高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第三章 函数概念与性质本章综合与测试课时练习

本章复习提升

易混易错练

易错点1　忽视函数的定义域导致错误

1.()下列选项中, f(x)与g(x)表示同一个函数的是(　易错　)　　　　　 　　　　　 　　　　　

A.f(x)=x2,g(x)=

B.f(x)=,g(x)=

C.f(x)=1,g(x)=(x-1)0

D.f(x)=,g(x)=x-3

2.()已知函数y=f(x)是定义在(-1,1)上的减函数,且满足f(2a-1)<f(1-a),则实数a的取值范围为(　易错　)

A. B.

C.(0,2) D.(0,+∞)

3.(2020河南洛阳一高高一上月考,)函数f(x)=的单调递增区间是　　　　. 

4.()判断函数f(x)=(2-x)的奇偶性.易错

易错点2　忽略分段函数自变量的范围导致错误

5.()已知函数f(x)=3-2|x|,g(x)=x2,函数F(x)=那么函数y=F(x)(　　)

A.有最大值1,最小值-1

B.有最小值-1,无最大值

C.有最大值1,无最小值

D.有最大值3,最小值1

6.(2020天津六校高一上期中联考,)已知函数f(x)=使f(x)≥-1成立的x的取值范围是　　　　. 

7.(2020安徽六安第一中学高一上期中,)若函数f(x)=在R上为增函数,则实数a的取值范围为　　　　. 

8.()已知函数f(x)=

(1)作出函数f(x)的图象;

(2)说明函数f(x)的单调区间(不需要证明);

(3)若函数y=f(x)的图象与函数y=m的图象有四个交点,求实数m的取值范围.易错

易错点3　忽视对参数取值范围的讨论导致错误

9.()已知幂函数f(x)=(m∈Z)为偶函数,且在(0,+∞)上单调递减.

(1)求f(x)的解析式;

(2)讨论F(x)=af(x)+(a-2)x5·f(x)的奇偶性.

10.(2020河北承德一中高一上月考,)已知函数f(x)=-x2+2x-3.

(1)求f(x)在区间[a,a+1]上的最大值g(a);

(2)若(1)中的g(a)=-3,求a的值.

思想方法练

一、数形结合思想在函数中的运用

1.(2018北京丰台高一期中,)已知图①的图象对应的函数为y=f(x),则图②的图象对应的函数的解析式为(　　)

A.y=f(|x|) B.y=|f(x)|

C.y=f(-|x|) D.y=-f(|x|)

2.()已知函数f(x)为奇函数,当x>0时, f(x)为增函数,且f(2)=0,则{x|f(x-2)>0}=(　　)

A.{x|0<x<2或x>4} B.{x|x<0或x>4}

C.{x|x<0或x>6} D.{x|x<-2或x>2}

二、分类讨论思想在函数中的运用

3.()已知函数f(x)=满足对任意x1≠x2,都有<0成立,则实数a的取值范围是　　　　. 

4.(2019四川雅安中学高一上第一次月考,)已知函数f(x)=x|x-m|(x∈R),且f(1)=0.

(1)求m的值,并用分段函数的形式来表示f(x);

(2)在给定的直角坐标系内作出函数f(x)的图象(不用列表描点);

(3)由图象指出函数f(x)的单调区间.

三、转化与化归思想在函数中的运用

5.()已知f(x)为定义在R上的偶函数,g(x)=f(x)+x2,且当x∈(-∞,0)时,g(x)单调递增,则不等式f(x+1)-f(x+2)>2x+3的解集为(　　)

A. B.

C.(-∞,-3) D.(-∞,3)

6.(2020河北石家庄二中高一上期末,)设函数f(x)的定义域为R,满足f(x)=2f(x+2),且当x∈[-2,0)时,f(x)=-2x(x+2).若对任意x∈[m,+∞),都有f(x)≤,则m的取值范围是(深度解析)

A. B.

C. D.

四、方程思想在函数中的运用

7.(2020江西临川一中高一上月考,)已知函数f(x)满足2f(x)=xf+,则f(3)=(　　)

A.3 B. C. D.

8.(2020黑龙江哈尔滨四校高一上期中联考,)已知函数f(x)是定义在R上的增函数,并且满足f(x+y)=f(x)+f(y), f=1.

(1)求f(0)的值;

(2)判断函数f(x)的奇偶性;

(3)若f(x)+f(2+x)<2,求x的取值范围.

答案全解全析

易混易错练

1.B　选项A, f(x)=x2(x∈R)与g(x)==|x|(x∈R)的对应关系不同,所以不是同一个函数;选项B, f(x)==1(x>0)与g(x)==1(x>0)的定义域相同,对应关系也相同,所以是同一个函数;选项C, f(x)=1(x∈R)与g(x)=(x-1)0=1(x≠1)的定义域不同,所以不是同一个函数;选项D, f(x)==x-3(x≠-3)与g(x)=x-3(x∈R)的定义域不同,所以不是同一个函数.故选B.

易错警示　研究两个函数是不是同一个函数时,应先看定义域是否相同,再判断对应关系是否相同.忽视对定义域的判断,可能会导致判断错误.

2.B　由题意可知

解得0<a<1①.

∵f(x)在(-1,1)上是减函数,且f(2a-1)<f(1-a),

∴1-a<2a-1,解得a>②.

由①②可知<a<1,

即实数a的取值范围为.

易错警示　忽视定义域,错选A,导致解题错误.

3.答案　[2,+∞)

解析　由x2+x-6≥0得x≥2或x≤-3,设t=x2+x-6,则g(t)=(t≥0)在(0,+∞)上单调递增,t=x2+x-6在(-∞,-3]上单调递减,在[2,+∞)上单调递增,所以f(x)=的单调递增区间是[2,+∞).

4.解析　由题知,当且仅当≥0且2-x≠0,即-2≤x<2时,函数有意义.

∵定义域不关于原点对称,

∴函数f(x)是非奇非偶函数.

易错警示　研究函数的性质时应先求定义域,再化简解析式.若忽视定义域,进行不恒等变形(如本题中不求定义域将解析式化为f(x)=,再判断函数为偶函数)常导致判断错误.

5.C　令f(x)=g(x),解得x=±1.作出函数F(x)的图象如图所示(图中实线部分),

由图可知,函数F(x)有最大值1,无最小值.

6.答案　[-2,2]

解析　由题可得, f(x)≥-1⇔或

解得-2≤x≤0或0<x≤2,

因此x的取值范围是[-2,2].

7.答案　[1,2]

解析　若函数f(x)=在R上为增函数,则需满足解得1≤a≤2,

即实数a的取值范围为[1,2].

8.解析　(1)如图.

(2)函数f(x)的单调递增区间为(-∞,-2)和(0,1);单调递减区间为(-2,0)和(1,+∞).

(3)由图象知,函数y=f(x)的图象与函数y=m的图象有四个交点时,m的取值范围为(-1,0).

易错警示　作分段函数f(x)的图象,可先作出每一段在R上的图象,再截取在此段定义域内的部分,解题时要截取准确,以免出错.

9.解析　(1)由于幂函数f(x)=(m∈Z)在(0,+∞)上单调递减,所以m2-2m-3<0,解得-1<m<3.

因为m∈Z,所以m=0,1,2.

又因为f(x)是偶函数,

所以m=1,此时m2-2m-3=-4,故f(x)=x-4.

(2)结合(1)得F(x)=af(x)+(a-2)x5·f(x)=ax-4+(a-2)x.

当a=0时,F(x)=-2x,对于任意的x∈(-∞,0)∪(0,+∞)都有F(x)=-F(-x),所以F(x)=-2x是奇函数;

当a=2时,F(x)=,对于任意的x∈(-∞,0)∪(0,+∞)都有F(x)=F(-x),

所以F(x)=是偶函数;

当a≠0且a≠2时,F(1)=2a-2,F(-1)=2,因为F(1)≠F(-1),F(1)≠-F(-1),

所以F(x)=+(a-2)x是非奇非偶函数.

综上所述,当a=0时,F(x)为奇函数;当a=2时,F(x)为偶函数;当a≠0且a≠2时,F(x)为非奇非偶函数.

10.解析　(1)∵f(x)=-x2+2x-3的图象开口向下,图象的对称轴方程为x=1,

∴当a≥1时,f(x)在区间[a,a+1]上单调递减,g(a)=f(a)=-a2+2a-3;

当0<a<1时,f(x)在区间[a,a+1]上先增后减,g(a)=f(1)=-12+2-3=-2;

当a+1≤1,即a≤0时,f(x)在区间[a,a+1]上单调递增,g(a)=f(a+1)=-(a+1)2+2(a+1)-3=-a2-2.

综上所述,g(a)=

(2)由(1)知,g(a)=

∵g(a)=-3,∴当g(a)=-a2-2=-3(a≤0)时,a=-1或a=1(舍去);

当g(a)=-a2+2a-3=-3(a≥1)时,a=2或a=0(舍去);

当g(a)=-2(0<a<1)时,不符合题意.

综上可得,a的值为-1或2.

思想方法练

1.C　观察题图②中函数的图象知,图象关于y轴对称,故图②中的图象对应的函数为偶函数,比较题图①与图②中两个函数的图象,x<0时,图②中函数的图象与图①中函数的图象相同,只有C符合,故选C.

2.A　解法一:由函数f(x)为奇函数,x>0时, f(x)为增函数,且f(2)=0,

得x<0时, f(x)为增函数,

且f(-2)=0.令t=x-2,

则f(x-2)>0转化为f(t)>0,

得t>2或-2<t<0,

即x-2>2或-2<x-2<0,

解得x>4或0<x<2.故选A.

解法二:由函数f(x)为奇函数,x>0时, f(x)为增函数,且f(2)=0,可得函数f(x)在(-∞,0),(0,+∞)上单调递增,

且f(-2)=0,

故函数f(x)的图象如图所示,

由函数的图象可得, f(x-2)>0时,

-2<x-2<0或x-2>2,

解得0<x<2或x>4,故选A.

3.答案　[-2,0)

解析　∵对任意x1≠x2,都有<0,∴x1-x2与f(x1)-f(x2)异号,

∴f(x)是R上的减函数.

由分段函数的单调性知

解得-2≤a<0.

故实数a的取值范围是[-2,0).

4.解析　(1)∵f(1)=0,

∴|1-m|=0,即m=1,

∴f(x)=x|x-1|.

当x≥1时, f(x)=x(x-1)=x2-x;

当x<1时, f(x)=x(-x+1)=-x2+x.

因此f(x)=

(2)函数f(x)的图象如图.

(3)由图象得,函数f(x)的单调递增区间为和[1,+∞),单调递减区间为.

5.B　∵g(x)=f(x)+x2, f(x+1)-f(x+2)>2x+3,

又2x+3=(x+2)2-(x+1)2,

∴f(x+1)+(x+1)2>f(x+2)+(x+2)2,

即g(x+1)>g(x+2),

又f(x)为定义在R上的偶函数,

∴g(-x)=f(-x)+(-x)2=f(x)+x2=g(x),x∈R,

∴g(x)为偶函数,

又当x∈(-∞,0]时,g(x)单调递增,g(x+1)>g(x+2),

∴|x+1|<|x+2|⇒(x+1)2<(x+2)2,解得x>-,

即原不等式的解集为,故选B.

6.D　由f(x)=2f(x+2)得f(x+2)=f(x),则f(x)=f(x-2).当x∈[-2,0)时, f(x)=-2(x+1)2+2,其最大值为2.当x∈[0,2)时,x-2∈[-2,0), f(x)=f(x-2)=×[-2(x-2+1)2+2]=-(x-1)2+1,其最大值为1,同理当x∈[2,4)时,[f(x)]max=, f(x)≤恒成立.依此类推,可知当x≥2时,f(x)≤恒成立.又x∈[0,2)时,由f(x)=得-(x-1)2+1=⇒(x-1)2=⇒x=或x=.结合图象(图略)知,≤x<2, f(x)≤恒成立.综上所述,m的取值范围是,故选D.

解题模板　利用条件将未给出解析式的自变量的取值范围转化到已知解析式的自变量的取值范围内是解题的要点,解题时通常有以下三步:首先将目标中自变量的取值范围依题意转化到已知范围内,然后在自变量的已知范围内求出解析式,最后再用条件转化为目标范围内的解析式.

7.B　在2f(x)=xf+中,分别令x=3和x=,得2f(3)=3f+①,

2f=f(3)+3②,

联立①②消去f,解得f(3)=.故选B.

8.解析　(1)令x=y=0,得f(0)=f(0)+f(0),

即f(0)=0.

(2)函数f(x)的定义域是R,

令y=-x,则有 f(x-x)=f(x)+f(-x)=f(0)=0,即f(-x)=-f(x),

∴函数f(x)为奇函数.

(3)由题意知f(x)+f(2+x)=f(2x+2), f+f=f=2,所以由f(x)+f(2+x)<2,可得f(2x+2)<f,

又f(x)在R上单调递增,

∴2x+2<,

∴x<-,

∴x的取值范围是.