必修第一册综合测评

全书综合测评

(满分:150分;时间:120分钟)

一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)

1.已知集合M={x|-3<x<1},N={-3,-2,-1,0,1},则M∩N= (　　)　　　　　 　　　　　 　　　　　

A.{-2,-1,0,1} B.{-3,-2,-1,0}

C.{-2,-1,0} D.{-3,-2,-1 }

2.命题“∃x∈R,使得x2+2x<0”的否定是(　　)

A.∃x∈R,使得x2+2x≥0

B.∃x∈R,使得x2+2x>0

C.∀x∈R,都有x2+2x≥0

D.∀x∈R,都有x2+2x<0

3.已知函数f(x)=如果f(f(-1))=18,那么实数a的值是(　　)

A.0 B.1

C.2 D.3

4.已知角θ的终边经过点,则sin2的值为(　　)

A. B.

C. D.

5.若函数y=f(x)的定义域是(0,4],则函数g(x)=f(x)+f(x2)的定义域是(　　)

A.(0,2] B.(0,4]

C.(0,16] D.[-16,0)∪(0,16]

6.已知a,b是实数,则“a>b>0且c<d<0”是“<”的(深度解析)

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

7.小王从甲地到乙地再返回甲地,其往返的时速分别为a和b(a<b),其全程的平均时速为v,则 (　　)

A.a<v< B.v=

C.<v< D.v=

8.函数y=的图象与函数y=2sin πx(-2≤x≤4)的图象所有交点的横坐标之和等于(　　)

A.2 B.4 C.6 D.8

二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多个选项符合题目要求,全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分)

9.下列命题是真命题的是(　　)

A.若幂函数f(x)=xα的图象过点,则α=-

B.∃x∈(0,1),>lox

C.∀x∈(0,+∞),lox>lox

D.命题“∃x∈R,sin x+cos x<1”的否定是“∀x∈R,sin x+cos x≥1”

10.已知函数f(x)=sin,则下列结论正确的是(　　)

A.函数f(x)的最小正周期为π

B.函数f(x)在[0,π]上有三个零点

C.当x=时,函数f(x)取得最大值

D.为了得到函数f(x)的图象,只需把函数y=sin图象上所有点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)

11.设0<a<b,a+b=1,则下列结论正确的是(　　)

A.a2+b2<b B.a<a2+b2

C.a<2ab< D.<a2+b2<

12.下列判断不正确的是(　　)

A.函数f(x)=在定义域内是减函数

B.若g(x)是奇函数,则一定有g(0)=0

C.已知x>0,y>0,且+=1,若x+y>m2+3m恒成立,则实数m的取值范围是(-4,1)

D.已知函数f(x)=在(-∞,+∞)上是增函数,则a的取值范围是[-3,-1]

三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.将答案填在题中横线上)

13.=　　　　.  

14.已知函数g(x)=f(x)+x2是奇函数,当x>0时,函数f(x)的图象与函数y=log2x的图象关于直线y=x对称,则g(-1)+g(-2)=　　　　.  

15.若不等式≥a对x<2恒成立,则a的最大值为　　　　. 

16.关于x的方程g(x)=t(t∈R)的实数根个数记为f(t).

(1)若g(x)=x+1,则f(t)=　　　　; 

(2)若g(x)=(a∈R),存在t使得f(t+2)>f(t)成立,则a的取值范围是　　　　.(本小题第一空2分,第二空3分) 

四、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17.(本小题满分10分)(1)计算:+2log32-log3-;

(2)已知角α的终边经过点M(1,-2),求的值.

18.(本小题满分12分) 已知全集为R,集合A=,B={x∈R|2x2-(a+10)x+5a≤0}.

(1)若B⊆∁RA,求实数a的取值范围.

(2)从下面所给的三个条件中选择一个,说明它是B⊆∁RA的什么条件.

①a∈[-7,12);②a∈(-7,12];③a∈(6,12].

19.(本小题满分12分)已知函数f(x)=2sin xcos x+2cos2x-.

(1)求函数f(x)的单调递减区间;

(2)将函数y=f(x)的图象向左平移个单位长度,再将所得的图象上各点的横坐标缩短为原来的,纵坐标不变,得到函数y=g(x)的图象,求y=g(x)在上的值域.

20.(本小题满分12分)已知不等式ax2+2ax+1≥0对任意x∈R恒成立,解关于x的不等式x2-x-a2+a<0.

21.(本小题满分12分)已知定义在R上的函数f(x)=2x-a·2-x (a∈R).

(1)当a>0时,试判断f(x)在(1,+∞)上的单调性,并给予证明;

(2)当a=1时,试求g(x)=(1≤x≤2)的最小值.

22.(本小题满分12分)设有三个乡镇,分别位于一个矩形MNPQ的两个顶点M,N及PQ的中点S处,MN=10 km,NP=5 km,现要在该矩形区域内(含边界),且与M,N等距离的一点O处设一个宣讲站,记O点到三个乡镇的距离之和为L(km).

(1)设∠OMN=x(rad),试将L表示为x的函数并写出其定义域;

(2)试利用(1)中的函数关系式确定宣讲站O的位置,使宣讲站O到三个乡镇的距离之和L(km)最小.

答案全解全析

一、单项选择题

1.C　因为集合M={x|-3<x<1},N={-3,-2,-1,0,1},所以M∩N={0,-1,-2},故选C.

2.C　命题“∃x∈R,使得x2+2x<0”的否定是“∀x∈R,都有x2+2x≥0”,故选C.

3.C　∵函数f(x)=

∴f(-1)=3+1=4, f(f(-1))=f(4)=4a+2=18,解得a=2.

4.C　由题意知cos θ=-,

则sin2===,故选C.

5.A　∵函数f(x)的定义域为(0,4],

∴得即0<x≤2,

则函数g(x)的定义域为(0,2],故选A.

6.A　c<d<0⇒<<0⇒->->0,

又a>b>0,∴->->0⇒<,充分性成立,

反过来,不妨取a=-1,d=1,b=1,c=2,则<,但a>b>0且c<d<0不成立,故必要性不成立,故选A.

解题模板　证明不等式成立,常从已知不等式出发,运用不等式性质逐步推理;证明不等式不成立,常举反例,反例应满足条件,但推不出结论.

7.A　设甲、乙两地相距S,则平均时速v==,

∵a<b,∴>=a,

又∵a+b>2,∴<=,

∴a<v<,故选A.

8.D　由于函数y=与函数y=2sin πx(-2≤x≤4)的图象均关于点(1,0)成中心对称,结合图象可知两函数共有8个交点,则有x1+x8=2×1=2,x2+x7=2,x3+x6=2,x4+x5=2,所以所有交点的横坐标之和为8.

二、多项选择题

9.BD　选项A中,4=⇒2-α=22⇒α=-2,A错误;

选项B中,在同一平面直角坐标系中作出y=与y=lox的图象,设两图象交点的横坐标为x0,则当x0<x<1时,>lox,B正确;

选项C中,取x=2,lo2=-1,

lo2=-log32>-1,C错误;

选项D显然正确.故选BD.

10.AC　由T==π知A正确;

令f(x)=sin=0,即2x+=kπ(k∈Z),解得x=-(k∈Z),

∴f(x)在[0,π]上只有两个零点,B错误;

f=sin=,C正确;

将y=sin图象上所有点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变),得到函数y=sin的图象,D错误.

故选AC.

11.ABC　∵0<a<b,a+b=1,∴0<a<b<1,

∵a<<b,∴a<<b,

∵a2+b2-b=(1-b)2+b2-b=2b2-3b+1=(2b-1)(b-1)<0,

∴a2+b2<b,A正确;

∵a2+b2-a=(1-a)2+a2-a=2a2-3a+1=(2a-1)(a-1)>0,∴a<a2+b2,B正确;

∵ab<=,∴a<2ab<,C正确;

∵a2+b2>=,a2+b2<a+b=1,

∴<a2+b2<1,D不正确.

12.ABD　函数f(x)=在(-∞,0)和(0,+∞)上都是减函数,但在定义域(-∞,0)∪(0,+∞)上不是减函数,A不正确;

g(x)是奇函数,但g(0)可以无意义,B不正确;

由+=1,x>0,y>0,得x+y=(x+y)=2++≥2+2=4,当且仅当x=y时取等号,依题意得m2+3m<4⇒-4<m<1,C正确;

在D中,f(x)是增函数⇒⇒-3≤a≤-2,D不正确.故选ABD.

三、填空题

13.答案　

解析　原式===.

14.答案　-11

解析　∵当x>0时, f(x)的图象与函数y=log2x的图象关于直线y=x对称,

∴当x>0时, f(x)=2x,

∴当x>0时,g(x)=2x+x2,

又g(x)是奇函数,

∴g(-1)+g(-2)=-[g(1)+g(2)]=-(2+1+4+4)=-11.

15.答案　2

解析　因为x<2,所以=+2-x≥2=2,当且仅当=2-x=1时取等号,所以2≥a,即a的最大值为2.

16.答案　(1)1　(2)(1,+∞)

解析　(1)若g(x)=x+1,则函数的值域为R,且函数为单调函数,故方程g(x)=t有且只有一个根,故f(t)=1.

(2)g(x)=(a∈R),

当a≤0时,如图(1),此时f(t+2)≤f(t),不满足题意;

当a>0时,若要满足f(t+2)>f(t),如图(2)所示,只需满足a>0,g(a)>2,所以a2+a>2,解得a>1或a<-2(舍去).

综上可知,a∈(1,+∞).

四、解答题

17.解析　(1)原式=+2log32-2log3-=+2-3=-.(5分)

(2)∵角α的终边经过点M(1,-2),

∴sin α==-,(7分)

∴

==-sin α=.(10分)

18.解析　(1)集合A=

=(-∞,-3)∪(6,+∞),(3分)

所以∁RA=[-3,6].(5分)

集合B={x∈R|2x2-(a+10)x+5a≤0}={x∈R|(2x-a)(x-5)≤0}.

因为B⊆∁RA,且5∈∁RA=[-3,6],

所以只需-3≤≤6,(8分)

所以-6≤a≤12.(9分)

(2)易知B⊆∁RA的充要条件是a∈[-6,12],

选择①,①是B⊆∁RA的既不充分也不必要条件;

选择②,②是B⊆∁RA的必要不充分条件;

选择③,③是B⊆∁RA的充分不必要条件.(12分)

19.解析　(1)f(x)=2sin xcos x+2cos2x-=sin 2x+cos 2x

=2sin,(3分)

令2kπ+≤2x+≤+2kπ,k∈Z,解得kπ+≤x≤+kπ,k∈Z,

因此,函数f(x)的单调递减区间为(k∈Z).(6分)

(2)由(1)知,将函数y=f(x)的图象向左平移个单位长度,可得y=2sin的图象,(8分)

再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的,纵坐标不变,得到函数y=g(x)=2sin的图象,(10分)

∵x∈,∴4x+∈,

∴sin∈,

∴2sin∈(-1,2].

∴y=g(x)在上的值域为(-1,2].(12分)

20.解析　 ∵ax2+2ax+1≥0对任意x∈R恒成立,

∴当a=0时,1≥0,不等式恒成立;(2分)

当a≠0时,由题意得

解得0<a≤1.(5分)

综上,a的取值范围是0≤a≤1.(6分)

由x2-x-a2+a<0,得(x-a)[x-(1-a)]<0.(8分)

∵0≤a≤1,

∴①当1-a>a,即0≤a<时,a<x<1-a;(9分)

②当1-a=a,即a=时,<0,不等式无解;(10分)

③当1-a<a,即<a≤1时,1-a<x<a.(11分)

综上,当0≤a<时,原不等式的解集为{x|a<x<1-a};当a=时,原不等式的解集为⌀;当<a≤1时,原不等式的解集为{x|1-a<x<a}.(12分)

21.解析　(1)f(x)在(1,+∞)上单调递增,证明如下:

任取x1,x2∈(1,+∞),且x1<x2,则f(x1)-f(x2)=(-a·)-(-a·)

=(-)+a(-)=(-)+a·=(-).(3分)

∵1<x1<x2,a>0,∴-<0, 1+>0,(5分)

∴(-)<0, 即f(x1)-f(x2)<0,∴f(x)在区间(1,+∞)上单调递增. (6分)

(2)设f(x)=t,则g(x)=t+,

由(1)知, 当a=1时, f(x)在(1,+∞)上单调递增,∴当1≤x≤2时,t∈.(9分)

∵y=t+在区间上单调递减,在区间上单调递增,

∴当t=2, 即2x-=2,即x=log2(+1)时,g(x)取得最小值,g(x)min=4.(12分)

22.解析　(1)过O作OT⊥MN,垂足为T,图略,则T为MN的中点,T,O,S三点共线,

∴MT=MN=5,(2分)

∴OM=ON=,OT=5tan x,OS=5-OT=5-5tan x,(4分)

∴L=OM+ON+OS=+5-5tan x0≤x≤.(6分)

(2)由(1)知,L=5+1,

∴L=+5.(8分)

令t=,则tcos x+sin x=2,

∴sin(x+φ)=2(tan φ=t),

由sin(x+φ)=≤1,得t≥或t≤-,易知t>0,∴t≥.(10分)

易知当t取最小值时,L最小,

∴当t=时,φ=,x=∈,L取得最小值,

即宣讲站位置O满足x=,MO=NO=10 km,SO=(5-5)km时,可使得三个乡镇到宣讲站的距离之和最小.(12分)