高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.6 函数 y=Asin（ ωx ＋ φ）当堂检测题

5.6　函数y=Asin(ωx+φ)

5.6.1　匀速圆周运动的数学模型

5.6.2　函数y=Asin(ωx+φ)的图象

基础过关练

题组一　三角函数图象的变换和作法

1.(2019浙江“温州十校联合体”高一上期末)为了得到函数y=sin的图象,只需将函数y=sin 2x的图象(　　)　　　　　 　　　　　 　　　　　

A.向左平移个单位长度

B.向右平移个单位长度

C.向右平移个单位长度

D.向左平移个单位长度

2.把函数y=cos 2x+1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),然后向左平移1个单位长度,再向下平移1个单位长度,得到的图象是(　　)

3.(2019浙江温州九校联盟高一上期末)将函数y=sin 2x的图象沿x轴向右平移个单位长度,得到函数y=f(x)的图象,则y=f(x)是(　　)

A.y=sin B.y=sin

C.y=sin D.y=sin

4.函数y=sin在区间上的简图是(　　)

5.已知函数f(x)=3sin,x∈R.

(1)列表并画出函数f(x)在一个周期内的简图;

(2)将函数y=sin x的图象作怎样的变换可得到函数f(x)的图象?

题组二　函数y=Asin(ωx+φ)图象的应用

6. (2020安徽安庆高一上期末)函数f(x)=Asin(ωx+φ)(其中A>0,ω>0,|φ|<π)(其中A>0,ω>0)的图象如图所示,则(　　)

A.ω=3,φ= B.ω=3,φ=-

C.ω=6,φ=- D.ω=6,φ=

7.将函数y=sin(2x+φ)的图象沿x轴向左平移个单位长度后,得到一个偶函数的图象,则φ的一个可能取值为(　　)

A.  B. C.0 D.-

8.已知函数f(x)=Acos(ωx+φ)(其中A>0,ω>0)的图象如图所示, f=-,则f(0)=(　　)

A.- B.- C. D.

9.已知函数y=sin(ωx+φ)(ω>0,-π≤φ<π)的图象如图所示,则φ=　　　　. 

10.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)A>0,ω>0,-<φ<在一个周期内的图象如图所示.

(1)求函数f(x)的最小正周期T及最大值、最小值;

(2)求函数f(x)的解析式及单调递增区间.

11.函数f(x)=Asin+1(A>0,ω>0)的最大值为3,其图象相邻两条对称轴之间的距离为.

(1)求函数f(x)的解析式;

(2)设α∈,且f=2,求α的值.

12.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)的图象与y轴的交点为(0,1),它在y轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为(x0,2)和(x0+2π,-2).

(1)求f(x)的解析式及x0的值;

(2)求f(x)的单调递增区间.

能力提升练

题组一　三角函数图象的变换和作法

1.(2020吉林五地六校高一上期末,)要得到函数y=cos x的图象,只需将函数y=cos的图象上所有的点(　　)

A.横坐标缩短到原来的,纵坐标不变,再向左平行移动个单位长度

B.横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再向右平行移动个单位长度

C.横坐标缩短到原来的,纵坐标不变,再向左平行移动个单位长度

D.横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再向右平行移动个单位长度

2.(2020北京一○一中学高一上期末,)已知函数f(x)=sin(x∈R,ω>0)的最小正周期为π,为了得到函数f(x)的图象,只需将函数g(x)=sin ωx的图象(　　)

A.向左平移个单位长度 　B.向右平移个单位长度

C.向左平移个单位长度 　D.向右平移个单位长度

3.(2020黑龙江牡丹江一中高一上期末,)为了得到函数g(x)=cos的图象,只需将函数f(x)=sin图象上所有的点(　　)

A.横坐标缩短到原来的

B.横坐标伸长到原来的倍

C.横坐标缩短到原来的,再向右平移个单位长度

D.横坐标伸长到原来的倍,再向右平移个单位长度

4.(多选)(2020山东滨州高一上期末,)已知曲线C1:y=2sin x,C2:y=2sin,则下列结论正确的是(　　)

A.把C1上所有的点向右平移个单位长度,再把所得图象上各点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变),得到曲线C2

B.把C1上所有的点向左平移个单位长度,再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变),得到曲线C2

C.把C1上各点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变),再把所得图象上所有的点向左平移个单位长度,得到曲线C2

D.把C1上各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变),再把所得图象上所有的点向左平移个单位长度,得到曲线C2

题组二　函数y=Asin(ωx+φ)图象的应用

5.(2019安徽安庆高三期末,)已知函数f(x)=sin(ω>0)的最小正周期为π,将函数y=f(x)的图象向左平移个单位长度后得到y=g(x)的图象,则下列命题中不正确的是(　　)

A.函数y=g(x)的图象的两条相邻对称轴之间的距离为

B.函数y=g(x)的图象关于直线x=对称

C.函数y=g(x)的图象关于点对称

D.函数y=g(x)在上为减函数

6.(2020四川雅安高一上期末检测,)函数f(x)图象的一部分如图所示,则f(x)的解析式可以为(　　)

A.f(x)=4sin+4

B.f(x)=3.5sin+4

C.f(x)=3.5sin+4.5

D.f(x)=4sin+3.5

7.(2020四川攀枝花高一上教学质量监测,)函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π)的图象如图所示,则下列有关f(x)性质的描述正确的是(　　)

A.(k∈Z)为其单调递减区间

B. f(x)的图象向左平移个单位长度后对应的函数为偶函数

C.φ=

D.x=+kπ(k∈Z)为其图象的对称轴方程

8.(2019安徽宿州十三所重点中学高一上期末,)设偶函数f(x)=Acos(ωx+φ)(A>0,ω>0,0≤φ<π)的部分图象如图所示,△KMN为等腰直角三角形,∠KMN=90°,则f的值为(　　)

A. B.

C.- D.

9.(多选)(2020山东菏泽高一上期末,)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)的最小正周期为π,将该函数的图象向左平移个单位长度后,得到的图象对应的函数g(x)为偶函数,则下列说法正确的是(　易错　)

A.f(0)=

B.函数y=f(x)的图象关于直线x=对称

C.函数y=f(x)的图象关于点对称

D.函数y=f(x)的图象关于直线x=对称

10.(2019山东潍坊高三期末,)若将函数y=sin 2x的图象向右平移个单位长度,则平移后所得图象对应函数的单调增区间是　　　　　　　. 

11.()函数f(x)=cos(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示.

(1)求函数f(x)的单调递减区间;

(2)将f(x)的图象向右平移个单位,再将横坐标伸长为原来的π倍(纵坐标不变),得到函数g(x)的图象,若g(x)=a-1在x∈上有两个解,求a的取值范围.

12.(2019北京西城高一上期末,)已知函数f(x)=Asin(A>0,ω>0)的部分图象如图所示.

(1)求A和ω的值;

(2)求函数y=f(x)在[0,π]上的单调递增区间;

(3)若函数g(x)=f(x)+1在区间(a,b)上恰有10个零点,求b-a的最大值.

答案全解全析

基础过关练

1.A　y=sin=sin,故只需将函数y=sin 2x的图象向左平移个单位长度,就可得到函数y=sin的图象,故选A.

2.A　变换后的图象对应的函数为y=cos(x+1),结合四个选项可得A正确.

3.D　函数y=sin 2x的图象沿x轴向右平移个单位长度,得到y=sin,即y=sin的图象,故选D.

4.A　当x=0时,y=sin=-<0,故可排除B,D;当x=时,y=sin2×-=sin 0=0,排除C.故选A.

5.解析　(1)函数f(x)的周期T==4π.

列表如下:

描出五个关键点并用光滑的曲线连接,得到一个周期内的简图如下.

(2)先把函数y=sin x的图象向右平移个单位长度,然后把所有点的横坐标扩大为原来的2倍(纵坐标不变),再把所有点的纵坐标扩大为原来的3倍(横坐标不变),即可得到函数f(x)的图象.

6.A　T==4×=,所以ω=3.

由题图知,3×+φ=+2kπ,k∈Z,∴φ=+2kπ,k∈Z,又|φ|<π,∴φ=,故选A.

7.B　将函数y=sin(2x+φ)的图象沿x轴向左平移个单位长度后,得到函数y=sin的图象,因为该函数是偶函数,所以φ+=+kπ,k∈Z,即φ=+kπ,k∈Z,当k=0时,φ=.

8.C　由题图可知函数f(x)的周期为π,故ω=3.将代入解析式,得π+φ=+2kπ(k∈Z),所以φ=-+2(k-1)π(k∈Z).令φ=-,代入解析式,得f(x)=Acos,

又f=-Acos=-,故A=.

所以f(0)=cos=cos=,故选C.

9.答案　

解析　由题图知函数y=sin(ωx+φ)的周期为2=,∴=,∴ω=.

∵当x=时,y有最小值-1,∴×+φ=2kπ-(k∈Z).∵-π≤φ<π,∴φ=.

10.解析　(1)由题图知T=-=,∴函数f(x)的最小正周期T=π.由题图知f(x)的最大值为1,最小值为-1.

(2)由(1)知ω==2.由题意得2×+φ=2kπ,k∈Z,解得φ=2kπ+,k∈Z,又-<φ<,∴φ=,则f(x)=sin.令2kπ-≤2x+≤2kπ+(k∈Z),得kπ-≤x≤kπ+(k∈Z),故函数f(x)的单调递增区间是(k∈Z).

11.解析　(1)因为函数f(x)的最大值为3,所以A+1=3,即A=2.

因为函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为,所以最小正周期T=π,所以ω=2,故函数的解析式为f(x)=2sin2x-+1.

(2)因为f=2sin+1=2,

所以sin=,

因为0<α<,所以-<α-<,

所以α-=,故α=.

12.解析　(1)由题意作出f(x)的简图如图.

由图象知A=2,由=2π,得T=4π,

∴4π=,即ω=,

∴f(x)=2sin,

∴f(0)=2sin φ=1,即sin φ=,又∵|φ|<,∴φ=,∴f(x)=2sin.

∵f(x0)=2sin=2,

∴x0+=+2kπ,k∈Z,

∴x0=4kπ+,k∈Z,

又(x0,2)是y轴右侧的第一个最高点,

∴x0=.

(2)令-+2kπ≤x+≤+2kπ,k∈Z,得-+4kπ≤x≤+4kπ,k∈Z,

∴f(x)的单调递增区间为-+4kπ,+4kπ(k∈Z).

能力提升练

1.B　将函数y=cos的图象上所有的点横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,可得函数y=cos的图象,再将所得图象向右平行移动个单位长度,可得函数y=cos x的图象,故选B.

2.A　由f(x)的最小正周期是π,得ω=2,即f(x)=sin=sin,因此它的图象可由g(x)=sin 2x的图象向左平移个单位长度得到.故选A.

3.A　由题可得f(x)=sin=sin=cos,故只需将其图象上所有点的横坐标缩短到原来的,即可得到函数g(x)=cos的图象,故选A.

4.BD　先平移变换后伸缩变换:先把C1上所有的点向左平移个单位长度,得到y=2sin的图象,再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变),得到曲线C2,B选项正确.先伸缩变换后平移变换:C2:y=2sin,所以先将C1上各点的横坐标伸长为原来的3倍(纵坐标不变),得到y=2sin的图象,再把所得图象上所有的点向左平移个单位长度,即可得到C2,D选项正确.

5.C　由题意得ω==2,所以将函数f(x)=sin的图象向左平移个单位长度后得到g(x)=cos的图象,

函数g(x)图象的对称中心的横坐标满足2x+=+kπ(k∈Z),即x=+(k∈Z),

故选C.

6.B　设函数的解析式为f(x)=Asin(ωx+φ)+k(A>0,ω>0),由题图知函数的周期T=2×(9-3)=12,

即=12,则ω=,排除A,C.

函数的最大值为7.5,最小值为0.5,则解得故选B.

7.B　由题图可知,函数的最小值为-1,

∴A=1.

∵=-=,∴T=π,

∴ω==2,

∴f(x)=sin(2x+φ).

又函数图象过点,

∴sin=-1.

∵0<φ<π,∴φ=,

∴f(x)=sin,

其单调递减区间为,k∈Z,对称轴方程为x=+(k∈Z), f(x)的图象向左平移个单位长度后得到的图象对应的解析式为g(x)=cos 2x,是偶函数.故选B.

8.B　由题图可知|KN|=1,所以T=2,A=,因此ω==π,所以f(x)=cos(πx+φ).

又因为f(x)为偶函数,所以φ=kπ,k∈Z.因为0≤φ<π,所以φ=0,所以f(x)=cos πx,因此f=,故选B.

9.ABC　由T==π,得ω=2.

∴f(x)=sin(2x+φ).其图象向左平移个单位长度后所得图象对应的函数为g(x)=f=sin.

由g(x)是偶函数,知+φ=+kπ,k∈Z,

又-<φ<,∴φ=.

因此f(x)=sin.

∴f(0)=sin=,A正确; f=sin=1,是最大值,B正确; f=sin π=0,C正确;f=sin=≠±1,D错误.故选ABC.

易错警示　变换作图时,要记准图形变换与数量变换之间的关系,如图象左移个单位长度对应x→x+,防止记错结论,导致解题错误.

10.答案　(k∈Z)

解析　平移后所得图象对应的函数解析式为y=sin 2=sin,令-+2kπ≤2x-≤+2kπ,k∈Z,得-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z.

11.解析　(1)由题得T=2=,∴ω=π.

∴f(x)=cos(πx+φ),

∵f=cos=-1,

∴+φ=π+2kπ,k∈Z,

∴φ=+2kπ,k∈Z,

又0<φ<π,∴φ=.

∴f(x)=cos.

令2kπ≤πx+≤2kπ+π,k∈Z,

解得2k-≤x≤2k+,k∈Z,

∴函数f(x)的单调递减区间为,k∈Z.

(2)将f(x)的图象向右平移个单位得到y=cos=sinπx+的图象,再将横坐标伸长为原来的π倍(纵坐标不变),得到函数g(x)=sin的图象.若g(x)=a-1在x∈上有两个解,则y=a-1与y=sin的图象在x∈上有两个不同的交点,

所以≤a-1<1或-1<a-1≤0,

所以a的取值范围为0<a≤1或1+≤a<2.

12.解析　(1)由题图可知,A=2,=-=,所以T=π.

由T=得ω=2.

(2)由(1)可知f(x)=2sin.

令-+2kπ≤2x+≤+2kπ,k∈Z,

得-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,

又因为x∈[0,π],

所以函数y=f(x)在[0,π]上的单调递增区间为和.

(3)令g(x)=0,则f(x)=2sin=-1,所以2x+=+2kπ(k∈Z)或2x+=+2kπ(k∈Z),

解得x=kπ+(k∈Z)或x=kπ+(k∈Z),

函数g(x)在每个周期上有两个零点,

所以b-a的最大值为5T+=.