人教A版 (2019)必修 第一册第三章 函数概念与性质本章综合与测试随堂练习题

这是一份人教A版 (2019)必修 第一册第三章 函数概念与性质本章综合与测试随堂练习题，共20页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。

本章达标检测
(满分:150分;时间:120分钟)
一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.下列各组函数相等的是(　　)
A.y=x-1和y=x2-1x+1
B.y=x0和y=1(x∈R)
C.y=x2和y=(x+1)2
D. f(x)=(x)2x和g(x)=x(x)2
2.函数g(x)=-x2-x+2x的定义域为(　　)　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.(-2,0)∪(0,1)
B.[-2,0)∪(0,1]
C.(-1,0)∪(0,1]
D.[-1,0)∪(0,2]
3.已知函数f(x)=2x+1x-1,其定义域是[-8,-4),则下列说法正确的是(　　)
A. f(x)有最大值53,无最小值
B. f(x)有最大值53,最小值75
C. f(x)有最大值75,无最小值
D. f(x)有最大值2,最小值75
4.已知f(x)为一次函数,且f(f(x))=4x-3,则f(1)的值为(　　)
A.0 B.1 C.2 D.3
5.定义在R上的偶函数f(x),对任意的x1,x2∈(-∞,0),都有(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0,f(-1)=0,则不等式xf(x)<0的解集是(　　)
A.(-1,1)
B.(-∞,-1)∪(1,+∞)
C.(-1,0)∪(1,+∞)
D.(-∞,-1)∪(0,1)
6.已知f(x)=ax7-bx5+cx3+2,且f(-5)=m,则f(-5)+f(5)=(　　)
A.4 B.0
C.2m D.-m+4
7.已知函数f(x)=(a-3)x+5,x≤1,2ax,x>1是R上的减函数,那么a的取值范围是(　　)
A.(0,3) B.(0,3]
C.(0,2) D.(0,2]
8.已知函数f(x)的定义域是(0,+∞),且满足f(xy)=f(x)+f(y), f12=1,如果对于0f(y),那么不等式f(-x)+f(3-x)≥-2的解集为(　　)
A.[-4,0) B.[-1,0)
C.(-∞,0] D.[-1,4]
二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多个选项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分)
9.对任意两个实数a,b,定义min{a,b}=a,a≤b,b,a>b,若f(x)=2-x2,g(x)=x2,则下列关于函数F(x)=min{f(x),g(x)}的说法正确的是(　　)
A.函数F(x)是奇函数
B.方程F(x)=0有三个根
C.函数F(x)有4个单调区间
D.函数F(x)有最大值1,无最小值
10.若函数f(x)同时满足:①对于定义域上的任意x,恒有f(x)+f(-x)=0;②对于定义域上的任意x1,x2,当x1≠x2时,恒有f(x1)-f(x2)x1-x2<0,则称函数f(x)为“理想函数”.下列四个函数中,能被称为“理想函数”的有(　　)
A.f(x)=1x
B.f(x)=-x3
C.f(x)=|x|
D.f(x)=-x2(x≥0)x2(x<0)
11.函数f(x)=|x|-ax(a∈R)的大致图象可能是(　　)


12.对于定义域为D的函数y=f(x),若同时满足:①f(x)在D内单调递增或单调递减;②存在区间[a,b]⊆D,使f(x)在[a,b]上的值域为[a,b],则把y=f(x)(x∈D)称为闭函数.下列结论正确的是(　　)
A.函数y=x2+1是闭函数
B.函数y=-x3是闭函数
C.函数y=xx+1是闭函数
D.若函数y=k+x+2是闭函数,则k∈-94,-2
三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.将答
案填在题中横线上)
13.已知幂函数y=f(x)的图象过点(4,2),则f12的值为　　　　. 
14.已知函数f(x)是奇函数,当x>0时,f(x)=x(1-x),则当x<0时, f(x)=　　　　.  
15.有一批材料可以建成360 m长的围墙,如果用此材料在一边靠墙(墙足够长)的地方围成一块矩形场地,中间用同样的材料隔成三个面积相等的小矩形,如图所示,则围成场地的最大面积为　　　　m2(围墙厚度不计). 

16.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x>0时, f(x)=x2-2ax+a+2,其中a∈R.
(1)当a=1时, f(-1)=　　　　; 
(2)若f(x)的值域是R,则a的取值范围为　　　　.(本小题第一空2分,第二空3分) 
四、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分10分)已知函数f(x)=x+5,x≤1,-2x+8,x>1.
(1)求f(2)及f(f(-1))的值;
(2)解关于x的不等式f(x)>4.





18.(本小题满分12分)已知函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0),满足f(0)=2, f(x+1)-f(x)=2x-1.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)求函数f(x)的单调区间;
(3)当x∈[-1,2]时,求函数f(x)的最大值和最小值.










19.(本小题满分12分)已知定义域为R的函数f(x)满足:对任意实数x,y,均有f(x+y)=f(x)+f(y)+2,且f(2)=2,又当x>1时,f(x)>0.
(1)求f(0), f(-1)的值;
(2)证明:当x<1时,f(x)<0;
(3)判断函数f(x)的单调性,并证明.











20.(本小题满分12分)小张经营某一消费品专卖店,已知该消费品的进价为每件40元,该店每月销售量y(百件)与销售单价x(元)之间的关系用如图所示的折线表示,职工每人每月工资为3 000元,该店每月还应交付其他费用10 000元.
(1)把y表示为关于x的函数;
(2)当销售价为每件50元时,该店正好收支平衡(即利润为零),求该店的职工人数;
(3)若该店只有8名职工,则销售单价定为多少元时,该专卖店可获得最大月利润?







21.(本小题满分12分)已知函数f(x)=-x|x-a|+1(x∈R).
(1)当a=2时,试写出函数g(x)=f(x)-x的单调区间;
(2)当a>1时,求函数f(x)在[1,3]上的最大值.





22.(本小题满分12分)设a,b∈R,若函数f(x)定义域内的任意一个x都满足f(x)+f(2a-x)=2b,则函数f(x)的图象关于点(a,b)对称;反之,若函数f(x)的图象关于点(a,b)对称,则函数f(x)定义域内的任意一个x都满足f(x)+f(2a-x)=2b.已知函数g(x)=5x+3x+1.
(1)证明:函数g(x)的图象关于点(-1,5)对称;
(2)已知函数h(x)的图象关于点(1,2)对称,当x∈[0,1]时,h(x)=x2-mx+m+1.若对任意的x1∈[0,2],总存在x2∈-23,1使得h(x1)=g(x2)成立,求实数m的取值范围.深度解析





答案全解全析
一、单项选择题
1.D　A,B选项中,两个函数的定义域不相同,故A,B错误;C选项中两个函数的对应关系不同,故C错误;D选项中两个函数的定义域、对应关系都相同,故选D.
2.B　依题意得-x2-x+2≥0,x≠0,解得-2≤x≤1,且x≠0,故选B.
3.A　f(x)=2x+1x-1=2(x-1)+3x-1=2+3x-1,所以f(x)在[-8,-4)上为减函数,所以f(x)max=f(-8)=53,无最小值.故选A.
4.B　设f(x)=kx+b(k≠0),则f(f(x))=f(kx+b)=k(kx+b)+b=k2x+kb+b=4x-3,
因此k2=4,kb+b=-3,解得k=2,b=-1或k=-2,b=3,所以f(x)=2x-1或f(x)=-2x+3.
当f(x)=2x-1时,f(1)=1;当f(x)=-2x+3时, f(1)=1.
综上, f(1)=1,故选B.
5.D　由于对任意的x1,x2∈(-∞,0),都有(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0,所以函数f(x)在(-∞,0)上为减函数,由于f(x)是R上的偶函数,故f(x)在(0,+∞)上为增函数,且f(1)=f(-1)=0,由此画出f(x)的大致图象如图所示:

由图可知,不等式xf(x)<0的解集是(-∞,-1)∪(0,1).故选D.
6.A　令g(x)=ax7-bx5+cx3,易知g(x)为奇函数,则f(x)=g(x)+2,∴f(-5)=g(-5)+2=m,g(-5)=m-2,
∴g(5)=-g(-5)=-m+2,∴f(5)=g(5)+2=4-m,∴f(-5)+f(5)=4.
7.D　∵函数f(x)=(a-3)x+5,x≤1,2ax,x>1是R上的减函数,
∴x≤1时,f(x)单调递减,即a-3<0,①
x>1时, f(x)单调递减,即a>0,②
且(a-3)×1+5≥2a1,③
联立①②③解得0 8.B　令x=y=1,得f(1)=2f(1),即f(1)=0;令x=12,y=2,得f(1)=f(2)+f12,即f(2)=-1;令x=y=2,得f(4)=2f(2)=-2.由f(-x)+f(3-x)≥-2,可得f(x2-3x)≥f(4),又因为函数f(x)的定义域是(0,+∞),且对于0f(y),所以-x>0,3-x>0,x2-3x≤4,即x<0,x<3,-1≤x≤4,解得-1≤x<0,即不等式f(-x)+f(3-x)≥-2的解集为[-1,0).
二、多项选择题
9.BCD　依题意,得F(x)=
2-x2,x≤-1或x≥1,x2,-1
由图可知,F(x)为偶函数;方程F(x)=0有三个根,分别是-2,0,2;F(x)的单调增区间为(-∞,-1],(0,1),F(x)的单调减区间为(-1,0],[1,+∞),所以函数F(x)有4个单调区间;当x=±1时,F(x)取得最大值1,无最小值.故选BCD.
10.BD　由题中①知, f(x)为奇函数,由②知, f(x)为减函数.在A中,函数f(x)=1x为定义域上的奇函数,但不是定义域上的减函数,所以不是理想函数;在B中,函数f(x)=-x3为定义域上的奇函数,且在定义域上为减函数,所以为理想函数;在C中,函数f(x)=|x|为定义域上的偶函数,且在定义域上不单调,所以不是理想函数;在D中,函数f(x)=-x2(x≥0),x2(x<0)的大致图象如图所示,

显然此函数为奇函数,且在定义域上为减函数,所以为理想函数,综上,选BD.
11.ABD　f(x)的定义域为{x|x∈R,且x≠0}.当a=0时,f(x)=|x|(x≠0),图象同选项A;当a≠0时, f(x)=|x|-ax=x-ax,x>0,-x-ax,x<0.若a<0,则当x>0时, f(x)为对勾函数在y轴右侧的部分,当x<0时,f(x)单调递减,选项B可能是函数的图象.若a>0,则当x>0时, f(x)=x-ax单调递增,当x<0时, f(x)>0,且为对勾函数在y轴左侧的部分,图象可能是D.故选ABD.
12.BD　因为y=x2+1在定义域R上不是单调函数,所以函数y=x2+1不是闭函数,A错误;y=-x3在定义域上是减函数,由题意设[a,b]⊆D,则b=-a3,a=-b3,b>a,解得a=-1,b=1.因此存在区间[-1,1],使y=-x3在[-1,1]上的值域为[-1,1],B正确;y=xx+1=1-1x+1在(-∞,-1)上单调递增,在(-1,+∞)上单调递增,所以函数在定义域上不单调递增或单调递减,从而该函数不是闭函数,C错误;y=k+x+2在定义域[-2,+∞)上单调递增,若y=k+x+2是闭函数,则存在区间[a,b],使函数f(x)的值域为[a,b],即a=k+a+2,b=k+b+2,所以a,b为方程x=k+x+2的两个实数根,即方程x2-(2k+1)x+k2-2=0(x≥-2,x≥k)有两个不等的实数根.当k≤-2时,有Δ>0,f(-2)≥0,2k+12>-2,解得-94-2时,有Δ>0,f(k)≥0,2k+12>k,此不等式组无解.综上所述,k∈-94,-2,因此D正确.故选BD.
三、填空题
13.答案　22
解析　设f(x)=xα,则2=4α=22α,
∴2α=1,解得α=12.
因此, f(x)=x12,
从而f12=1212=22.
14.答案　x(1+x)
解析　因为x<0,所以-x>0,所以f(-x)=(-x)(1+x),又函数f(x)是奇函数,所以f(x)=-f(-x)=-(-x)(1+x)=x(1+x),所以当x<0时,f(x)=x(1+x).
15.答案　8 100
解析　设每个小矩形垂直于墙的一边长为a m,则平行于墙的一边长b=(360-4a)m,记场地的面积为S m2,则S=ab=a(360-4a)=-4(a-45)2+8 100(0 则最大面积为8 100 m2.
16.答案　(1)-2　(2)(-∞,-2]∪[2,+∞)
解析　 (1)∵a=1,∴当x>0时, f(x)=x2-2x+3.又∵函数f(x)是定义在R上的奇函数,∴f(-1)=-f(1)=-(1-2+3)=-2.
(2)由函数f(x)是定义在R上的奇函数,可得f(0)=0,又当x>0时,函数f(x)的图象的对称轴方程为x=a,
若f(x)的值域是R,
则当x>0时,f(x)=x2-2ax+a+2必须满足:
a>0,Δ=4a2-4(a+2)≥0或a≤0,f(0)=a+2≤0,
解得a≥2或a≤-2,即a的取值范围是(-∞,-2]∪[2,+∞).
四、解答题
17.解析　(1)f(2)=-2×2+8=4;(2分)
f(f(-1))=f(-1+5)=f(4)=-2×4+8=0.(4分)
(2)当x≤1时, f(x)=x+5,若f(x)>4,则x+5>4,解得x>-1,则-1 当x>1时,f(x)=-2x+8,若f(x)>4,则-2x+8>4,解得x<2,则1 所以不等式的解集为{x|-1 18.解析　(1)由f(0)=2,得c=2,
由f(x+1)-f(x)=2x-1,
得2ax+a+b=2x-1,故2a=2,a+b=-1,解得a=1,b=-2,所以f(x)=x2-2x+2.(4分)
(2)由(1)知, f(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1,其图象的对称轴方程为x=1,且图象开口向上,
所以f(x)的单调递减区间为(-∞,1],单调递增区间为[1,+∞).(8分)
(3)由(2)知,函数f(x)的单调递减区间为(-∞,1],单调递增区间为[1,+∞),所以f(x)在[-1,1]上单调递减,在[1,2]上单调递增.故当x∈[-1,2]时,f(x)min=f(1)=1.又f(-1)=5,f(2)=2,所以f(x)max=f(-1)=5.(12分)
19.解析　(1)令x=y=0,得f(0)=f(0)+f(0)+2,故f(0)=-2,令x=y=1,得f(2)=f(1)+f(1)+2=2,故f(1)=0,令x=1,y=-1,得f(0)=f(1)+f(-1)+2,故f(-1)=-4.(3分)
(2)证明:若x<1,则2-x>1,则f(2-x)>0.
因为f(2)=f(2-x+x)=f(2-x)+f(x)+2=2,
所以f(x)=-f(2-x)<0.
即当x<1时, f(x)<0.(7分)
(3)函数f(x)在R上为增函数.(8分)
证明:任取x1,x2∈R,且x1 则f(x2)-f(x1)=f(x2-x1+x1)-f(x1)
=[f(x2-x1)+f(x1)+2]-f(x1)
=f(x2-x1)+2=f(x2-x1+1-1)+2
=f(x2-x1+1)+f(-1)+4=f(x2-x1+1),(10分)
∵x11,∴f(x2-x1+1)>0,∴f(x2)>f(x1),∴f(x)在R上为增函数.(12分)
20.解析　(1)当40≤x≤60时,设AB的方程为y=k1x+b1(k1≠0),将A,B两点的坐标分别代入求得AB的方程为y=-2x+140.当60 所以y=-2x+140(40≤x≤60),-12x+50(60 (2)设该店有职工m名,当x=50时,该店的总收入为y(x-40)×100=100(-2x+140)(x-40)=40 000元,
该店的总支出为(3 000m+10 000)元,
依题意得40 000=3 000m+10 000,解得m=10.
所以该店有10名职工.(6分)
(3)设该店的月利润为S元.若该店只有8名职工,则月利润
S=(-2x+140)(x-40)×100-34 000　　　　　　　　(40≤x≤60),-12x+50(x-40)×100-34 000　　　　　　　　(60 当40≤x≤60时,S=-200(x-55)2+11 000,
所以当x=55时,S取得最大值11 000元;
当60 所以当x=70时,S取得最大值11 000元.
故当x=55或x=70时,S取最大值11 000元,
即销售单价定为55元或70元时,该专卖店的月利润最大.(12分)
21.解析　(1)当a=2时, f(x)=-x|x-2|+1=x2-2x+1(x<2),-x2+2x+1(x≥2),
所以g(x)=f(x)-x=x2-3x+1(x<2),-x2+x+1(x≥2).(2分)
当x<2时,g(x)=x2-3x+1,其图象开口向上,对称轴方程为x=32,所以g(x)在-∞,32上单调递减,在32,2上单调递增;(4分)
当x≥2时,g(x)=-x2+x+1,其图象开口向下,对称轴方程为x=12,所以g(x)在[2,+∞)上单调递减.
综上可知,g(x)的单调递减区间为-∞,32和[2,+∞),单调递增区间为32,2.(6分)
(2)由题知,f(x)=-x2+ax+1(x≥a),x2-ax+1(x
因为a>1,所以f(0)=f(a)=1, fa2=1-a24, 所以可判断f(x)在[1,3]上的最大值在f(1), f(3), f(a)中取得.(8分)
当1 当a>3时, f(x)在1,a2上单调递减,在a2,3上单调递增,
又a2-1-3-a2=a-4,所以,
若3 若a≥4,则f(x)max=f(1)=2-a.(11分)
综上可知,在区间[1,3]上,
f(x)max=1(1 22.解析　(1)证明:∵g(x)=5x+3x+1,x∈(-∞,-1)∪(-1,+∞),∴g(-2-x)=5x+7x+1.(1分)
∴g(x)+g(-2-x)=5x+3x+1+5x+7x+1=10.(3分)
即对任意的x∈(-∞,-1)∪(-1,+∞),都有g(x)+g(-2-x)=10成立.∴函数g(x)的图象关于点(-1,5)对称.(4分)
(2)∵g(x)=5x+3x+1=5-2x+1,易知g(x)在-23,1上单调递增,∴g(x)在x∈-23,1上的值域为[-1,4].
记函数y=h(x),x∈[0,2]的值域为A.
若对任意的x1∈[0,2],总存在x2∈-23,1使得h(x1)=g(x2)成立,则A⊆[-1,4].(5分)
∵当x∈[0,1]时,h(x)=x2-mx+m+1,
∴h(1)=2,即函数h(x)的图象过对称中心(1,2).
①当m2≤0,即m≤0时,函数h(x)在(0,1)上单调递增.由对称性知,h(x)在(1,2)上单调递增,∴函数h(x)在(0,2)上单调递增.(6分)
易知h(0)=m+1.又h(0)+h(2)=4,
∴h(2)=3-m,则A=[m+1,3-m].
由A⊆[-1,4],得-1≤m+1,4≥3-m,m≤0,解得-1≤m≤0.(7分)
②当0 ∴结合对称性,知A=[h(2),h(0)]或A=hm2,h2-m2.∵0 ③当m2≥1,即m≥2时,函数h(x)在[0,1]上单调递减.由对称性,知h(x)在[1,2]上单调递减.
∴函数h(x)在(0,2)上单调递减.(10分)
易知h(0)=m+1,
又h(0)+h(2)=4,∴h(2)=3-m,
则A=[3-m,m+1].
由A⊆[-1,4],得-1≤3-m,4≥m+1,m≥2,解得2≤m≤3.(11分)
综上可知,实数m的取值范围为[-1,3].(12分)
解题模板　新定义在解题中的运用:解题时遇到新定义问题,要紧紧抓住新定义的性质解题,即满足新定义就具备其性质.从定义出发,通过适当的运算,是解决此类问题的一般方法.