高中数学人教A版 (2019)必修 第一册3.2 函数的基本性质第2课时课后复习题

第2课时　函数的最大(小)值

基础过关练

题组一　求函数的最大(小)值

1.函数f(x)在[-2,2]上的图象如图所示,则此函数的最小值,最大值分别是(　　)

A.f(-2),0 B.0,2

C.f(-2),2 D.f(2),2

2.函数f(x)=在区间(-∞,-1]上(　　)

A.有最大值,无最小值

B.有最小值,无最大值

C.既有最大值,也有最小值

D.既无最大值,也无最小值

3.函数y=x2-2x+3(-1≤x≤2)的值域是(　　)

A.R B.[3,6]

C.[2,6] D.[2,+∞)

4.函数y=的最大值是(　　)

A.3 B.4 C.5 D.6

5.某商场经营一批进价为每件30元的商品,在市场试销中发现,该商品销售单价x(不低于进价,单位:元)与日销售量y(单位:件)之间有如下关系:

(1)确定x与y的一个一次函数关系式y=f(x)(注明函数的定义域);

(2)若日销售利润为P元,根据(1)中的关系式写出P关于x的函数关系式,并指出当销售单价为多少元时,能获得最大的日销售利润.

6.已知不等式x2-5ax+b>0的解集为{x|x>4或x<1}.

(1)求实数a,b的值;

(2)若0<x<1, f(x)=+,求函数f(x)的最小值.

题组二　函数最大(小)值的综合运用

7.若函数y=ax+1在[1,2]上的最大值与最小值的差为2,则实数a的值是(　　)　　　　　 　　　　　 　　　　　

A.2 B.-2 C.2或-2 D.0

8.若函数f(x)=在区间[2,4]上的最小值为5,则k的值为(　　)

A.10 B.10或20

C.20 D.无法确定

9.在如图所示的锐角三角形空地中,欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分),则其边长x为　　　　m. 

10.已知函数f(x)=-(a>0,x>0).

(1)用定义证明f(x)在(0,+∞)上是增函数;

(2)若f(x)在区间上的最大值为5,求实数a的值.

题组三　函数的最大(小)值在方程与不等式中的应用

11.若∀x∈,都有不等式-x+a+1≥0成立,则a的最小值为(　　)

A.0 B.-2 C.- D.-

12.已知函数f(x)=-x2+4x+m,若∃x∈[0,1],f(x)=0,则m的取值范围是(　　)

A.[-4,+∞) B.[-3,+∞)

C.[-3,0] D.[-4,0]

13.已知函数f(x)=ax2-4ax+b(a>0)在区间[0,1]上有最大值1和最小值-2.

(1)求a,b的值;

(2)若在区间[-1,1]上,不等式f(x)>-x+m恒成立,求实数m的取值范围.

14.已知函数f(x)=,x∈[3,5].

(1)判断函数f(x)的单调性,并证明;

(2)若不等式f(x)>a在[3,5]上恒成立,求实数a的取值范围;

(3)若不等式f(x)>a在[3,5]上有解,求实数a的取值范围.

15.已知函数f(x)=-x2+2ax+1-a.

(1)若a=2,求函数f(x)在区间[0,3]上的最小值;

(2)若函数f(x)在区间[0,1]上有最大值3,求实数a的值.

能力提升练

题组一　求函数的最大(小)值

1.(2019山西长治二中高一上第一次月考,)函数f(x)=在区间[-5,-3]上的最小值为(　　)

A. B.1

C. D.2

2.(2019湖南衡阳一中高一上第一次检测,)已知f(x)=min{x2-2x,6-x,x},则f(x)的值域是(　　)

A.(-∞,3) B.(-∞,3]

C.[0,3]    D.[3,+∞)

3.(2020河北承德一中高一上月考,)函数f(x)=2x-的最小值为(　　)

A.- B.-2

C.- D.-

4.(多选)()已知函数f(x)=x2-2x+2,关于f(x)的最大(小)值有如下结论,其中正确的是(　　)

A.f(x)在区间[-1,0]上的最小值为1

B.f(x)在区间[-1,2]上既有最小值,又有最大值

C.f(x)在区间[2,3]上有最小值2,最大值5

D.当0<a<1时,f(x)在区间[0,a]上的最小值为f(a);当a>1时,f(x)在区间[0,a]上的最小值为1

5.(2020江西临川一中高一上月考,)已知函数f(x)=x2+2ax-1,x∈[-1,1].

(1)若a=,求函数f(x)的最值;

(2)若a∈R,记函数f(x)的最小值为g(a),求g(a)关于a的函数解析式.

题组二　函数最大(小)值的综合运用

6.(2020河南洛阳一中高一上月考,)若函数y=f(x)=x2-3x-4的定义域为[0,m],值域为,则m的取值范围是(　　)

A.(0,4] B.

C. D.

7.(2020安徽芜湖一中月考,)若关于x的不等式|x-4|+|x+3|<a有实数解,则实数a的取值范围是(　　)

A.(7,+∞) B.[7,+∞)

C.(1,+∞) D.(1,7)

8.(2019广东中山一中高一上第一次检测,)已知函数f(x)=x2-2x,g(x)=ax+2(a>0),若对任意x1∈[-1,2],总存在x2∈[-1,2],使得f(x1)=g(x2),则实数a的取值范围是(　　)

A. B.

C.(0,3]    D.[3,+∞)

9.(多选)()已知函数f(x)=-2x+1(x∈[-2,2]),g(x)=x2-2x(x∈[0,3]),则下列结论正确的是(　　)

A.∀x∈[-2,2], f(x)>a恒成立,则实数a的取值范围是(-∞,-3)

B.∃x∈[-2,2], f(x)>a,则实数a的取值范围是(-∞,-3)

C.∃x∈[0,3],g(x)=a,则实数a的取值范围是[-1,3]

D.∀x∈[-2,2],∃t∈[0,3],f(x)=g(t)

10.(2020广东江门二中高一上月考,)已知函数g(x)=ax2-2ax+1+b(a>0)在区间[2,3]上有最小值1和最大值4,设f(x)=.

(1)求a,b的值;

(2)若不等式f(x)-kx-4≤0在x∈[-1,0)时恒成立,求实数k的取值范围.

答案全解全析

基础过关练

1.C　由题图可知,此函数的最小值是f(-2),最大值是2.

2.B　函数f(x)=在区间(-∞,-1]上是减函数,故该函数有最小值f(-1)=-1,无最大值.

3.C　函数y=x2-2x+3=(x-1)2+2(-1≤x≤2),其图象开口向上,且对称轴方程为x=1,故当x=1时,函数取得最小值2,当x=-1时,函数取得最大值6.故值域为[2,6].

4.C　当x<1时,函数y=x+3单调递增,有y<4,无最大值;当x≥1时,函数y=-x+6单调递减,在x=1处取得最大值5.所以该函数的最大值为5.

5.解析　(1)因为f(x)是一次函数,所以设f(x)=ax+b(a≠0),

由题中表格可得解得

所以y=f(x)=-3x+162.

又y≥0,所以30≤x≤54,

故所求函数关系式为y=-3x+162,x∈[30,54].

(2)由题意得,

P=(x-30)y=(x-30)(162-3x)=-3x2+252x-4 860=-3(x-42)2+432,x∈[30,54].

所以当x=42时,Pmax=432,即当销售单价为42元时,能获得最大的日销售利润.

6.解析　(1)依题意可得方程x2-5ax+b=0的根为4或1,

∴由根与系数的关系得即

(2)由(1)知f(x)=+,

∵0<x<1,∴0<1-x<1,>0,>0,

∴+=[x+(1-x)]=++5≥2+5=9,

当且仅当=,即x=时等号成立,∴f(x)的最小值为9.

7.C　由题意知a≠0,当a>0时,函数y=ax+1在[1,2]上单调递增,有(2a+1)-(a+1)=2,解得a=2;当a<0时,函数y=ax+1在[1,2]上单调递减,有(a+1)-(2a+1)=2,解得a=-2.综上知,a=±2.

8.C　当k=0时,不符合题意;

当k>0时,f(x)=在[2,4]上是减函数,∴f(x)min=f(4)==5,∴k=20,符合题意;

当k<0时,f(x)=在[2,4]上是增函数,f(x)min=f(2)==5,∴k=10,

又∵k<0,∴k=10舍去.综上知,k=20.

9.答案　20

解析　设矩形花园的边长x的邻边长为y,则=,即y=40-x,由此可知,矩形花园的面积S=x·(40-x)=-x2+40x=-(x-20)2+400,所以当x=20 m时,面积最大.

10.解析　(1)证明:任取x1,x2∈(0,+∞),且x1<x2,

则f(x1)-f(x2)=--

=,

∵0<x1<x2,∴x1-x2<0,x1x2>0,

∴f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2),

故f(x)在(0,+∞)上是增函数.

(2)由题意及(1)知f(x)=-在区间上是增函数,

∴f(x)max=f(4)=5,

∴f(4)=-=5,解得a=.

11.D　设f(x)=-x+a+1,由不等式-x+a+1≥0对一切x∈都成立,可得f(x)min≥0.因为f(x)在上是减函数,所以当x∈时, f(x)min=a+,所以a+≥0,即a≥-,所以amin=-,故选D.

12.C　∵函数f(x)=-x2+4x+m的图象开口向下,对称轴方程为x=2,∴函数f(x)在区间[0,1]上单调递增,∴f(x)max=f(1)=3+m, f(x)min=f(0)=m,即函数f(x)的值域为[m,m+3].

由方程f(x)=0有解,知0∈[m,m+3],因此m≤0,且m+3≥0,解得-3≤m≤0,故选C.

13.解析　(1)∵f(x)=ax2-4ax+b(a>0),

∴函数f(x)的图象开口向上,且图象的对称轴方程为x=2,

∴f(x)在[0,1]上是减函数,

∴f(x)max=f(0)=b=1,f(x)min=f(1)=b-3a=-2,∴a=b=1.

(2)由f(x)>-x+m,可得x2-4x+1>-x+m即x2-3x+1-m>0,要使此不等式在[-1,1]上恒成立,

只需使函数g(x)=x2-3x+1-m在[-1,1]上的最小值大于0即可.

∵g(x)=x2-3x+1-m在[-1,1]上单调递减,

∴g(x)min=g(1)=-m-1,由-m-1>0,得m<-1.

因此满足条件的实数m的取值范围是(-∞,-1).

14.解析　(1)f(x)在[3,5]上为增函数.

证明:任取x1,x2∈[3,5],且x1<x2,

则f(x1)-f(x2)=-

=.

∵3≤x1<x2≤5,

∴x1-x2<0,(x1+2)(x2+2)>0,

∴f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2),

∴f(x)在[3,5]上为增函数.

(2)由不等式f(x)>a在[3,5]上恒成立,知f(x)min>a.

由(1)知f(x)在[3,5]上为增函数,

∴f(x)min=f(3)=,

∴>a,即a<,

故实数a的取值范围是.

(3)由不等式f(x)>a在[3,5]上有解,知

f(x)max>a.

由(1)知f(x)在[3,5]上为增函数,

∴f(x)max=f(5)=,

∴>a,即a<,

故实数a的取值范围是.

15.解析　(1)若a=2,则f(x)=-x2+4x-1=-(x-2)2+3,该函数的图象开口向下,图象的对称轴为直线x=2,

∴函数f(x)在区间[0,2]上单调递增,在区间[2,3]上单调递减,

又f(0)=-1, f(3)=2,∴f(x)min=f(0)=-1.

(2)易知函数图象的对称轴为直线x=a,

①当a≤0时,函数f(x)在区间[0,1]上单调递减,则f(x)max=f(0)=1-a=3,解得a=-2;

②当0<a<1时,函数f(x)在区间[0,a]上单调递增,在区间[a,1]上单调递减,则

f(x)max=f(a)=a2-a+1=3,解得a=2或a=-1,均不符合题意;

③当a≥1时,函数f(x)在区间[0,1]上单调递增,则f(x)max=f(1)=-1+2a+1-a=3,解得a=3.

综上所述,a=-2或a=3.

能力提升练

1.C　由f(x)===1-,知f(x)在(-∞,-2)上是增函数,所以f(x)在[-5,-3]上单调递增,所以f(x)min=f(-5)=,故选C.

2.B　在同一平面直角坐标系中作出函数y=x2-2x,y=6-x,y=x的图象,由f(x)=min{x2-2x,6-x,x}知,对任意x∈R, f(x)取三个函数值中最小的,因此f(x)的图象如图所示(实线部分),所以可得f(x)的值域为(-∞,3].

3.A　设t=(t≥0),则x=t2-1(t≥0),所以g(t)=2(t2-1)-t=2t2-t-2(t≥0).易知函数g(t)=2t2-t-2在上单调递减,在上单调递增,∴f(x)min=g(t)min=g=-,故选A.

4.BCD　函数f(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1的图象开口向上,对称轴为直线x=1.在选项A中,因为f(x)在区间[-1,0]上单调递减,所以f(x)在区间[-1,0]上的最小值为f(0)=2,A错误;在选项B中,因为f(x)在区间[-1,1]上单调递减,在[1,2]上单调递增,所以f(x)在区间[-1,2]上的最小值为f(1)=1,又因为f(-1)=5, f(2)=2, f(-1)>f(2),所以f(x)在区间[-1,2]上的最大值为f(-1)=5,B正确;在选项C中,因为f(x)在区间[2,3]上单调递增,所以f(x)在区间[2,3]上的最小值为f(2)=2,最大值为f(3)=5,C正确;在选项D中,当0<a<1时, f(x)在区间[0,a]上单调递减,所以f(x)的最小值为f(a),当a>1时,因为f(x)在区间[0,1]上单调递减,在[1,a]上单调递增,所以f(x)在区间[0,a]上的最小值为f(1)=1,D正确.故选BCD.

5.解析　(1)当a=时,f(x)=x2+x-1,x∈[-1,1],其图象开口向上,且对称轴方程为x=-,

∴函数y=f(x)在上单调递减,在上单调递增,

∴f(x)的最小值为f=-, f(-1)=-1, f(1)=1,∴f(x)的最大值为f(1)=1,最小值为f=-.

(2)函数f(x)=x2+2ax-1的图象开口向上,且对称轴方程为x=-a,

当-a≤-1,即a≥1时,y=f(x)在[-1,1]上单调递增,∴f(x)min=f(-1)=-2a=g(a);

当-1<-a<1,即-1<a<1时,y=f(x)在[-1,-a]上单调递减,在[-a,1]上单调递增,

∴f(x)min=f(-a)=-a2-1=g(a);

当-a≥1,即a≤-1时,y=f(x)在[-1,1]上单调递减,

∴f(x)min=f(1)=2a=g(a).

综上可得,g(a)=

6.C　∵y=f(x)=x2-3x-4=-,

∴f=-,且f(0)=f(3)=-4,

由已知及二次函数的图象可知,m的值最小为,最大为3,即m的取值范围是,故选C.

7.A　设f(x)=|x-4|+|x+3|,

则f(x)=

作出函数f(x)的图象如图所示.

由图象知f(x)min=7,

又f(x)<a有实数解,所以f(x)min<a,

即a>7,故选A.

8.D　∵f(x)=x2-2x=(x-1)2-1,x∈[-1,2],

∴f(x)min=f(1)=-1, f(x)max=f(-1)=3,

∴f(x)在[-1,2]上的值域为[-1,3]=A.

又∵g(x)=ax+2(a>0)在[-1,2]上单调递增,∴g(x)在[-1,2]上的值域为[-a+2,2a+2]=B.

依题意得A⊆B,∴即

解得a≥3,故选D.

9.AC　在A中,因为f(x)=-2x+1(x∈[-2,2])是减函数,所以当x=2时,函数取得最小值,最小值为-3,因此a<-3,A正确;在B中,因为f(x)=-2x+1(x∈[-2,2])是减函数,所以当x=-2时,函数取得最大值,最大值为5,因此a<5,B错误;在C中,g(x)=x2-2x=(x-1)2-1(x∈[0,3]),∴当x=1时,函数取得最小值,最小值为-1,当x=3时,函数取得最大值,最大值为3,故函数的值域为[-1,3],由g(x)=a有解,知a∈[-1,3],C正确;在D中,∀x∈[-2,2],∃t∈[0,3], f(x)=g(t)等价于f(x)的值域是g(t)的值域的子集,而f(x)的值域是[-3,5],g(t)的值域是[-1,3],D错误.故选AC.

10.解析　(1)函数g(x)=ax2-2ax+1+b=a(x-1)2-a+1+b,其中a>0,则其图象开口向上,对称轴方程为x=1,

∴该函数在区间[2,3]上单调递增,

∴g(x)min=g(2)=1+b=1,解得b=0,

g(x)max=g(3)=3a+1+b=4,解得a=1.

(2)f(x)==x+-2,

不等式f(x)-kx-4≤0等价于x+-2-kx-4≤0,即kx≥x+-6,

∴要满足不等式f(x)-kx-4≤0在x∈[-1,0)时恒成立,只需满足k≤-+1在x∈[-1,0)时恒成立即可.

设h(x)=-+1=-8,

∵x∈[-1,0),∴∈(-∞,-1],∴当=-1时,h(x)min=16-8=8,∴k≤8.