2020-2021学年第二章 一元二次函数、方程和不等式本章综合与测试课时作业

本章达标检测

(满分:150分;时间:120分钟)

一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)

1.不等式x2≥2x的解集是(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　

A.{x|x≥2} B.{x|x≤2}

C.{x|0≤x≤2} D.{x|x≤0或x≥2}

2.设M=2a(a-2)+7,N=(a-2)(a-3),则M与N的大小关系是(　　)

A.M>N B.M≥N

C.M<N D.M≤N

3.已知实数0<a<1,则以下不等关系正确的是(　　)

A.a2>>a>-a B.a>a2>>-a

C.>a>a2>-a D.>a2>a>-a

4.“a>0”是“一元二次不等式ax2+bx+c>0恒成立”的(　　)

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

5.已知x>0,y>0,且+=,则x+y的最小值为(　　)

A.5 B.6 C.7 D.8

6.不等式组的解集为(　　)

A.{x|-1<x<1} B.{x|0<x<3}

C.{x|0<x<1} D.{x|-1<x<3}

7.已知a,b,c∈R,则下列说法中错误的是(　　)

A.a>b⇒ac2≥bc2 B.>,c<0⇒a<b

C.a3>b3,ab>0⇒< D.a2>b2,ab>0⇒<

8.设正数x,y,z满足x2-3xy+4y2-z=0,则当取得最大值时,+-的最大值是(　　)

A.0 B.1 C. D.3

二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.

在每小题给出的选项中,有多个选项符合题目要求,全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分)

9.已知不等式ax2+bx+c>0的解集为,则下列结论正确的是(　　)

A.a>0 B.b>0 C.c>0 D.a+b+c>0

10.设a,b为非零实数,且a<b,则下列不等式恒成立的是(　　)

A.a2>ab B.a2<b2 C.< D.a3<b3

11.给出下列四个条件:①xt2>yt2;②xt>yt;③x2>y2;④0<<.其中能成为x>y的充分条件的是(　　)

A.① B.② C.③ D.④

12.若a>0,b>0,且a+b=4,则下列不等式恒成立的是(　　)

A.a2+b2≥8 B.≥

C.≥2 D.+≤1

三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.将答

案填在题中横线上)

13.已知a>b,a->b-同时成立,则ab应满足的条件是　　　　. 

14.若不等式ax2+5x+c>0的解集为,则a=　　　　,c=　　　　.(本小题第一空2分,第二空3分) 

15.已知函数y=(m2+4m-5)x2+4(1-m)x+3对任意实数x,函数值恒大于零,则实数m的取值范围是　　　　. 

16.已知a>b,不等式ax2+2x+b≥0对一切实数x恒成立.若存在x0∈R,使a+2x0+b=0成立,则的最小值为　　　　. 

四、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17.(本小题满分10分)解下列不等式(组):

(1)

(2)6-2x≤x2-3x<18.

18.(本小题满分12分)已知a>0,b>0,且(a+b)=1.

(1)求+的最小值;

(2)是否存在a,b,使得+的值为?并说明理由.

19.(本小题满分12分)已知命题p:∀x∈R,x2+2m-3>0,命题q:∃x∈R,x2-2mx+m+2<0.

(1)若命题p为真命题,求实数m的取值范围;

(2)若命题q为真命题,求实数m的取值范围;

(3)若命题p,q至少有一个为真命题,求实数m的取值范围.

20.(本小题满分12分)如图所示,将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN,要求点B在AM上,点D在AN上,且对角线MN过点C,已知AB的长为3米,AD的长为2米.

(1)要使矩形AMPN的面积大于32平方米,则DN的长应在什么范围内?

(2)当DN的长为多少时,矩形花坛AMPN的面积最小?并求出最小值.

21.(本小题满分12分)设y=ax2+(1-a)x+a-2.

(1)若不等式y≥-2对一切实数x恒成立,求实数a的取值范围;

(2)解关于x的不等式ax2+(1-a)x+a-2<a-1(a∈R).

22.(本小题满分12分)某企业准备投入适当的广告费对某产品进行促销,在一年内预计销售量Q(万件)与广告费x(万元)之间的关系式为Q=(x≥0).已知生产此产品的年固定投入为3万元,每生产1万件此产品仍需再投入32万元,若该企业产能足够,生产的产品均能售出,且每件销售价为“年平均每件生产成本的150%”与“年平均每件所占广告费的50%”之和.

(1)试写出年利润W(万元)与年广告费x(万元)的关系式;

(2)当年广告费投入多少万元时,企业年利润最大?最大年利润为多少?

答案全解全析

一、单项选择题

1.D　由x2≥2x得x(x-2)≥0,解得x≤0或x≥2,故选D.

2.A　M-N=(2a2-4a+7)-(a2-5a+6)=a2+a+1=+>0,∴M>N.故选A.

3.C　∵0<a<1,∴0<a2<1,>1,-1<-a<0,

0<a2<a,因此,>a>a2>-a.故选C.

4.B　由一元二次不等式ax2+bx+c>0恒成立,知a>0且Δ=b2-4ac<0.

反之,当a>0时,如x2+3x+2>0,不一定成立.故选B.

5.A　解法一:由题意得,x+y=(x+3)+y-3

=2[(x+3)+y]-3

=2+++2-3

=++1

≥2+1

=5,

当且仅当=,+=时等号成立,

即x=1,y=4时等号成立,∴x+y的最小值为5.

解法二:∵x>0,y>0,∴x+1>0,

由+=得y=,

∴x+y=x+=x+=x+2+=(x+1)++1≥2+1=5,

当且仅当x+1=,即x=1时,等号成立,

∴x+y的最小值为5.

6.C　由得所以0<x<1,即不等式组的解集为{x|0<x<1}.

7.D　对于A,c2≥0,则由a>b可得ac2≥bc2,故A中说法正确;

对于B,由>,得-=>0,当c<0时,有a-b<0,则a<b,故B中说法正确;

对于C,∵a3>b3,ab>0,∴a3>b3两边同乘,得到>,∴<,故C中说法正确;

对于D,∵a2>b2,ab>0,∴a2>b2两边同乘,得到>,不一定有<,故D中说法错误.故选D.

8.B　由题意得==≤=1,当且仅当x=2y时,等号成立,此时z=2y2.故+-=-+=-+1≤1,当且仅当y=1时,等号成立,故所求的最大值为1.

二、多项选择题

9.BCD　因为不等式ax2+bx+c>0的解集为,故相应的二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向下,所以a<0,故A错误;易知2和-是关于x的方程ax2+bx+c=0的两个根,则有=2×=-1<0,-=2+=>0,又a<0,故b>0,c>0,故B,C正确;因为=-1,所以a+c=0,又b>0,所以a+b+c>0,故D正确.故选BCD.

10.CD　对于A,当a=2,b=3时,a<b,但22<2×3,故A中不等式不一定成立;

对于B,当a=-2,b=1时,a<b,但(-2)2>12,故B中不等式不一定成立;

对于C,∵a<b,∴-=<0,故C中不等式恒成立;

对于D,a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)=(a-b)·,∵a<b,∴a-b<0,又+b2>0,∴a3<b3,故D中不等式恒成立,故选CD.

11.AD　①由xt2>yt2可知,t2>0,所以x>y,

因此xt2>yt2是x>y的充分条件.

②由xt>yt不能确定t的符号,因此不能确定x与y的大小,故xt>yt不是x>y的充分条件.

③令x=-2,y=1,则x2>y2,但x<y,因此x2>y2不是x>y的充分条件.

④由0<<可得,x>0,y>0,-<0,即<0,所以y-x<0,所以x>y,因此0<<是x>y的充分条件.

故选AD.

12.AB　因为a>0,b>0,且a+b=4,

所以a2+b2≥=8,即a2+b2≥8恒成立,故A正确;

由≤=2得,0<ab≤4,所以≥,0<≤2恒成立,故B正确,C错误;

由+==,0<ab≤4,得+≥1,故D错误.故选AB.

三、填空题

13.答案　ab<-1或ab>0

解析　因为a->b-,所以-=>0.

又a>b,即a-b>0,所以>0,从而ab(ab+1)>0,所以ab<-1或ab>0.

14.答案　-6;-1

解析　由题意知a<0,且关于x的方程ax2+5x+c=0的两个根分别为,,由根与系数的关系得解得

15.答案　{m|1≤m<19}

解析　①当m2+4m-5=0时,m=-5或m=1.

若m=-5,则函数化为y=24x+3,其对任意实数x不可能恒大于0;

若m=1,则y=3>0恒成立.

②当m2+4m-5≠0时,根据题意得,

∴解得1<m<19.

综上可知,1≤m<19.

16.答案　2

解析　已知不等式ax2+2x+b≥0对一切实数x恒成立,

当a=0时,2x+b≥0不一定成立,不符合题意;

当a≠0时,依题意知⇒

又存在x0∈R,使a+2x0+b=0成立,

∴4-4ab≥0⇒ab≤1,

因此ab=1,且a>0,从而b>0.

又∵a>b,∴a-b>0,

∴=

=(a-b)+≥2,

当且仅当a-b=,即a=,b=时,等号成立.

四、解答题

17.解析　(1)由

得故0<x<1,

所以原不等式组的解集为{x|0<x<1}.(4分)

(2)由6-2x≤x2-3x<18,

得

即(7分)

所以

所以-3<x≤-2或3≤x<6.

所以原不等式的解集为{x|-3<x≤-2或3≤x<6}.(10分)

18.解析　∵a>0,b>0,且(a+b)=1,

∴a+b=,(1分)

a+b≥2(当且仅当a=b时取等号),(2分)

∴≥2,∴ab≤.(3分)

(1)+≥2=≥4,

当且仅当a=b时取等号.(6分)

(2)∵a>0,b>0,∴+≥2=≥,当且仅当a=b时等号成立.(10分)

∵<,∴不存在a,b,使得+的值为.(12分)

19.解析　(1)若命题p为真命题,则x2>3-2m恒成立,因此3-2m<0,解得m>.

因此,实数m的取值范围是.(4分)

(2)若命题q为真命题,则Δ=(-2m)2-4(m+2)>0,即m2-m-2>0,解得m<-1或m>2.

因此,实数m的取值范围是{m|m<-1或m>2}.(8分)

(3)若命题p,q至少有一个为真命题,则结合(1)(2)得m∈∪{m|m<-1或m>2}=.(12分)

20.解析　(1)设DN的长为x(x>0)米,则AN的长为(x+2)米.

∵=,∴AM=,

∴=AN·AM=.(4分)

由S矩形AMPN>32,得>32,

又x>0,∴3x2-20x+12>0,

解得0<x<或x>6,(7分)

即DN的长的取值范围是x0<x<或x>6.(8分)

(2)设矩形花坛AMPN的面积为y平方米,则y===3x++12≥2+12=24,(10分)

当且仅当3x=,即x=2(负值舍去)时,等号成立,此时y取得最小值24.(11分)

故DN的长为2米时,矩形花坛AMPN的面积最小,最小为24平方米.(12分)

21.解析　(1)ax2+(1-a)x+a-2≥-2对于一切实数x恒成立等价于ax2+(1-a)x+a≥0对于一切实数x恒成立.

当a=0时,不等式可化为x≥0,不满足题意;(3分)

当a≠0时,由题意得

解得a≥.(5分)

所以实数a的取值范围是.(6分)

(2)不等式ax2+(1-a)x+a-2<a-1等价于ax2+(1-a)x-1<0.

当a=0时,不等式可化为x<1,所以不等式的解集为{x|x<1};(7分)

当a>0时,不等式可化为(ax+1)(x-1)<0,此时-<1,

所以不等式的解集为;(8分)

当a<0时,不等式可化为(ax+1)(x-1)<0,

①当a=-1时,-=1,不等式的解集为{x|x≠1};(9分)

②当-1<a<0时,->1,不等式的解集为;(10分)

③当a<-1时,-<1,不等式的解集为.(11分)

综上所述,当a<-1时,不等式的解集为;当a=-1时,不等式的解集为{x|x≠1};当-1<a<0时,不等式的解集为;当a=0时,不等式的解集为{x|x<1};当a>0时,不等式的解集为.(12分)

22.解析　(1)由题意可得,每年产品的生产成本为(32Q+3)万元,每万件销售价为万元,

∴年销售收入为×150%+×50%·Q=(32Q+3)+x,(4分)

∴W=(32Q+3)+x-(32Q+3)-x

=(32Q+3)-x=(32Q+3-x)

=(x≥0).(7分)

(2)由(1)得,W===--+50.(9分)

∵x+1≥1,∴+≥2=8,(10分)

∴W≤42,当且仅当=,即x=7时,W有最大值42,即当年广告费投入7万元时,企业年利润最大,最大年利润为42万元.(12分)