高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第五章 三角函数本章综合与测试课时作业

本章复习提升

易混易错练

易错点1　忽视角的范围致错

1.()已知tan(α-β)=,tan β=-,且α,β∈(0,π),则2α-β=　　　　.  

2.()已知tan θ<0,角θ终边上有一点(-1,y),且cos θ=-,则y=　　　. 

3.()已知θ是第二象限角,则+=　　　　　　　. 

易错点2　应用三角函数的定义求值时,忽略参数的范围致错

4.(2019四川雅安高一上期末检测,)已知角α的终边经过点P(m,-3),且cos α=-,则m等于　　　　. 

5.()已知角α的终边过点P(-3m,m)(m≠0),则sin α=　　　　. 

易错点3　利用三角函数的基本关系时忽略隐含条件致错

6.()若sin θ=,cos θ=,且θ的终边不落在坐标轴上,则tan θ的值为　　　　　　. 

7.(2019山东德州高一上期末,)已知sin θ+cos θ=,θ∈(0,π),则sin θcos(π-θ)=　　　　;tan θ=　　　　. 

8.()已知A,B,C是△ABC的内角,cos A=,sin B=,则cos(A-B)=　　　　. 

易错点4　利用诱导公式时,忽略讨论参数的取值致错

9.(2020河北石家庄实验中学高一月考,)化简(n∈Z)的结果为　　　　. 

10.()化简:tan=　　　　(k∈Z). 

易错点5　忽略三角函数的定义域、值域致错

11.(2020山西长治高一期末,)函数y=2sin2x-2sin x+1的值域是　　　　　. 

12.()判断函数f(x)=的奇偶性.

易错点6　图象变换中因忽视自变量x的系数和平移的方向致错

13.()要得到函数y=cos的图象,只需把函数y=sin 2x的图象(　　)

A.向左平移个单位长度

B.向左平移个单位长度

C.向右平移个单位长度

D.向右平移个单位长度

14.(2019天津六校期末联考,)函数f(x)=Asin(ωx+φ)的部分图象如图所示,为了得到f(x)的图象,只需将g(x)=cos 2x的图象(　　)

A.向左平移个单位长度

B.向右平移个单位长度

C.向左平移个单位长度

D.向右平移个单位长度

思想方法练

一、函数与方程思想在三角函数中的应用

1.(2020安徽安庆高一上期末,)若函数y=sin 2x的图象经过点P(x0,y0),则其图象一定还经过点(深度解析)　　　　　 　　　　　 　　　　　

A.(-x0,y0) B.

C. D.(π-x0,y0)

2.(2019浙江宁波镇海中学高一期末,)已知扇形的周长为2,当它的半径为　　　　时,扇形的面积最大,这个最大值为　　　　. 

3.(2019湖南张家界高一上期末,)已知函数f(x)=2sin.

(1)若点P(1,)是角α终边上一点,求f+tan α的值;

(2)若x∈,求函数g(x)=-cos 2x+f+的最小值.

二、数形结合思想在三角函数中的应用

4.(2020山东滨州高一上期末,)y=|cos x|的一个单调递增区间是(　　)　　　　　 　　　　　 　　　　　

A. B.[0,π]

C. D.

5.(2019河北唐山高一上期末,)已知函数 f (x)=Asin(ωx+φ)的图象如图所示,则点P(ω,φ)的坐标是(　　)

A. B.

C. D.

6.()已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)A>0,ω>0,|φ|<的图象与直线y=a(0<a<A)的三个相邻交点的横坐标分别为2、4、8,则f(x)的单调递减区间是(　　)

A.[6kπ,6kπ+3],k∈Z B.[6kπ-3,6kπ],k∈Z

C.[6k,6k+3],k∈Z D.[6k-3,6k],k∈Z

7.(2019天津河西高一上期末,)设函数f(x)满足f(-x)=f(x),当x≥0时,f(x)=,若函数g(x)=|sin πx|,则函数h(x)=f(x)-g(x)在上的零点个数为(　　)

A.6 B.5 C.4 D.3

三、转化与化归思想在化简求值及三角函数性质中的应用

8.(2020山东枣庄高一期末,)(1)已知α为锐角,且7sin α=2cos 2α,则sin=　　　; 

(2)sin 50°(1+tan 10°)=　　　　. 

9.(2019黑龙江牡丹江一中高一上期末,)已知α∈,且sin α=.

(1)求sin 2α的值;

(2)若sin(α+β)=-,β∈,求sin β的值.

10.(2019黑龙江哈三中高一上模块检测,)函数f(x)=sin 2x-2sin2x.

(1)若x∈,求函数f(x)的值域;

(2)若x=是函数g(x)=f(x)+λcos 2x的一条对称轴,求λ的值.

四、分类讨论思想在三角函数求值中的应用

11.()化简:sin+cos(k∈Z).

12.()已知函数y=asin+b在x∈上的值域为[-5,1],求a,b的值.

五、建模思想在三角函数中的应用

13.(2019山东高三第一次大联考,)如图,点A,B分别是圆心在原点,半径为1和2的圆上的动点.动点A从初始位置A0开始,按逆时针方向以2 rad/s的角速度做圆周运动,同时点B从初始位置B0(2,0)开始,按顺时针方向以2 rad/s的角速度做圆周运动.记t(s)时刻,点A,B的纵坐标分别为y1,y2.

(1)求t=时,A,B两点间的距离;

(2)求y=y1+y2关于时间t(t>0)的函数关系式,并求当t∈时,这个函数的值域.

答案全解全析

易混易错练

1.答案　-

解析　由题意得tan α=tan[(α-β)+β]===,

又α∈(0,π),所以α∈,

又tan(2α-β)=tan[(α-β)+α]

===1,

而tan β=-<0,β∈(0,π),

所以β∈,所以2α-β∈(-π,0),

故2α-β=-.

2.答案　

解析　∵tan θ<0,角θ终边上有一点(-1,y),∴θ是第二象限角,y>0.

由题意知cos θ=-=,解得y=,故答案为.

3.答案　

解析　原式=+

=+.

因为θ是第二象限角,

所以2kπ+<θ<2kπ+π,k∈Z,

所以kπ+<<kπ+,k∈Z,

所以原式=

4.答案　-4

解析　由题意知,cos α==-,显然m<0,解得m=-4,故答案为-4.

5.答案　或-

解析　由题意可得,|OP|==|m|(O为坐标原点).

当m>0时,|OP|=|m|=m,

则sin α==;

当m<0时,|OP|=|m|=-m,

则sin α==-.

故sin α的值为或-.

6.答案　

解析　由已知得sin2θ+cos2θ=+=1,即k2+6k-7=0,

解得k=1或k=-7.

当k=1时,不符合题意,舍去;

当k=-7时,sin θ=,cos θ=,符合题意,所以tan θ=.

7.答案　;-

解析　∵sin θ+cos θ=,

∴(sin θ+cos θ)2=1+2sin θcos θ=,

即sin θcos θ=-.

∴sin θcos(π-θ)=-sin θcos θ=,

∴(sin θ-cos θ)2=1-2sin θcos θ=.

∵θ∈(0,π),sin θcos θ=-<0,

∴sin θ>0,cos θ<0,即sin θ-cos θ>0,

∴sin θ-cos θ=.

由解得

∴tan θ=-.

8.答案　

解析　由cos A=,得sin A=.

若B∈,则π-B∈.

由sin(π-B)=sin B=<=sin A,

得π-B<A,

即A+B>π,与A+B<π矛盾,

故B∈,

又sin B=,所以cos B=,

∴cos(A-B)=cos Acos B+sin Asin B

=×+×=.

9.答案　(-1)n+1sin α(n∈Z)

解析　①当n=2k(k∈Z)时,

原式=

=

=-sin α.

②当n=2k+1(k∈Z)时,

原式=

=

=sin α.

所以化简所得的结果为(-1)n+1sin α(n∈Z).

10.答案　

解析　当k为奇数,即k=2n+1(n∈Z)时,

tan=tan=tan+α===-;

当k为偶数,即k=2n(n∈Z)时,

tan=tan(nπ+α)=tan α.

综上,tan=

11.答案　

解析　由已知得y=2sin2x-2sin x+1=2+,

令t=sin x,则-1≤t≤1,y=2+,对称轴为t=,

∴当t=-1时,函数取得最大值,为5,

当t=时,函数取得最小值,为.

故函数的值域为.

12.解析　∵1-sin x≠0,∴x≠2kπ+,k∈Z,由于定义域不关于原点对称,所以该函数是非奇非偶函数.

13.B　y=cos

=sin

=sin=sin,故只需将y=sin 2x的图象向左平移个单位长度即可,故选B.

14.B　由题图可知A=1,=-=,

∴T=π,从而ω==2,

将代入f(x)=sin(2x+φ),得sin=-1,∴+φ=+2kπ(k∈Z),∴φ=+2kπ(k∈Z).

∵|φ|<,∴φ=,所以函数f(x)的解析式为f(x)=sin.

又f(x)=sin

=cos

=cos=cos 2,

∴只需将g(x)=cos 2x的图象向右平移个单位长度即可得到f(x)的图象.

故选B.

思想方法练

1.C　由已知得y0=sin 2x0,则sin 2(-x0)=-sin 2x0=-y0,A错误;

sin 2=sin(π+2x0)=-sin 2x0=-y0,B错误;

sin 2=sin(π-2x0)=sin 2x0=y0,C正确;

sin 2(π-x0)=sin(2π-2x0)=-sin 2x0=-y0,D错误.故选C.

解题模板　点在图象上的实质是点的坐标满足函数解析式,即方程成立,解题时由条件得到一个等式,由此利用三角函数的恒等变形推出结论成立或不成立.

2.答案　;

解析　设扇形的半径与弧长分别为r,l,则2r+l=2,∴l=2-2r,

可得扇形的面积S=lr=r-r2=-+,

∵0<2r<2,∴0<r<1,∴当r=时,S取得最大值,最大值为.

3.解析　(1)若点P(1,)在角α的终边上,则sin α=,tan α=,

∴f+tan α=2sin α+tan α=2.

(2)g(x)=-cos 2x+f+

=-(1-2sin2x)+2sin(x+π)+

=sin2x-2sin x+3=(sin x-1)2+2,

∵x∈,∴sin x∈,

∴当sin x=1,即x=时,g(x)有最小值2.

4.D　作出y=|cos x|的图象,如图所示,结合图象可得y=|cos x|的一个单调递增区间是.故选D.

5.C　由函数f(x)=Asin(ωx+φ)的图象知,A=2,T=2×(4-1)=6,∴ω==,

又x=1时,y=2,

∴+φ=+2kπ,k∈Z,

∴φ=+2kπ,k∈Z.

又0<φ<,∴φ=,∴点P的坐标为.故选C.

6.D　f(x)的大致图象如图所示.

由图象知T=8-2=6,当x=3时,y取得最大值,当x=6时,y取得最小值,因此, f(x)的单调递减区间为[6k+3,6k+6],k∈Z,即[6k-3,6k],k∈Z.故选D.

7.B　因为函数f(x)满足f(-x)=f(x),所以y=f(x)是偶函数,图象关于y轴对称.易知函数h(x)=f(x)-g(x)在上的零点个数等价于函数y=f(x)的图象和函数y=g(x)的图象在上的交点个数,作出函数y=f(x)和函数y=g(x)的图象如图:

由图象易得函数y=f(x)的图象和函数y=g(x)的图象在上的交点个数为5,即函数h(x)=f(x)-g(x)在上的零点个数为5.

8.答案　(1)　(2)1

解析　(1)由7sin α=2cos 2α,

得7sin α=2(1-2sin2α),

即4sin2α+7sin α-2=0,

解得sin α=-2(舍去)或sin α=.

∵α为锐角,∴cos α==,

∴sin=sin αcos +cos αsin =×+×=.

(2)sin 50°(1+tan 10°)

=sin 50°

=sin 50°×

=sin 50°×

=

=

===1.

9.解析　(1)∵α∈,且sin α=,

∴cos α=-,

∴sin 2α=2sin αcos α=-.

(2)∵α∈,β∈,

∴α+β∈,又sin(α+β)=-,

∴cos(α+β)=-,

于是sin β=sin[(α+β)-α]

=sin(α+β)cos α-cos(α+β)sin α

=-×-×=.

10.解析　(1)f(x)=sin 2x-2sin2x

=sin 2x+cos 2x-1=2sin-1,

∵x∈,∴2x+∈,∴0≤sin≤1,

∴-1≤2sin-1≤1.

故当x∈时,函数y=f(x)的值域是[-1,1].

(2)g(x)=f(x)+λcos 2x=2sin+λcos 2x-1,

∵x=是函数g(x)的一条对称轴,

∴g(0)=g,即1+λ-1=2+-1,

解得λ=2,经检验符合题意,故λ的值为2.

11.解析　原式=sin+coskπ+-α(k∈Z).

当k为奇数时,设k=2n+1(n∈Z),

则原式=sin+

cos(2n+1)π+

=sin+cos

=sin-cos

=sin-cos

=sin-sin=0;

当k为偶数时,设k=2n(n∈Z),

则原式=sin+cos2nπ+

=-sin+cos

=-sin+cos

=-sin+sin=0.

综上所述,原式=0.

12.解析　因为x∈,

所以2x+∈,

所以sin∈.

当a>0时,解得

当a<0时,解得

所以或

13.解析　(1)当t=时,∠xOA=+=,∠xOB=,作AD⊥BO于点D,则∠AOD=.

∵|OA|=1,|OB|=2,

∴|OD|=,|AD|=,

∴|BD|=2+=,

∴|AB|2=|AD|2+|BD|2=+=7,

即A,B两点间的距离为.

(2)依题意知y1=sin,y2=-2sin 2t,

所以y=y1+y2=sin-2sin 2t

=cos 2t-sin 2t=cos,

即函数关系式为y=cos(t>0).

当t∈时,2t+∈,

∴cos∈,

∴y∈.