人教版新课标A必修5第一章 解三角形综合与测试免费同步训练题

专题强化练1　正、余弦定理的综合应用

一、选择题

1.(2019江苏苏州部分重点中学高三上期中,★★☆)在△ABC中，AB=3,BC=,

AC=4,则AC边上的高为(　　)

A. B.

C. D.3

2.(★★☆)若△ABC的内角A,B,C满足6sin A=4sin B=3sin C,则cos B=(　　)

A. B. C. D.

3.(2018广西桂林十八中高三上月考,★★☆)在△ABC中,∠BAC=,AB=3,AC=3,点D在边BC上,且CD=2DB,则AD=(　　)

A. B.

C.5 D.2

4.(★★★)锐角△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若2sin A(acos C+

ccos A)=b,则的取值范围是(　　)

A. B.

C.(1,2) D.

5.(★★★)若G是△ABC的重心,a,b,c分别是内角A,B,C的对边,且

a+b+c=0,则角A=(　　)

A.90° B.60° C.45° D.30°

二、填空题

6.(★★☆)已知三角形的两边长分别为1,,第三边上的中线长为1,则三角形的外接圆半径R=　　　　.

7.(2019广东湛江一中高二大考,★★☆)在△ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C所对的边.若a=2bcos C,则此三角形一定是　　　　.

8.(★★☆)一解三角形的题因纸张破损导致有一个条件缺失,具体如下:在△ABC中,已知a=,B=45°,,求角A.经推断破损处的条件为三角形一边的长度,且答案提示A=60°,则题中缺失的条件为　　　　.

三、解答题

9.(2020湖南郴州高二期末,★★☆)在△ABC中,内角A,B,C对应的边分别为a,b,c,且满足c·=a2-b2.

(1)求角A的大小;

(2)若a=,求b+c的取值范围.

10.(2019河南商丘九校联考高二期末,★★☆)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且(2b-c)cos A=acos C.

(1)求角A的大小;

(2)若点D满足=2,且BD=3,求2b+c的取值范围.

答案全解全析

专题强化练1　正、余弦定理的综合应用

一、选择题

1.B　由BC2=AB2+AC2-2AB·ACcos A,可得13=9+16-2×3×4×cos A,解得cos A=.∵A为△ABC的内角,∴A=,∴AC边上的高为AB·sin A=3×=.

2.D　∵6sin A=4sin B=3sin C,∴6a=4b=3c,∴b=a,c=2a.

由余弦定理,得cos B===.

3.A　设AD=x.在△ABC中,BC2=AB2+AC2-2AB×AC×cos∠BAC=27+92×3×3×=9,所以BC=3(负值舍去),所以BD=1,CD=2.

解法一:因为cos∠ADB=cos(π-∠ADC),即cos∠ADB=-cos∠ADC,所以=

-,解得x=或x=-(舍去),即AD=.

解法二:因为AC=BC=3,∠BAC=,所以∠BCA=,所以在△ADC中,x2=AC2+CD2-2AC×CD×cos∠BCA=32+22-2×3×2×cos=19,故x=或x=-(舍去),即AD=.

4.A　由正弦定理及2sin A(acos C+ccos A)=b,得2sin A·(sin Acos C+

sin Ccos A)=sin B,即2sin Asin (A+C)=sin B,即2sin Asin B=

sin B,因为sin B≠0,所以sin A=.

因为△ABC为锐角三角形,所以A=.

由余弦定理得,a2=b2+c2-bc,　①

由题意得,a2+c2>b2,　②

a2+b2>c2,　③

将①分别代入②和③可得,2c2>bc,2b2>bc,所以<<2.故选A.

5.D　由三角形重心的性质,知++=0,所以=--,代入a+b+c·=0中,得(b-a)+=0.

因为,不共线,所以即所以cos A==.

因为0°<A<180°,所以A=30°.故选D.

二、填空题

6.答案　1

解析　如图,在△ABC中,D为边AC的中点,AB=1,BD=1,BC=.

设AD=DC=x(x>0),在△ABD中,cos∠ADB==.

在△BDC中,cos∠BDC==.

∵∠ADB与∠BDC互补,∴cos∠ADB=-cos∠BDC,∴=-,∴x=1,∴∠A=60°,

由=2R得R=1.

7.答案　等腰三角形

解析　由正弦定理及a=2bcos C,得sin A=2sin Bcos C.

因为sin A=sin(B+C),所以sin(B+C)=2sin Bcos C,即sin Bcos C-

cos Bsin C=0, 所以sin(B-C)=0.因为B,C∈(0,π),所以B-C=0,即B=C.

所以此三角形一定是等腰三角形.

8.答案　c=

解析　由A=60°,B=45°,得C=75°.

结合正弦定理,得==,解得b=,c=.

若条件为b=,则由正弦定理得=,解得sin A=,∴A=60°或A=120°,

答案不唯一,不符合题意.∴条件为c=.

三、解答题

9.解析　(1)∵c=a2-b2,∴a2+c2-b2-bc=2a2-2b2,即a2=b2+c2-bc.

∵a2=b2+c2-2bccos A,∴cos A=,又∵A∈(0,π),∴A=.

(2)由正弦定理,得===2,∴b=2sin B,c=2sin C,

∴b+c=2sin B+2sin C=2sin B+2sin(A+B)=2sin B+2sin Acos B+

2cos Asin B=3sin B+cos B=2sin.

∵B∈,∴B+∈,∴sin∈,∴b+c∈(,2].

10.解析　(1)由(2b-c)cos A=acos C及正弦定理,得2sin Bcos A=

sin Acos C+sin C·cos A,即2sin Bcos A=sin(A+C),

∴2sin Bcos A=sin B.∵0<B<π,∴sin B≠0,∴cos A=,∵0<A<π,∴A=.

(2)∵点D满足=2,∴C为线段AD的中点,

∴在△ABD中,由余弦定理,得BD2=AB2+AD2-2AB·AD·cos A,整理,得9=(AB+AD)2-3AB·AD,∵(AB+AD)2-4AB·AD=(AB-AD)2≥0,∴AB·AD≤,

∴9≥(c+2b)2-(c+2b)2,∴0<c+2b≤6,又∵c+2b>3,∴3<c+2b≤6,

即2b+c的取值范围为(3,6].