2021年内蒙古鄂尔多斯市康巴什区中考数学二模试卷 解析版

这是一份2021年内蒙古鄂尔多斯市康巴什区中考数学二模试卷 解析版，共34页。试卷主要包含了单项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021年内蒙古鄂尔多斯市康巴什区中考数学二模试卷
一、单项选择题（本大题共10题，每题3分，共30分）
1．（3分）在下列四个数中，比0小的数是（　　）
A． B．0.02 C．|﹣1| D．
2．（3分）中国人口众多，地大物博，仅领水面积就约为370 000km2，将“370 000”这个数用科学记数法表示为（　　）
A．3.7×106 B．3.7×105 C．37×104 D．3.7×104
3．（3分）下列各式中计算结果为x6的是（　　）
A．x2+x4 B．x8﹣x2 C．x2•x4 D．x12÷x2
4．（3分）下列说法正确的是（　　）
A．要调查人们对“低碳生活”的了解程度，宜采用普查方式
B．一组数据3，4，4，6，8，5的众数和中位数都是3
C．必然事件的概率是100%，随机事件的概率是50%
D．若甲组数据的方差S甲2＝0.128，乙组数据的方差S乙2＝0.036；则乙组数据比甲组数据稳定
5．（3分）如图，在△ABC中，∠A＝40°，AB＝AC，点D在AC边上，以CB，CD为边作▱BCDE，则∠E的度数为（　　）

A．40° B．50° C．60° D．70°
6．（3分）构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要应用，在计算tan15°时，如图．在Rt△ACB中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，延长CB使BD＝AB，连接AD，得∠D＝15°，所以tan15°＝＝＝＝2﹣．类比这种方法，计算tan22.5°的值为（　　）

A．+1 B．﹣1 C． D．
7．（3分）已知a，b，c是△ABC三条边的长，那么方程cx2+（a+b）x+＝0的根的情况是（　　）
A．没有实数根
B．有两个不相等的正实数根
C．有两个不相等的负实数根
D．有两个异号实数根
8．（3分）某厂家2020年1～5月份的口罩产量统计如图所示．设从2月份到4月份，该厂家口罩产量的平均月增长率为x，根据题意可得方程（　　）

A．180（1﹣x）2＝461 B．180（1+x）2＝461
C．368（1﹣x）2＝442 D．368（1+x）2＝442
9．（3分）如图，已知OT是Rt△ABO斜边AB上的高线，AO＝BO．以O为圆心，OT为半径的圆交OA于点C，过点C作⊙O的切线CD，交AB于点D．则下列结论中错误的是（　　）

A．DC＝DT B．AD＝DT C．BD＝BO D．2OC＝5AC
10．（3分）如图1，E为矩形ABCD边AD上的一点，点P从点B沿折线BE﹣ED﹣DC运动到点C时停止，点Q从点B沿BC运动到点C时停止，它们运动的速度都是2cm/s．若P、Q同时开始运动，设运动时间为t（s），△BPQ的面积为y（cm2），已知y与t的函数关系图象如图2，则下列结论错误的是（　　）

A．AE＝12cm
B．当t＝12s时，△PBQ的面积是（32﹣32）cm2
C．当0＜t≤8时，
D．sin∠EBC＝
二、填空题（本大题共6题，每题3分，共18分）
11．（3分）如图，数轴上所表示的x的取值范围为　 　．

12．（3分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，如果∠A＝15°，弦CD＝4，那么AB的长是　 　．

13．（3分）下面是“作一个角等于已知角”的尺规作图过程．
已知：∠A．
作法：如图，
（1）以点A为圆心，任意长为半径作⊙A，交∠A的两边于B，C两点；
（2）以点C为圆心，BC长为半径作弧，与⊙A交于点D，作射线AD．所以∠CAD就是所求作的角．

请回答：该尺规作图的依据是　 　．
14．（3分）如图是一个几何体的三视图，依据图中给出的数据，计算出这个几何体的侧面积是　 　．

15．（3分）如图：已知菱形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，AC＝8，BD＝6，动点P在边AB上运动，以点O为圆心，OP为半径作⊙O，CQ切⊙O于点Q．则在点P运动过程中，切线CQ的长的最大值为　 　．

16．（3分）如图，直线y＝k和双曲线y＝（k＞0）相交于点P，过点P作PA0垂直于x轴，垂足为A0，x轴上的点A0，A1，A2，…，An的横坐标是连续整数，过点A1，A2，…，An分别作x轴的垂线，与双曲线y＝（k＞0）及直线y＝k分别交于点B1，B2，…，Bn和点C1，C2，…，∁n，则的值为　 　．

三、解答题（本大题共8题，共72分，解答时写出必要的文字说明，演算步骤或推证过程）
17．（8分）（1）（）﹣1+（3.14﹣π）0+﹣|﹣2|；
（2）先化简，再求值：÷（1﹣），选择一个你自己喜欢的x的值代入求值．
18．（8分）在初三综合素质评定结束后，为了了解年级的评定情况，现对初三某班的学生进行了评定等级的调查，绘制了如下男女生等级情况折线统计图和全班等级情况扇形统计图．

（1）调查发现评定等级为合格的男生有2人，女生有1人，则全班共有　 　名学生．
（2）补全女生等级评定的折线统计图．
（3）根据调查情况，该班班主任从评定等级为合格和A的学生中各选1名学生进行交流，请用树形图或表格求出刚好选中一名男生和一名女生的概率．
19．（8分）已知直线y＝kx经过点A（a，3）（其中a＞4），与双曲线（x＞0）交于点P，过A作AB∥x轴，AC∥y轴，分别交双曲线于点B、C
（1）求k的值（用含有字母a的代数式表示）；
（2）过B作x轴垂线，垂足为E，交OA于D，连接CD
①求证：四边形ABDC是矩形；
②连接BP、CP，求的值．

20．（8分）如图，初三一班数学兴趣小组的同学欲测量公园内一棵树DE的高度，他们在这棵树正前方一座楼亭前的台阶上A点处测得树顶端D的仰角为30°．朝着这棵树的方向走到台阶下的点C处，测得树顶端D的仰角为60°，已知A点的高度AB为2米，台阶AC的坡度为1：（即AB：BC＝1：），且B，C，E三点在同一条直线上，请根据以上条件求出树DE的高度．（测量器的高度忽略不计）

21．（9分）如图，AB、BC、CD分别与⊙O切于E、F、G，且AB∥CD．连接OB、OC，延长CO交⊙O于点M，过点M作MN∥OB交CD于N．
（1）求证：MN是⊙O的切线；
（2）当OB＝6cm，OC＝8cm时，求⊙O的半径及MN的长．

22．（9分）某工厂生产一种新型产品，每件成本为18元．产品按质量分为10个等级（每个月能生产同一等级的产品），第一等级（最低等级）的产品能生产44万件，每件以28元销售．每提高一个等级，每件销售单价就提高2元，但月产量减少2万件．设生产该商品的质量为第x等级（x为整数，且1≤x≤10），产品的月总利润为W万元．
（1）求W与x之间的函数关系式；
（2）生产该产品的质量为第几等级时，月总利润最大，最大利润是多少？
（3）该商品在生产过程中，共有几个等级的产品销售的月利润不低于608万元？请直接写出结果．
23．（10分）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与直线AB交于A（﹣4，﹣4），B（0，4）两点，直线AC：y＝﹣x﹣6交y轴于点C．点E是直线AB上的动点，过点E作EF⊥x轴交AC于点F，交抛物线于点G．
（1）求抛物线y＝﹣x2+bx+c的表达式；
（2）连接GB，EO，当四边形GEOB是平行四边形时，求点G的坐标；
（3）①在y轴上存在一点H，连接EH，HF，当点E运动到什么位置时，以A，E，F，H为顶点的四边形是矩形？求出此时点E，H的坐标；
②在①的前提下，以点E为圆心，EH长为半径作圆，点M为⊙E上一动点，求AM+CM它的最小值．

24．（12分）（1）问题发现
如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE．
填空：
①∠AEB的度数为　 　；
②线段AD，BE之间的数量关系为　 　．
（2）拓展探究
如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点A，D，E在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE，请判断∠AEB的度数及线段CM，AE，BE之间的数量关系，并说明理由．
（3）解决问题
如图3，在正方形ABCD中，CD＝，若点P满足PD＝1，且∠BPD＝90°，请直接写出点A到BP的距离．


2021年内蒙古鄂尔多斯市康巴什区中考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一、单项选择题（本大题共10题，每题3分，共30分）
1．（3分）在下列四个数中，比0小的数是（　　）
A． B．0.02 C．|﹣1| D．
【分析】根据立方根、算术平方根、绝对值、实数的大小关系解决此题．
【解答】解：∵＝﹣2＜0，|﹣1|＝1＞0，
∴．
∴比0小的数为．
故选：A．
2．（3分）中国人口众多，地大物博，仅领水面积就约为370 000km2，将“370 000”这个数用科学记数法表示为（　　）
A．3.7×106 B．3.7×105 C．37×104 D．3.7×104
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥1时，n是非负数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：370 000＝3.7×105，
故选：B．
3．（3分）下列各式中计算结果为x6的是（　　）
A．x2+x4 B．x8﹣x2 C．x2•x4 D．x12÷x2
【分析】根据合并同类项、同底数幂乘除法的性质进行计算即可．
【解答】解：x2与x4不是同类项，不能合并计算，它是一个多项式，因此A选项不符合题意；
同理选项B不符合题意；
x2•x4＝x2+4＝x6，因此选项C符合题意；
x12÷x2＝x12﹣2＝x10，因此选项D不符合题意；
故选：C．
4．（3分）下列说法正确的是（　　）
A．要调查人们对“低碳生活”的了解程度，宜采用普查方式
B．一组数据3，4，4，6，8，5的众数和中位数都是3
C．必然事件的概率是100%，随机事件的概率是50%
D．若甲组数据的方差S甲2＝0.128，乙组数据的方差S乙2＝0.036；则乙组数据比甲组数据稳定
【分析】A、人口太多，难以普查；B、根据众数和中位数的定义解答即可；C、根据必然事件的概率为1，随机事件的概率介于0和1之间；D、方差越大越不稳定，方差越小越稳定．
【解答】解：A、由于涉及范围太广，故不宜采取普查方式，故本选项错误；
B、数据3，4，4，6，8，5的众数是4，中位数是4.5，故本选项错误；
C、必然事件的概率是100%，随机事件的概率是50%，故本选项错误；
D、方差反映了一组数据的波动情况，方差越小数据越稳定，故本选项正确．
故选：D．
5．（3分）如图，在△ABC中，∠A＝40°，AB＝AC，点D在AC边上，以CB，CD为边作▱BCDE，则∠E的度数为（　　）

A．40° B．50° C．60° D．70°
【分析】根据等腰三角形的性质可求∠C，再根据平行四边形的性质可求∠E．
【解答】解：∵在△ABC中，∠A＝40°，AB＝AC，
∴∠C＝（180°﹣40°）÷2＝70°，
∵四边形BCDE是平行四边形，
∴∠E＝70°．
故选：D．
6．（3分）构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要应用，在计算tan15°时，如图．在Rt△ACB中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，延长CB使BD＝AB，连接AD，得∠D＝15°，所以tan15°＝＝＝＝2﹣．类比这种方法，计算tan22.5°的值为（　　）

A．+1 B．﹣1 C． D．
【分析】在Rt△ACB中，∠C＝90°，∠ABC＝45°，延长CB使BD＝AB，连接AD，得∠D＝22.5°，设AC＝BC＝1，则AB＝BD＝，根据tan22.5°＝计算即可．
【解答】解：在Rt△ACB中，∠C＝90°，∠ABC＝45°，延长CB使BD＝AB，连接AD，得∠D＝22.5°，

设AC＝BC＝1，则AB＝BD＝，
∴tan22.5°＝＝＝﹣1，
故选：B．
7．（3分）已知a，b，c是△ABC三条边的长，那么方程cx2+（a+b）x+＝0的根的情况是（　　）
A．没有实数根
B．有两个不相等的正实数根
C．有两个不相等的负实数根
D．有两个异号实数根
【分析】判断上述方程的根的情况，只要看根的判别式Δ＝b2﹣4ac的值的符号，结合三角形三边关系即可作出判断．
【解答】解：在此方程中Δ＝b2﹣4ac＝（a+b）2﹣4c×＝（a+b）2﹣c2
∵a，b，c是△ABC三条边的长
∴a＞0，b＞0，c＞0．c＜a+b，即（a+b）2＞c2
∴Δ＝（a+b）2﹣c2＞0
故方程有两个不相等的实数根．
又∵两根的和是﹣＜0，两根的积是＝＞0
∴方程有两个不等的负实根．
故选：C．
8．（3分）某厂家2020年1～5月份的口罩产量统计如图所示．设从2月份到4月份，该厂家口罩产量的平均月增长率为x，根据题意可得方程（　　）

A．180（1﹣x）2＝461 B．180（1+x）2＝461
C．368（1﹣x）2＝442 D．368（1+x）2＝442
【分析】本题为增长率问题，一般用增长后的量＝增长前的量×（1+增长率）2，如果设这个增长率为x，根据“2月份的180万只，4月份的产量将达到461万只”，即可得出方程．
【解答】解：从2月份到4月份，该厂家口罩产量的平均月增长率为x，根据题意可得方程：180（1+x）2＝461，
故选：B．
9．（3分）如图，已知OT是Rt△ABO斜边AB上的高线，AO＝BO．以O为圆心，OT为半径的圆交OA于点C，过点C作⊙O的切线CD，交AB于点D．则下列结论中错误的是（　　）

A．DC＝DT B．AD＝DT C．BD＝BO D．2OC＝5AC
【分析】如图，连接OD．想办法证明选项A，B，C正确即可解决问题．
【解答】解：如图，连接OD．

∵OT是半径，OT⊥AB，
∴DT是⊙O的切线，
∵DC是⊙O的切线，
∴DC＝DT，故选项A正确，
∵OA＝OB，∠AOB＝90°，
∴∠A＝∠B＝45°，
∵DC是切线，
∴CD⊥OC，
∴∠ACD＝90°，
∴∠A＝∠ADC＝45°，
∴AC＝CD＝DT，
∴AC＝CD＝DT，故选项B正确，
∵OD＝OD，OC＝OT，DC＝DT，
∴△DOC≌△DOT（SSS），
∴∠DOC＝∠DOT，
∵OA＝OB，OT⊥AB，∠AOB＝90°，
∴∠AOT＝∠BOT＝45°，
∴∠DOT＝∠DOC＝22.5°，
∴∠BOD＝∠ODB＝67.5°，
∴BO＝BD，故选项C正确，
根据筛选法，
故选：D．
10．（3分）如图1，E为矩形ABCD边AD上的一点，点P从点B沿折线BE﹣ED﹣DC运动到点C时停止，点Q从点B沿BC运动到点C时停止，它们运动的速度都是2cm/s．若P、Q同时开始运动，设运动时间为t（s），△BPQ的面积为y（cm2），已知y与t的函数关系图象如图2，则下列结论错误的是（　　）

A．AE＝12cm
B．当t＝12s时，△PBQ的面积是（32﹣32）cm2
C．当0＜t≤8时，
D．sin∠EBC＝
【分析】根据图象可以得到BC和BE的长度，从而可以得到AE的长，可以判断A；
根据题意可以分别求得在t＝12s时，BQ、QP的长，从而得到△PBQ面积，可以判断B；
根据函数图象可以求得在0＜t≤8时，求得△BPQ底边BQ上的高，从而可以得到△BPQ的面积的表达式，可以判断D；
作辅助线EF⊥BC于点F，由于EF＝CD的长，从而可以得到sin∠EBC的值，可以判断D．
【解答】解：由图象可知，BC＝BE＝2×8＝16cm，DE＝2×（10﹣8）＝4cm，
∴AE＝AD﹣DE＝16﹣4＝12cm，故A正确；
∴AB＝CD＝4cm．
作EF⊥BC于点F，作PM⊥BQ于点M，如图所示，

∴EF＝AB＝4cm，
∴sin∠EBC＝＝＝，故D正确；
当t＝12s时，点Q与点C重合，点P运动了24cm，
由图象可知，DE＝4cm，
所以点P运动到边DC上，且DP＝24﹣16﹣4＝4cm，如图所示，

∴PC＝（4﹣4）cm，
∴△PBQ面积＝×16×（4﹣4）＝（32﹣32）cm2，故B正确；
当0＜t≤8时，△BMP∽△BFE，
∴＝，即＝，
解得PM＝t，
∴△BPQ的面积＝BQ•PM＝•2t•t＝t2，
即y＝t2，故C错误；
故选：C．


二、填空题（本大题共6题，每题3分，共18分）
11．（3分）如图，数轴上所表示的x的取值范围为　﹣1＜x≤3　．

【分析】根据数轴上表示的不等式的解集即可得结论．
【解答】解：观察数轴可知：
x＞﹣1，且x≤3，
所以x的取值范围为﹣1＜x≤3．
故答案为﹣1＜x≤3．
12．（3分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，如果∠A＝15°，弦CD＝4，那么AB的长是　8　．

【分析】根据圆周角定理得出∠COB＝30°，再利用含30°的直角三角形的性质得出OC，进而解答即可．
【解答】解：∵∠A＝15°，
∴∠COB＝30°，
∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，弦CD＝4，
∴CE＝2，∠OEC＝90°
∵∠COE＝30°，
∴OC＝2CE＝4，
∴AB＝2OC＝8，
故答案为：8
13．（3分）下面是“作一个角等于已知角”的尺规作图过程．
已知：∠A．
作法：如图，
（1）以点A为圆心，任意长为半径作⊙A，交∠A的两边于B，C两点；
（2）以点C为圆心，BC长为半径作弧，与⊙A交于点D，作射线AD．所以∠CAD就是所求作的角．

请回答：该尺规作图的依据是　等弧所对的圆心角相等或同圆中，相等的弦所对的劣弧相等　．
【分析】根据等弧所对的圆心角相等即可判断；
【解答】解：由题意：∵＝，
∴∠CAD＝∠BAC（等弧所对的圆心角相等或同圆中，相等的弦所对的劣弧相等）．
故答案为：等弧所对的圆心角相等或同圆中，相等的弦所对的劣弧相等．
14．（3分）如图是一个几何体的三视图，依据图中给出的数据，计算出这个几何体的侧面积是　65π　．

【分析】由几何体的三视图可得出原几何体为圆锥，根据图中给定数据求出母线l的长度，再套用侧面积公式即可得出结论．
【解答】解：由三视图可知，原几何体为圆锥，
S侧＝•2πr•l＝×2π×5×13＝65π．
故答案为：65π．
15．（3分）如图：已知菱形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，AC＝8，BD＝6，动点P在边AB上运动，以点O为圆心，OP为半径作⊙O，CQ切⊙O于点Q．则在点P运动过程中，切线CQ的长的最大值为　　．

【分析】首先连接OQ，由CQ切⊙O于点Q，可得当OQ最小时，CQ最大，即当OP⊥AB时，CQ最大，然后由菱形与直角三角形的性质，求得OP的长，继而求得答案．
【解答】解：连接OQ，
∵CQ切⊙O于点Q，
∴OQ⊥CQ，
∴∠CQO＝90°，
∴CQ＝，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OA＝OC＝AC＝×8＝4，OB＝BD＝×6＝3，
∴AB＝＝5，
∴OC是定值，则当OQ最小时，CQ最大，
即OP最小时，CQ最大，
∴当OP⊥AB时，CQ最大，此时OQ＝OP＝＝，
∴CQ＝．
故答案为：．

16．（3分）如图，直线y＝k和双曲线y＝（k＞0）相交于点P，过点P作PA0垂直于x轴，垂足为A0，x轴上的点A0，A1，A2，…，An的横坐标是连续整数，过点A1，A2，…，An分别作x轴的垂线，与双曲线y＝（k＞0）及直线y＝k分别交于点B1，B2，…，Bn和点C1，C2，…，∁n，则的值为　　．

【分析】由于x轴上的点A0，A1，A2，…，An的横坐标是连续整数，则得到点An（n+1，0），再分别表示出∁n（n+1，k），Bn（n+1，），根据坐标与图形性质计算出AnBn＝，Bn∁n＝k﹣，然后计算．
【解答】解：∵x轴上的点A0，A1，A2，…，An的横坐标是连续整数，
∴An（n+1，0），
∵∁nAn⊥x轴，
∴∁n（n+1，k），Bn（n+1，），
∴AnBn＝，Bn∁n＝k﹣，
∴＝＝．
故答案为．
三、解答题（本大题共8题，共72分，解答时写出必要的文字说明，演算步骤或推证过程）
17．（8分）（1）（）﹣1+（3.14﹣π）0+﹣|﹣2|；
（2）先化简，再求值：÷（1﹣），选择一个你自己喜欢的x的值代入求值．
【分析】（1）先化简负整数指数幂，零指数幂，算术平方根，绝对值，然后再计算；
（2）先将小括号内的式子进行通分计算，然后再算除法，最后根据分式有意义的条件选取合适的x的值代入求值．
【解答】解：（1）原式＝2+1+4﹣2
＝5；
（2）原式＝÷（）
＝÷
＝
＝，
∵x（x+1）（x﹣1）（x﹣2）≠0，
∴x≠0且x≠±1且x≠2，
当x＝3时，原式＝＝．
18．（8分）在初三综合素质评定结束后，为了了解年级的评定情况，现对初三某班的学生进行了评定等级的调查，绘制了如下男女生等级情况折线统计图和全班等级情况扇形统计图．

（1）调查发现评定等级为合格的男生有2人，女生有1人，则全班共有　50　名学生．
（2）补全女生等级评定的折线统计图．
（3）根据调查情况，该班班主任从评定等级为合格和A的学生中各选1名学生进行交流，请用树形图或表格求出刚好选中一名男生和一名女生的概率．
【分析】（1）根据合格的男生有2人，女生有1人，得出合格的总人数，再根据评级合格的学生占6%，即可得出全班的人数；
（2）根据折线统计图和扇形统计图以及全班的学生数，即可得出女生评级3A的学生和女生评级4A的学生数，即可补全折线统计图；
（3）根据题意画出图表，再根据概率公式即可得出答案．
【解答】解：因为合格的男生有2人，女生有1人，共计2+1＝3人，
又因为评级合格的学生占6%，
所以全班共有：3÷6%＝50（人）．
故答案为：50．

（2）根据题意得：
女生评级3A的学生是：50×16%﹣3＝8﹣3＝5（人），
女生评级4A的学生是：50×50%﹣10＝25﹣10＝15（人），
如图：


（3）根据题意如表：

∵共有12种等可能的结果数，其中一名男生和一名女生的共有7种，
∴P＝，
答：选中一名男生和一名女生的概率为：．
19．（8分）已知直线y＝kx经过点A（a，3）（其中a＞4），与双曲线（x＞0）交于点P，过A作AB∥x轴，AC∥y轴，分别交双曲线于点B、C
（1）求k的值（用含有字母a的代数式表示）；
（2）过B作x轴垂线，垂足为E，交OA于D，连接CD
①求证：四边形ABDC是矩形；
②连接BP、CP，求的值．

【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题；
（2）①如图，过B作x轴垂线，垂足为E，交OA于D，连接CD．用a表示出B，C，D的坐标，可得BD＝AC解决问题；
②设P（m，），因为点P在y＝x上，可得＝，推出S△ABP＝•（a﹣4）•（3﹣）＝（a﹣4）（3﹣）＝（3a﹣12﹣3m+），S△APC＝•（3﹣）（a﹣m）＝（3a﹣12﹣3m+），推出S△ABP＝S△ACP，解决问题；
【解答】解：（1）∵点A（a，3）在直线y＝kx上，
∴3＝ka，
∴k＝．

（2）①如图，过B作x轴垂线，垂足为E，交OA于D，连接CD

∵AB∥x轴，AC∥y轴，A（a，3），
∴B（4，3），C（a，），
∵直线OA的解析式为y＝x，
∴D（4，），
∴AC＝BD＝3﹣，
∵BD∥AC，
∴四边形ABDC是平行四边形，
∵∠ABD＝90°，
∴四边形ABDC是矩形；

②设P（m，），
∵点P在y＝x上，
∴＝，
∵S△ABP＝•（a﹣4）•（3﹣）＝（a﹣4）（3﹣）＝（3a﹣12﹣3m+），
S△APC＝•（3﹣）（a﹣m）＝（3a﹣12﹣3m+），
∴S△ABP＝S△ACP，
∴＝1．
20．（8分）如图，初三一班数学兴趣小组的同学欲测量公园内一棵树DE的高度，他们在这棵树正前方一座楼亭前的台阶上A点处测得树顶端D的仰角为30°．朝着这棵树的方向走到台阶下的点C处，测得树顶端D的仰角为60°，已知A点的高度AB为2米，台阶AC的坡度为1：（即AB：BC＝1：），且B，C，E三点在同一条直线上，请根据以上条件求出树DE的高度．（测量器的高度忽略不计）

【分析】由于AF⊥AB，则四边形ABEF为矩形，设DE＝x，在Rt△CDE中，CE＝＝＝x，在Rt△ABC中，得到＝，求出BC，在Rt△AFD中，求出AF，由AF＝BC+CE即可求出x的长．
【解答】解：∵AF⊥AB，AB⊥BE，DE⊥BE，
∴四边形ABEF为矩形，
∴AF＝BE，EF＝AB＝2
设DE＝x，在Rt△CDE中，CE＝＝＝x，
在Rt△ABC中，
∵＝，AB＝2，
∴BC＝2，
在Rt△AFD中，DF＝DE﹣EF＝x﹣2，
∴AF＝＝＝（x﹣2），
∵AF＝BE＝BC+CE．
∴（x﹣2）＝2+x，
解得x＝6．
答：树DE的高度为6米．
21．（9分）如图，AB、BC、CD分别与⊙O切于E、F、G，且AB∥CD．连接OB、OC，延长CO交⊙O于点M，过点M作MN∥OB交CD于N．
（1）求证：MN是⊙O的切线；
（2）当OB＝6cm，OC＝8cm时，求⊙O的半径及MN的长．

【分析】（1）求证：MN是⊙O的切线，就可以证明∠NMC＝90°
（2）连接OF，则OF⊥BC，根据勾股定理就可以求出BC的长，然后根据△BOC的面积就可以求出⊙O的半径，根据△NMC∽△BOC就可以求出MN的长．
【解答】（1）证明：∵AB、BC、CD分别与⊙O切于点E、F、G，
∴∠OBC＝∠ABC，∠DCB＝2∠DCM，
∵AB∥CD，
∴∠ABC+∠DCB＝180°，
∴∠OBC+∠OCB＝（∠ABC+∠DCB）＝×180°＝90°，
∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝180°﹣90°＝90°，
∵MN∥OB，
∴∠NMC＝∠BOC＝90°，
即MN⊥MC 且MO是⊙O的半径，
∴MN是⊙O的切线．

（2）解：连接OF，则OF⊥BC．
由（1）知，△BOC是直角三角形，
∴BC＝＝＝10，
∵S△BOC＝•OB•OC＝•BC•OF，
∴6×8＝10×OF，
∴0F＝4.8cm，
∴⊙O的半径为4.8cm，
由（1）知，∠NCM＝∠BCO，∠NMC＝∠BOC＝90°，
∴△NMC∽△BOC，
∴，即＝，
∴MN＝9.6（cm）．

22．（9分）某工厂生产一种新型产品，每件成本为18元．产品按质量分为10个等级（每个月能生产同一等级的产品），第一等级（最低等级）的产品能生产44万件，每件以28元销售．每提高一个等级，每件销售单价就提高2元，但月产量减少2万件．设生产该商品的质量为第x等级（x为整数，且1≤x≤10），产品的月总利润为W万元．
（1）求W与x之间的函数关系式；
（2）生产该产品的质量为第几等级时，月总利润最大，最大利润是多少？
（3）该商品在生产过程中，共有几个等级的产品销售的月利润不低于608万元？请直接写出结果．
【分析】（1）先表示出第x等级时，每件的销售单价和月产量，再根据“总利润＝单件利润×销售量”可得函数解析式；
（2）将（1）中所求函数解析式配方成顶点式，结合x的取值可得W的最大值；
（3）由W＝﹣4（x﹣）2+729≥608，利用二次函数的图象求解可得．
【解答】解：（1）根据题意知，质量为第x等级时，每件的销售单价为28+2（x﹣1）＝2x+26（元/件），月产量为44﹣2（x﹣1）＝46﹣2x（万件），
则W＝（26+2x﹣18）（46﹣2x）＝﹣4x2+76x+368；

（2）W＝﹣4x2+76x+368＝﹣4（x﹣）2+729，
∵x为整数，且1≤x≤10，
∴当x＝9或x＝10时，W取得最大值，最大值为728万元，
答：生产该产品的质量为第9或10等级时，月总利润最大，最大利润是728万元；

（3）由（2）知，W＝﹣4（x﹣）2+729，
令W＝608，即﹣4（x﹣）2+729＝608，
解得：x1＝4，x2＝15，

由函数图象可知，当4≤x≤15时，W≥608，
又∵1≤x≤10，且x为整数，
∴当4≤x≤10时，月利润不低于608万元，
∴共有7个等级的产品销售的月利润不低于608万元．
23．（10分）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与直线AB交于A（﹣4，﹣4），B（0，4）两点，直线AC：y＝﹣x﹣6交y轴于点C．点E是直线AB上的动点，过点E作EF⊥x轴交AC于点F，交抛物线于点G．
（1）求抛物线y＝﹣x2+bx+c的表达式；
（2）连接GB，EO，当四边形GEOB是平行四边形时，求点G的坐标；
（3）①在y轴上存在一点H，连接EH，HF，当点E运动到什么位置时，以A，E，F，H为顶点的四边形是矩形？求出此时点E，H的坐标；
②在①的前提下，以点E为圆心，EH长为半径作圆，点M为⊙E上一动点，求AM+CM它的最小值．

【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线解析式；
（2）先利用待定系数法求出直线AB的解析式，进而利用平行四边形的对边相等建立方程求解即可；
（3）①先判断出要以点A，E，F，H为顶点的四边形是矩形，只有EF为对角线，利用中点坐标公式建立方程即可；
②先取EG的中点P进而判断出△PEM∽△MEA即可得出PM＝AM，连接CP交圆E于M，再求出点P的坐标即可得出结论．
【解答】解：（1）∵点A（﹣4，﹣4），B（0，4）在抛物线y＝﹣x2+bx+c上，
∴，
∴，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+4；

（2）设直线AB的解析式为y＝kx+n过点A，B，
∴，
∴，
∴直线AB的解析式为y＝2x+4，
设E（m，2m+4），
∴G（m，﹣m2﹣2m+4），
∵四边形GEOB是平行四边形，
∴EG＝OB＝4，
∴﹣m2﹣2m+4﹣2m﹣4＝4，
∴m＝﹣2
∴G（﹣2，4）．

（3）①如图1，
由（2）知，直线AB的解析式为y＝2x+4，
∴设E（a，2a+4），
∵直线AC：y＝﹣x﹣6，
∴F（a，﹣a﹣6），
设H（0，p），
∵以点A，E，F，H为顶点的四边形是矩形，
∵直线AB的解析式为y＝2x+4，直线AC：y＝﹣x﹣6，
∴AB⊥AC，
∴EF为对角线，
∴EF与AH互相平分，
∴（﹣4+0）＝（a+a），（﹣4+p）＝（2a+4﹣a﹣6），
∴a＝﹣2，P＝﹣1，
∴E（﹣2，0）．H（0，﹣1）；

②如图2，
由①知，E（﹣2，0），H（0，﹣1），A（﹣4，﹣4），
∴EH＝，AE＝2，
设AE交⊙E于G，取EG的中点P，
∴PE＝，
连接PC交⊙E于M，连接EM，
∴EM＝EH＝，
∴＝，
∵＝，
∴＝，∵∠PEM＝∠MEA，
∴△PEM∽△MEA，
∴，
∴PM＝AM，
∴AM+CM的最小值＝PC，
设点P（p，2p+4），
∵E（﹣2，0），
∴PE2＝（p+2）2+（2p+4）2＝5（p+2）2，
∵PE＝，
∴5（p+2）2＝，
∴p＝﹣或p＝﹣（由于E（﹣2，0），所以舍去），
∴P（﹣，﹣1），
∵C（0，﹣6），
∴PC＝＝，
即：AM+CM的最小值为 ．


24．（12分）（1）问题发现
如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE．
填空：
①∠AEB的度数为　60°　；
②线段AD，BE之间的数量关系为　AD＝BE　．
（2）拓展探究
如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点A，D，E在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE，请判断∠AEB的度数及线段CM，AE，BE之间的数量关系，并说明理由．
（3）解决问题
如图3，在正方形ABCD中，CD＝，若点P满足PD＝1，且∠BPD＝90°，请直接写出点A到BP的距离．

【分析】（1）由条件易证△ACD≌△BCE，从而得到：AD＝BE，∠ADC＝∠BEC．由点A，D，E在同一直线上可求出∠ADC，从而可以求出∠AEB的度数．
（2）仿照（1）中的解法可求出∠AEB的度数，证出AD＝BE；由△DCE为等腰直角三角形及CM为△DCE中DE边上的高可得CM＝DM＝ME，从而证到AE＝2CM+BE．
（3）由PD＝1可得：点P在以点D为圆心，1为半径的圆上；由∠BPD＝90°可得：点P在以BD为直径的圆上．显然，点P是这两个圆的交点，由于两圆有两个交点，接下来需对两个位置分别进行讨论．然后，添加适当的辅助线，借助于（2）中的结论即可解决问题．
【解答】解：（1）①如图1，
∵△ACB和△DCE均为等边三角形，
∴CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°．
∴∠ACD＝∠BCE．
在△ACD和△BCE中，

∴△ACD≌△BCE（SAS）．
∴∠ADC＝∠BEC．
∵△DCE为等边三角形，
∴∠CDE＝∠CED＝60°．
∵点A，D，E在同一直线上，
∴∠ADC＝120°．
∴∠BEC＝120°．
∴∠AEB＝∠BEC﹣∠CED＝60°．
故答案为：60°．
②∵△ACD≌△BCE，
∴AD＝BE．
故答案为：AD＝BE．

（2）∠AEB＝90°，AE＝BE+2CM．
理由：如图2，
∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，
∴CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝90°．
∴∠ACD＝∠BCE．
在△ACD和△BCE中，

∴△ACD≌△BCE（SAS）．
∴AD＝BE，∠ADC＝∠BEC．
∵△DCE为等腰直角三角形，
∴∠CDE＝∠CED＝45°．
∵点A，D，E在同一直线上，
∴∠ADC＝135°．
∴∠BEC＝135°．
∴∠AEB＝∠BEC﹣∠CED＝90°．
∵CD＝CE，CM⊥DE，
∴DM＝ME．
∵∠DCE＝90°，
∴DM＝ME＝CM．
∴AE＝AD+DE＝BE+2CM．

（3）点A到BP的距离为或．
理由如下：
∵PD＝1，
∴点P在以点D为圆心，1为半径的圆上．
∵∠BPD＝90°，
∴点P在以BD为直径的圆上．
∴点P是这两圆的交点．
①当点P在如图3①所示位置时，
连接PD、PB、PA，作AH⊥BP，垂足为H，
过点A作AE⊥AP，交BP于点E，如图3①．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADB＝45°．AB＝AD＝DC＝BC＝，∠BAD＝90°．
∴BD＝2．
∵DP＝1，
∴BP＝．
∵∠BPD＝∠BAD＝90°，
∴A、P、D、B在以BD为直径的圆上，
∴∠APB＝∠ADB＝45°．
∴△PAE是等腰直角三角形．
又∵△BAD是等腰直角三角形，点B、E、P共线，AH⊥BP，
∴由（2）中的结论可得：BP＝2AH+PD．
∴＝2AH+1．
∴AH＝．
②当点P在如图3②所示位置时，
连接PD、PB、PA，作AH⊥BP，垂足为H，
过点A作AE⊥AP，交PB的延长线于点E，如图3②．
同理可得：BP＝2AH﹣PD．
∴＝2AH﹣1．
∴AH＝．
综上所述：点A到BP的距离为或．