命题中,是真命题的有(　　)

A.没有一个无理数不是实数

B.空集是任何一个集合的真子集

C.1+1≤2

D.至少存在一个整数x,使得x2-x+1是整数

11.已知U为全集,则下列说法正确的是(　　)

A.若A∩B=⌀,则(∁UA)∪(∁UB)=U

B.若A∩B=⌀,则A=⌀或B=⌀

C.若A∪B=⌀,则(∁UA)∩(∁UB)=U

D.若A∪B=⌀,则A=B=⌀

12.下列说法正确的是(　　)

A.“a>1”是“<1”的充分不必要条件

B.命题“若x<1,则x2<1”的否定是“存在x<1,x2≥1”

C.设x,y∈R,则“x≥2且y≥2”是“x2+y2≥4”的必要而不充分条件

D.设a,b∈R,则“a≠0”是“ab≠0”的必要不充分条件

三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.将答

案填在题中横线上)

13.命题p:存在实数x∈M,使得x,3,4能成为三角形的三边长.若命题p为假命题,则x的取值范围是　　　　. 

14.已知p,q都是r的必要条件,s是r的充分条件,q是s的充分条件,则s是q的　　　　条件,p是s的　　　　条件.(本小题第一空2分,第二空3分) 

15.若∀x∈{x|1≤x≤2},∃t∈{t|1≤t≤2},使得x+2>t+m成立,则实数m的取值范围是　　　　　　. 

16.若集合G关于运算⊕满足:(1)对任意a,b∈G,都有a⊕b∈G;(2)存在e∈G,对任意a∈G,都有a⊕e=e⊕a=a,则称G关于运算⊕为“融洽集”.现给出下列集合和运算:

①G={非负整数},⊕为整数的加法运算;

②G={偶数},⊕为整数的乘法运算;

③G={二次三项式},⊕为多项式的加法运算.

其中G关于运算⊕为“融洽集”的是　　　　.(写出所有“融洽集”的序号)深度解析 

四、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17.(本小题满分10分)设命题p:∃x∈R,x2-2x+m-3=0,命题q:∀x∈R,x2-2(m-5)x+m2+19≠0.若p,q都为真命题,求实数m的取值范围.

18.(本小题满分12分)设集合A={x|x2-3x+2=0},B={x|x2+2(a+1)x+(a2-5)=0},若A∪B=A,求实数a的取值范围.

19.(本小题满分12分)已知集合U为全体实数,M={x|x≤-2或x≥5},N={x|a+1≤x≤2a-1}.

(1)若a=3,求M∩(∁UN);

(2)若N⊆M,求实数a的取值范围.

20.(本小题满分12分)已知集合A={x|2-a≤x≤2+a},B={x|x≤1或x≥4}.

(1)当a=3时,求A∩B;

(2)若“x∈A”是“x∈∁RB”的充分不必要条件,且A≠⌀,求实数a的取值范围.

21.(本小题满分12分)设a,b,c分别为△ABC的三边BC,AC,AB的长,求证:关于x的方程x2+2ax+b2=0与x2+2cx-b2=0有公共实数根的充要条件是∠A=90°.

22.(本小题满分12分)设A={x|x2-ax+a2-19=0},B={x|x2-5x+6=0},C={x|x2+2x-8=0}.

(1)若(A∩B)=(A∪B),求a的值;

(2)若⌀⫋(A∩B),且(A∩C)=⌀,求a的值;

(3)若(A∩B)=(A∩C)≠⌀,求a的值.

答案全解全析

一、单项选择题

1.B　由已知可得∁UM={3,4},故(∁UM)∩N={3},故选B.

2.C　因为集合M={1,a2},N={a,-1},M∪N有三个元素,所以a2=a且a≠±1,解得a=0.此时M∩N={0},故选C.

3.B　命题“对任意x∈R,x2+2x+2>0”是一个全称量词命题,其否定是存在量词命题,即“存在x∈R,x2+2x+2≤0”.故选B.

4.A　∵Q={x|x≤0或x≥5},

∴∁RQ={x|0<x<5},

∴x∈P⇒x∈∁RQ,但x∈∁RQ⇒/ x∈P.

故“x∈P”是“x∈∁RQ”的充分不必要条件.

5.B　由已知得集合A={2,3},B={1,2,3,4,5}.因为A⊆C⊆B,所以集合C的个数为25-2=8.

6.B　因为A∪B=A,所以B⊆A.

①若B=⌀,则a>2a-1,解得a<1;

②若B≠⌀,则或解得a>3.

综上,实数a的取值范围是{a|a<1或a>3}.

7.B　若|m|+|n|>1,可令m=2,n=,则n≥-1,可知充分性不成立;若n<-1,则|n|>1,则|m|+|n|≥|n|>1,故必要性成立.故“|m|+|n|>1”是“n<-1”的必要不充分条件,故选B.

8.C　题图中的阴影部分是M∩S的子集,但该子集中不含集合P中的元素,含于集合P的补集,用关系式表示出来即可.

二、多项选择题

9.AC　①空集是自身的子集,①正确;0不是空集中的元素,②错误;空集是任何非空集合的真子集,③正确;{0}是含一个元素0的集合,不是空集,④错误.故选AC.

10.ACD　A.该命题等价于所有无理数都是实数,为真命题;

B.该命题为假命题,空集是任何一个非空集合的真子集;

C.该命题显然成立,为真命题;

D.取x=1,能使x2-x+1是整数,为真命题.

11.ACD　A说法正确,因为(∁UA)∪(∁UB)=∁U(A∩B),A∩B=⌀,所以(∁UA)∪(∁UB)=∁U(A∩B)=U;B说法错误,若A∩B=⌀,则集合A,B不一定为空集,只需两个集合中无公共元素即可;C说法正确,因为(∁UA)∩(∁UB)=∁U(A∪B),A∪B=⌀,所以(∁UA)∩(∁UB)=∁U(A∪B)=U;D说法正确,A∪B=⌀,即集合A,B中均无任何元素,可得A=B=⌀.

12.ABD　a>1⇔0<<1,所以“a>1”是“<1”的充分不必要条件,故A正确;命题“若x<1,则x2<1”可改写为“∀x<1,x2<1”,所以命题的否定为“存在x<1,x2≥1”,故B正确;当x=2,y=2时,x2+y2=8≥4,当x=1,y=3时,x2+y2=1+9=10≥4,但不满足x≥2且y≥2,所以“x≥2且y≥2”是“x2+y2≥4”的充分不必要条件,故C错误;ab≠0⇔a≠0且b≠0,所以“a≠0”是“ab≠0”的必要不充分条件,故D正确.综上所述,答案为ABD.

三、填空题

13.答案　{x|x≤1或x≥7}

解析　当命题p为真命题时,可得4-3<x<3+4,即1<x<7.所以当命题p为假命题时,可得{x|x≤1或x≥7}.

14.答案　充要;必要

解析　由题意知r⇒p,r⇒q,s⇒r,q⇒s,所以s⇒r⇒q,所以s⇒q,又因为q⇒s,所以s是q的充要条件;s⇒r⇒p,不能得到p⇒s,所以p是s的必要条件.

15.答案　{m|m<2}

解析　由∀x∈{x|1≤x≤2},x+2>t+m成立,得x+2的最小值大于t+m,因此3>t+m.

又由∃t∈{t|1≤t≤2},使得t+m<3成立,得t的最小值小于3-m,即3-m>1,解得m<2.因此,实数m的取值范围是{m|m<2}.

16.答案　①

解析　条件(1)的含义是集合G中任意两个元素关于运算⊕的结果仍然是集合G中的元素;条件(2)的含义是集合G中存在一个特殊元素e,它与G中任何一个元素a关于运算⊕满足交换律,且运算结果等于a.

①G={非负整数},⊕为整数的加法运算,满足对任意a,b∈G,都有a⊕b∈G,且存在e=0,使得a⊕0=0⊕a=a,所以①中的G关于运算⊕为“融洽集”;②G={偶数},⊕为整数的乘法运算,若存在e∈G,使a⊕e=e⊕a=a,则e=1,与e∈G相矛盾,所以②中的G关于运算⊕不是“融洽集”;③G={二次三项式},⊕为多项式的加法运算,两个二次三项式相加得到的可能不是二次三项式,所以③中的G关于运算⊕不是“融洽集”.

综上可知,G关于运算⊕为“融洽集”的只有①.

名师点睛　“新定义”型集合问题是在已有的运算法则和运算律的基础上,结合已学的集合知识来求解的一种新型集合问题.由于“新定义”型问题的题目形式新颖,强调能力立意,因此近年来成为各类考试的热点.“新定义”可能以文字形式出现,也可能以数学符号或数学式子的形式出现,求解此类问题时,应充分利用题目中所给的信息,准确将其转化为已掌握的知识进行求解.

四、解答题

17.解析　若命题p:∃x∈R,x2-2x+m-3=0为真命题,则Δ=4-4(m-3)≥0,解得m≤4;(4分)

若命题q:∀x∈R,x2-2(m-5)x+m2+19≠0为真命题,则Δ=4(m-5)2-4(m2+19)<0,解得m>.(8分)

又p,q都为真命题,所以实数m的取值范围是{m|m≤4}∩mm>=m<m≤4.(10分)

18.解析　由题意得A={1,2},(1分)

∵A∪B=A,∴B⊆A,(2分)

∴B可能为⌀或{1}或{2}或{1,2}.(3分)

当B=⌀时,Δ=4(a+1)2-4(a2-5)<0,解得a<-3;(5分)

当B={1}时,无解;(7分)

当B={2}时,

解得a=-3;(9分)

当B={1,2}时,无解.(11分)

综上所述,实数a的取值范围是{a|a≤-3}.(12分)

19.解析　(1)当a=3时,N={x|4≤x≤5},(2分)

则∁UN={x|x<4或x>5},

∴M∩(∁UN)={x|x≤-2或x>5}.(4分)

(2)①当N=⌀时,a+1>2a-1,即a<2,此时满足N⊆M.(6分)

②当N≠⌀时,或解得a≥4.(10分)

综上,实数a的取值范围是{a|a<2或a≥4}.(12分)

20.解析　(1)当a=3时,A={x|-1≤x≤5},又B={x|x≤1或x≥4},(2分)

∴A∩B={x|-1≤x≤1或4≤x≤5}.(4分)

(2)∵B={x|x≤1或x≥4},

∴∁RB={x|1<x<4}.(6分)

由“x∈A”是“x∈∁RB”的充分不必要条件,得A⫋∁RB,(8分)

又A={x|2-a≤x≤2+a},A≠⌀,

∴∴0≤a<1.(11分)

∴a的取值范围是{a|0≤a<1}.(12分)

21.证明　必要性:设方程x2+2ax+b2=0与x2+2cx-b2=0有公共实数根x0,则+2ax0+b2=0,+2cx0-b2=0,(2分)

两式相减并整理,得(a-c)x0+b2=0.(4分)

∵b≠0,∴a-c≠0,∴x0=,

将此式代入+2ax0+b2=0中,

可得b2+c2=a2,故∠A=90°.(6分)

充分性:∵∠A=90°,∴b2+c2=a2,

∴b2=a2-c2.①(7分)

将①代入方程x2+2ax+b2=0中,可得x2+2ax+a2-c2=0,即(x+a-c)(x+a+c)=0.(9分)

将①代入方程x2+2cx-b2=0中,可得x2+2cx+c2-a2=0,即(x+c-a)(x+c+a)=0.(10分)

故两方程有公共实数根x=-(a+c).(11分)

∴关于x的方程x2+2ax+b2=0与x2+2cx-b2=0有公共实数根的充要条件是∠A=90°.(12分)

22.解析　由题意知,B={x|x2-5x+6=0}={2,3},C={x|x2+2x-8=0}={-4,2}.(1分)

(1)∵(A∩B)=(A∪B),∴A=B={2,3},(2分)

∴解得a=5.(3分)

(2)∵⌀⫋(A∩B),且(A∩C)=⌀,B={2,3},C={-4,2},

∴-4∉A,2∉A,3∈A.(4分)

把x=3代入方程x2-ax+a2-19=0中,

得32-3a+a2-19=0,

即a2-3a-10=0,解得a=5或a=-2.(5分)

当a=-2时,方程为x2+2x-15=0,此时A={-5,3},满足题意;

当a=5时,方程为x2-5x+6=0,此时A={2,3},不满足题意,舍去.(6分)

综上所述,a=-2.(7分)

(3)∵(A∩B)=(A∩C)≠⌀,B={2,3},C={-4,2},

∴2∈A.(8分)

把x=2代入方程x2-ax+a2-19=0中,

得22-2a+a2-19=0,

即a2-2a-15=0,解得a=5或a=-3.(9分)

当a=5时,方程为x2-5x+6=0,此时A={2,3},不满足题意,舍去;(10分)

当a=-3时,方程为x2+3x-10=0,此时A={-5,2},满足题意.(11分)

综上所述,a=-3.(12分)