数学必修 第一册3.4 函数的应用（一）课时练习

3.4　函数的应用(一)

基础过关练

题组一　一次函数模型及其应用

1.(2020陕西渭南高一上期中)网上购鞋常常看到下面这样一张表,第一行可以理解为脚的长度,第二行是我们习惯称呼的“鞋号”.

从上述表格可以推算出,“30号”的童鞋对应的脚的长度为(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　

A.150 mm B.200 mm C.180 mm D.210 mm

2.为了发展电信事业,方便用户,电信公司对移动电话采用不同的收费方式,其中所使用的“如意卡”与“便民卡”在某市范围内每月(30天)的通话时间x(分)与通话费用y(元)的关系如图所示.

(1)分别求出通话费用y1,y2与通话时间x之间的函数解析式;

(2)请帮助用户计算在一个月内使用哪种卡便宜.

题组二　二次函数模型及其应用

3.(2020辽宁大连高一上期中)加工爆米花时,爆开且不煳的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”.在特定条件下,可食用率p与加工时间t(单位:分钟)满足函数关系p=at2+bt+c(a,b,c是常数),下图记录了三次试验的数据.根据上述函数模型和试验数据,可以得到最佳加工时间为(　　)

A.3.50分钟 B.3.75分钟 C.4.00分钟 D.4.25分钟

4.用一根长为12 m的铁丝弯成一个矩形的铁框架,能弯成的框架的最大面积是　　　　m2. 

5.生产某机器的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式是y=x2-75x,若每台机器售价均为25万元,则该厂为使所获利润最大应生产机器　　　　台. 

6.(2020湖南常德一中高一上月考)某水厂的蓄水池中有400吨水,每天零点开始由池中放水向居民供水,同时以每小时60吨的速度向池中注水,当池中有水400吨后将维持400吨水量不变,若t小时内向居民供水总量为100吨(0≤t≤24),则t为何值时蓄水池中的存水量最少?

题组三　分段函数模型及其应用

7.某公司招聘员工,面试人数按拟录用人数分段计算,计算公式为y=其中x代表拟录用人数,y代表面试人数,若面试人数为60,则该公司拟录用人数为(　　)

A.15 B.40

C.25 D.130

8.(2020四川成都高一上期末)汽车从A地出发直达B地,途中经过C地,假设汽车匀速行驶,5 h后到达B地.汽车与C地的距离s(单位:km)关于时间t(单位:h)的函数关系如图所示,则汽车从A地到B地行驶的路程为　　　　km.深度解析 

能力提升练

题组一　二次函数模型及其应用

1.(2020山东潍坊高一上期中,)我国的烟花名目繁多,其中“菊花”烟花是最壮观的烟花之一.制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂.如果烟花距地面的高度h(单位:m)与时间t(单位:s)之间的关系为h(t)=-4.9t2+14.7t+17,那么烟花冲出后在爆裂的最佳时刻距地面的高度约为(　　)

A.26 m B.28 m C.30 m D.32 m

2.(2020湖南益阳箴言中学高一上期中,)某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料,如图,为降低消耗,开源节流,现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图中阴影部分)备用,当截取的矩形面积最大时,矩形中相邻两边的长x,y(8≤y<24)应为(　　)

A.x=15,y=12 B.x=12,y=15

C.x=14,y=10 D.x=10,y=14

3.(2020天津耀华中学高一上期中,)某桶装水经营部每天的固定成本为420元,每桶水的进价为5元,日均销售量y(桶)与销售单价x(元)的关系式为y=-30x+450,则该桶装水经营部要使日利润最大,销售单价应定为　　　　元. 

4.(2020安徽宿州十三所重点中学高一上期中联考,)如图所示,有一块矩形空地ABCD,要在这块空地上开辟一个内接四边形绿地(图中四边形EFGH),使其四个顶点分别落在矩形的四条边上.已知AB=a(a>2),BC=2,且AE=AH=CF=CG,设AE=x,绿地面积为y,若2<a<6,则当AE=　　　　时,绿地面积y最大.(用含a的式子作答)  

5.(2020陕西西安中学高一上期中,)十一长假期间,某宾馆有50个房间供游客住宿,当每个房间的房价为每天180元时,房间会全部住满.当每个房间每天的房价每增加10元时,就会有一个房间空闲.宾馆需对游客居住的每个房间每天支出20元的各种费用(人工费,消耗费用等等).受市场调控,每个房间每天的房价不得高于340元.设每个房间每天的房价增加x元(x≥0且x为10的整数倍).

(1)设一天订住的房间数为y,直接写出y与x的函数关系式及自变量x的取值范围;

(2)设宾馆一天的利润为W元,求W与x的函数关系式;

(3)一天订住多少个房间时,宾馆每天的利润最大?最大利润是多少元?

题组二　分段函数模型及其应用

6.(多选)()某市出租车收费标准如下:起步价为8元,起步里程为3 km(不超过3 km按起步价付费);超过3 km但不超过8 km时,超过部分按每千米2.15元收费;超过8 km时,超过部分按每千米2.85元收费.另每次乘坐需付燃油附加费1元.下列结论正确的是(　　)

A.出租车行驶2 km,乘客需付费8元

B.出租车行驶4 km,乘客需付费9.6元

C.出租车行驶10 km,乘客需付费25.45元

D.某人两次乘出租车均行驶5 km的费用之和超过他乘出租车行驶10 km一次的费用

7.(2020北京丰台高一上期中,)某建材商场国庆期间搞促销活动,规定:如果顾客选购物品的总金额不超过600元,则不享受任何折扣优惠;如果顾客选购物品的总金额超过600元,则超过600元部分享受一定的折扣优惠,折扣优惠按下表累计计算.

某人在此商场购物获得的折扣优惠金额为30元,则他实际所付金额为　　　　元. 

8.(2020山东新泰一中高一上期中,)某景点有50辆自行车供游客有偿租用,管理自行车的总费用是每日115元.根据经验,若每辆自行车的日租金不超过6元,则自行车可以全部租出;若超过6元,则每提高1元,租不出去的自行车就增加3辆.规定:每辆自行车的日租金不超过20元,每辆自行车的日租金x元只取整数,并要求出租的所有自行车一日的总收入必须超过一日的管理总费用,用y表示出租的所有自行车的日净收入(即一日中出租的所有自行车的总收入减去管理总费用后所得的收入).

(1)求y关于x的函数解析式及其定义域;

(2)试问日净收入最多时每辆自行车的日租金应定为多少元?日净收入最多为多少元?

9.(2020山西忻州一中高一期中,)某市居民生活用水收费标准如下:

已知某用户1月份用水量为8 t,缴纳的水费为33元;2月份用水量为6 t,缴纳的水费为21元.设用户每月缴纳的水费为y元.

(1)写出y关于x的函数解析式;

(2)若某用户3月份用水量为3.5 t,则该用户需缴纳的水费为多少元?

(3)若某用户希望4月份缴纳的水费不超过24元,求该用户最多可以用多少水.

10.(2019山西运城康杰中学高一上期中,)如图,已知底角为45°的等腰梯形ABCD,底边BC长为 7 cm,腰长为2 cm,当一条垂直于底边BC(垂足为F)的直线l从左至右移动(与梯形ABCD有公共点)时,直线l把梯形分成两部分(设直线l与梯形ABCD的另一交点为E),令BF=x cm,试写出直线l左边阴影部分的面积y(cm2)与x(cm)的函数解析式.

11.(2020河南省实验中学高一上期中,)2019年某开发区一家汽车生产企业计划引进一批新能源汽车制造设备,通过市场分析,全年需投入固定成本3 000万元,生产x(百辆),需另投入成本C(x)万元,且C(x)=由市场调研知,每辆车售价为6万元,且全年内生产的车辆当年能全部销售完.

(1)求出2019年的利润L(x)(万元)关于年产量x(百辆)的函数关系式;

(2)2019年年产量为多少百辆时,企业所获利润最大?并求出最大利润.

答案全解全析

基础过关练

1.B　设脚的长度为y mm,对应的鞋号为x号,由题中表格可得,y=5x+50.当x=30时,y=5×30+50=200.故选B.

2.解析　(1)由题中图象可设y1=k1x+30(k1≠0),y2=k2x(k2≠0),把点B(30,35),C(30,15)分别代入y1=k1x+30,y2=k2x,得k1=,k2=,∴y1=x+30(x≥0),y2=x(x≥0).

(2)由(1)得,y1-y2=x+30-x=30-x,当y1>y2,即30-x>0时,解得x<90;当y1=y2,即30-x=0时,解得x=90;当y1<y2,即30-x<0时,解得x>90.

综上可知,当通话时间小于90分钟时,“便民卡”便宜;当通话时间等于90分钟时,使用两种卡收费一样多;当通话时间大于90分钟时,使用“如意卡”便宜.

3.B　由已知得

解得

∴p=-0.2t2+1.5t-2=-+,

∴当t==3.75时,p取得最大值,

即最佳加工时间为3.75分钟.

故选B.

4.答案　9

解析　设矩形框架一边长为x m,则其邻边长为=(6-x)m.

由得0<x<6,

∴面积S=x(6-x)=-x2+6x=-(x-3)2+9(0<x<6),

∴当x=3时,S取得最大值9.

故框架的最大面积是9 m2.

5.答案　50

解析　设安排生产x台机器,则获得的利润为25x-y=-x2+100x=-(x-50)2+2 500.

故当x=50时,获利最大.

6.解析　设t小时后,蓄水池中的存水量为y吨,则y=400+60t-100(0≤t≤24).

设u=,则u∈[0,2],y=60u2-100u+400=60+150,

∴当u=,即t=时,蓄水池中的存水量最少.

7.C　若4x=60,则x=15>10,不合题意;若2x+10=60,则x=25,满足题意;若1.5x=60,则x=40<100,不合题意.故拟录用25人.

8.答案　500

解析　设汽车的速度为v(km/h),

则从A地到C地,s=200-vt(0≤t≤2),

又t=2时,s=0,

∴2v=200,解得v=100.

从C地到B地,s=v(t-2)=100(t-2)(2<t≤5),

∴t=5时,s=100×(5-2)=300.

200+300=500(km),故汽车从A地到B地行驶的路程为500 km.

解题模板　解决分段函数的应用问题,首先要确定自变量的取值范围,其次要求出在每一段自变量的取值范围内对应的函数解析式,最后再利用函数解析式解决问题.

能力提升练

1.B　由h(t)=-4.9t2+14.7t+17=-4.9(t-1.5)2+1.52×4.9+17得,当t=1.5时,h(t)max=1.52×4.9+17=28.025≈28(m).故选B.

2.A　如图所示,过点D作DE⊥BC于点E,则=,即=,整理得y=24-x.

∴截取的矩形面积S=x=-(x-15)2+180(0<x≤20).

由此可知,当x=15时,S取得最大值,此时y=12,故选A.

3.答案　10

解析　设该桶装水经营部的利润为f(x)元,则f(x)=xy-420-5y=-30x2+600x-2 670=-30(x-10)2+330,所以当x=10时, f(x)取得最大值330,即该桶装水经营部要使日利润最大,销售单价应定为10元.

4.答案　

解析　 ∵S△AEH=S△CFG=x2,S△BEF=S△DGH=(a-x)(2-x),∴y=S矩形ABCD-2S△AEH-2S△BEF=2a-x2-(a-x)(2-x)=-2x2+(a+2)x,由得0<x≤2,∴y=-2x2+(a+2)x,x∈(0,2].∵2<a<6,∴1<<2,∴当x=时,y取得最大值,最大值为.

5.解析　(1) y=50-x (0≤x≤160,且x是10的整数倍).

(2)W=(180+x-20)=-x2+34x+8 000(0≤x≤160,且x是10的整数倍).

(3)由(2)得W= -x2+34x+8 000=-(x-170)2+10 890,当x<170时,W随x的增大而增大,

又0≤x≤160,

∴当x=160时,W最大=10 880,则y=50-x=34.

故一天订住34个房间时,宾馆每天的利润最大,最大利润是10 880元.

6.CD　在A中,出租车行驶2 km,乘客需付起步价8元和燃油附加费1元,共9元,A错误;在B中,出租车行驶4 km,乘客需付费8+1×2.15+1=11.15元,B错误;在C中,出租车行驶10 km,乘客需付费8+2.15×5+2.85×(10-8)+1=25.45元,C正确;在D中,乘出租车行驶5 km,乘客需付费8+2×2.15+1=13.3元,乘坐两次需付费26.6元,26.6>25.45,D正确.故选CD.

7.答案　1 120

解析　500×5%=25,由于30>25,因此顾客选购物品的总金额x超过1 100元,

所以折扣优惠金额为500×0.05+(x-1 100)×0.1=30,解得x=1 150,

故他实际所付金额为1 150-30=1 120(元).

8.解析　(1)当0<x≤6且x∈N*时,y=50x-115,令50x-115>0,解得x>2.3,∴3≤x≤6且x∈N*.

当6<x≤20且x∈N*时,y=[50-3(x-6)]x-115=-3x2+68x-115>0恒成立.

故y=

其定义域为{x∈N*|3≤x≤20}.

(2)当3≤x≤6且x∈N*时,y=50x-115单调递增,

∴当x=6时,ymax=185.

当6<x≤20且x∈N*时,y=-3x2+68x-115=-3+,

∴当x=11时,ymax=270.

∵185<270,∴当每辆自行车的日租金定为11元时才能使日净收入最多,日净收入最多为270元.

9.解析　(1)由题设可得

y=

当x=8时,y=33;当x=6时,y=21,代入得解得

∴y关于x的函数解析式为

y=

(2)当x=3.5时,y=3×3.5-3=7.5.

∴该用户3月份需缴纳的水费为7.5元.

(3)令6x-15≤24,解得x≤6.5.

∴该用户最多可以用6.5 t水.

10.解析　如图,过点A,D分别作AG⊥BC,DH⊥BC,垂足分别为G,H.因为四边形ABCD是等腰梯形,底角为45°,AB=2 cm,所以BG=AG=DH=HC=2 cm,又BC=7 cm,所以AD=GH=3 cm.

①当点F在BG上,即x∈[0,2]时,y=S△BFE=x2;

②当点F在GH上,即x∈(2,5]时,y=S梯形ABFE=SRt△ABG+S矩形AGFE=2+(x-2)·2=2x-2;

③当点F在HC上,即x∈(5,7]时,y=S五边形ABFED=S梯形ABCD-SRt△CEF=-(x-7)2+10.

所以所求的函数解析式为

y=

11.解析　(1)当0<x<50时,

L(x)=6×100x-10x2-200x-3 000=-10x2+400x-3 000;

当x≥50时,

L(x)=6×100x-601x-+9 000-3 000=6 000-.

∴L(x)=

(2)当0<x<50时,L(x)=-10(x-20)2+1 000,

∴当x=20时,L(x)max=L(20)=1 000;

当x≥50时,L(x)=6 000-,

L(x)在(50,100)上单调递增,在(100,+∞)上单调递减;

∴当x=100时,L(x)max=L(100)=5 800>1 000.

∴当x=100,即2019年年产量为100百辆时,该企业所获利润最大,且最大利润为5 800万元.