人教A版 (2019)必修 第一册4.5 函数的应用（二）一课一练

4.5.2　用二分法求方程的近似解

基础过关练

题组一　二分法的概念与对二分法求函数零点步骤的理解

1.下列函数中不能用二分法求零点近似值的是(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　

A.f(x)=3x-1 B.f(x)=x3

C.f(x)=|x| D.f(x)=ln x

2.用二分法求函数f(x)在(a,b)内的唯一零点时,精确度为0.001,则结束计算的条件是(　　)

A.|a-b|<0.1 B.|a-b|<0.001

C.|a-b|>0.001 D.|a-b|=0.001

3.(2019湖南湘东五校高一上期末联考)下列函数图象与x轴均有交点,其中不能用二分法求函数零点近似值的是(　　)

4.若函数f(x)在[a,b]上的图象为一条连续不断的曲线,且同时满足f(a)·f(b)<0,f(a)·f>0,则(　　)

A.f(x)在上有零点

B.f(x)在上有零点

C.f(x)在上无零点

D.f(x)在上无零点

5.(2020吉林一中高一上期中)用二分法研究函数f(x)=x3+3x-1的零点时,第一次经过计算f(0)<0,f(1)>0,则第二次应计算f(　　　　)的值. 

题组二　二分法求方程的近似解

6.在用二分法求函数f(x)零点近似值时,第一次所取的区间是[-2,4],则第三次所取的区间可能是(　　)

A.[1,4] B.[-2,1] C. D.

7.(2020湖南师大附中高一上期中)某同学求函数f(x)=ln x+2x-6的零点时,用计算器算得的部分函数值如表所示:

则方程ln x+2x-6=0的近似解(精确度为0.1)可取为(　　)

A.2.52 B.2.625 C.2.47 D.2.75

8.用二分法求函数f(x)=ln x+2x-6在区间(2,3)内的零点近似值(取端点值),至少经过　　　　次二分后精确度达到0.1(　　) 

A.2 B.3 C.4 D.5

9.(2020河南省实验中学高一上期中)在用二分法求方程x3-2x-1=0的一个近似解时,将根锁定在区间(1,2)内,则下一步可以判断该根所在区间为　　　　.  

10.用二分法求2x+x=4在[1,2]内的近似解(精确度为0.2).参考数据如下表.

题组三　二分法思想的应用

11.设a是函数f(x)=2x-lox的零点,若x0>a,则f(x0)的值满足(　　)

A. f(x0)=0 B. f(x0)>0

C. f(x0)<0 D.以上都有可能

12.在一个风雨交加的夜里,从某水库闸门到防洪指挥所的电话线路发生了故障,这是一条长为10 km,大约有200根电线杆的线路,设计一个能迅速查出故障所在的方案,维修线路的工人师傅最多检测几次就能找出故障地点所在区域(精确到100 m范围内)?

13.已知函数f(x)=3ax2+2bx+c,a+b+c=0,f(0)>0,f(1)>0,求证a>0,并利用二分法证明方程f(x)=0在区间[0,1]内有两个实数根.

答案全解全析

基础过关练

1.C　选项C,令|x|=0,得x=0,即函数f(x)=|x|存在零点,但当x>0时,f(x)>0;当x<0时,f(x)>0,所以f(x)=|x|的函数值非负,即函数f(x)=|x|有零点,但零点两侧的函数值同号,所以不能用二分法求零点的近似值.

2.B　由二分法的步骤知当区间长度|b-a|小于精确度ε时,便可结束计算.

3.D　根据二分法的原则,函数f(x)在区间[a,b]上的图象连续不断,且f(a)·f(b)<0,即函数的零点是变号零点,才能将区间[a,b]一分为二,逐步得到零点的近似值.对各图象分析可知,选项A,B,C都符合条件,而选项D不符合,由于零点左右两侧的函数值不变号,因此不能用二分法求函数零点的近似值,故选D.

4.B　由f(a)·f(b)<0,f(a)·f>0可知f·f(b)<0,根据零点存在性定理可知f(x)在上有零点.

5.答案　0.5

解析　由已知及二分法解题步骤可知,第二次应计算f=f(0.5)的值.

6.D　∵第一次所取的区间是[-2,4],∴第二次所取的区间可能为[-2,1],[1,4],∴第三次所取的区间可能为,,,.

7.A　由f(2)=-1.306 9<0,f(3)=1.098 6>0,得方程的近似解在(2,3)内,精确度为1;由f(2.5)=-0.084<0,得方程的近似解在(2.5,3)内,精确度为0.5;由f(2.75)=0.512>0,得方程的近似解在(2.5,2.75)内,精确度为0.25;由f(2.625)=0.215>0,得方程的近似解在(2.5,2.625)内,精确度为0.125;由f(2.562 5)=0.066>0,得方程的近似解在(2.5,2.562 5)内,精确度为0.062 5<0.1.因此可取区间[2.5,2.562 5]内的任意值作为方程的近似解,故选A.

8.C　开区间(2,3)的长度等于1,每经过一次操作,区间长度变为原来的一半,经过n次操作后,区间长度变为,故有≤0.1,

∴n≥4,∴至少需要操作4次.故选C.

9.答案　

解析　设f(x)=x3-2x-1,则f(1)=1-2-1=-2<0,f(2)=8-4-1=3>0.

取区间(1,2)的中点值,则f=-2×-1=-<0,

故下一步可以判断该根所在区间为.

10.解析　令f(x)=2x+x-4,则f(1)=2+1-4=-1<0, f(2)=22+2-4=2>0.

∵|1.375-1.5|=0.125<0.2,

∴2x+x=4在[1,2]内的近似解可取为1.375.

11.B　画出y=2x与y=lox的图象(图略),可知当x0>a时,>lox0,故f(x0)>0.

12.解析　如图所示.

工人师傅首先从中点C检测,用随身带的设备测试,发现AC段正常,可见故障在BC段;再从线段BC的中点D检测,发现BD段正常,可见故障在CD段;再从CD段的中点E检测……由此类推,每查一次,可以把待查的线路长度缩减一半,可以算出经过n次检测,所剩线路的长度为 m,则有≤100,即2n≥100,又26=64,27=128,故至多只要检测7次就能找到故障地点所在区域.

13.证明　∵f(1)>0,∴f(1)=3a+2b+c>0,即3(a+b+c)-b-2c>0.

∵a+b+c=0,∴a=-b-c,-b-2c>0,∴-b-c>c,即a>c.

∵f(0)>0,∴f(0)=c>0,∴a>0.

取区间[0,1]的中点值,则f=a+b+c=a+(-a)=-a<0.

∵f(0)>0,f(1)>0,∴函数f(x)在区间和上各有一个零点.

又f(x)为二次函数,最多有两个零点,

∴f(x)=0在[0,1]内有两个实数根.