四川省绵阳市2022届高三上学期第一次诊断性考试（11月）数学（理）含答案

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绵阳市高中2019级第一次诊断性考试

理科数学

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的班级、姓名、考号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将答题卡交回。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设集合A＝{x|－1<x≤1}，B＝{x|log2x<1}，则A∩B＝

A.{x|－1<x≤1}     B.{x|－1<x<1}     C.{x|0<x≤1}     D.{x|0<x<1}

2.若0<a<b，则下列结论正确的是

A.lna>lnb     B.b2<a2     C.     D.

3.设D，E为△ABC所在平面内两点，，，则＝

A.     B.     C.     D.

4.设x，y满足约束条件，则z＝3x＋4y的最大值是

A.12     B.17     C.18     D.

5.通常人们用震级来描述地震的大小。地震震级是对地震本身大小的相对量度，用M表示，强制性国家标准GB17740－1999《地震震级的规定》规定了我国地震震级的计算和使用要求，即通过地震面波质点运动最大值(A/T)max进行测定，计算公式如下：

M＝lg(A/T)max＋1.66lg△＋3.5(其中△为震中距)，已知某次某地发生了4.8级地震，测得地震面波质点运动最大值为0.01，则震中距大约为

A.58     B.78     C.98     D.118

6.“”是“－2<a<”的

A.充分不必要条件     B.必要不充分条件     C.充要条件     D.既不充分也不必要条件

7.函数f(x)＝在(－，)上的图象大致为

8.已知a＝，b＝log32＋log23，c＝log23，则a，b，c的大小关系为

A.c>b>a     B.b>a>c     C.a>c>b     D.b>c>a

9.已知首项为1的数列{an}的前n项和为Sn，若4anan＋1＝16n，则下列说法不正确的是

A.数列{an}是等比数列      B.数列{Sn}为单调递增数列

C.a5＝256                 D.4an＝3Sn＋4n－1

10.设函数f(x)＝，则满足f(2x－1)<f(x)的x的取值范围是

A.(，]     B.[，1)     C.(－∞，]     D.(，1)

11.已知定义在R上的函数y＝f(x)满足下列三个条件：

①对任意的1≤x1<x2≤2，都有f(x1)>f(x2)；②y＝f(x＋1)的图象关于y轴对称；

③对任意的x∈R，都有f(x)＝f(x＋2)。则f()，f()，f()的大小关系是

A.f()>f()>f()     B.f()>f()>f()

C.f()>f()>f()     D.f()>f()>f()

12.函数f(x)＝3sin(ωx＋φ)(ω>0，|φ|<)，已知|f()|＝3，且对于任意的x∈R都有f(－＋x)＋f(－－x)＝0，若f(x)在(，)上单调，则ω的最大值为

A.11     B.9     C.7     D.5

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

13.设Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1＝2，S7＝35，则a6＝          。

14.已知平面向量＝(1，)，＝(m，－1)，若⊥，则||＝          。

15.若tanα＝5tan，则＝          。

16.已知函数f(x)＝cos2x＋asinx－1，若不等式|f(x)|≤1对任意的x∈[0，π]恒成立，则实数a的取值范围为          。

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

(一)必考题：共60分。

17.(12分)

己知函数f(x)＝2cos2ωx＋2sinωxcosωx－(ω>0)，其图象的两条相邻对称轴间的距离为。

(1)求函数f(x)在[0，]上的单调递增区间；

(2)将函数f(x)的图象向左平移φ(0<φ<)个单位后得到函数g(x)的图象，若函数g(x)为偶函数，求φ的值。

18.(12分)

已知Sn是数列{an}的前n项和，a1＝2，且满足Sn＋1＝3Sn＋2。

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)求数列{nan}的前n项和Tn。

19.(12分)

在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，c＝3，从以下三个条件中任选一个：①btanC＝(2a－b)tanB；②2ccosB＝2a－b；③accosA＋a2(cosC－1)＝b2－c2，解答如下的问题。

(1)证明：a＝sinB＋3cosB；

(2)若AB边上的点P满足AP＝2PB，求线段CP的长度的最大值。

20.(12分)

已知函数f(x)＝－x3＋ax2＋3a2x－。

(1)若a＝－1时，求f(x)在区间[－4，2]上的最大值与最小值。

(2)若存在实数m，使得不等式f(x)<0的解集为(m，＋∞)，求实数a的取值范围。

21.(12分)

已知函数f(x)＝xex－bxlnx－x2(b∈R)，其图象在点(1，f(1))处的切线斜率为2e－3。

(1)证明：当x>1时，f(x)>xex－x2＋1；

(2)若函数g(x)＝f(x)＋(4－a)x－1在定义域上无极值，求正整数a的最大值。

(二)选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题做答。如果多做，则按所做的第一题记分。

22.[选修4－4：坐标系与参数方程](10分)

如图，在极坐标系中，已知点M(2，0)，曲线C1是以极点O为圆心，以OM为半径的半圆，曲线C2是过极点且与曲线C1相切于点(2，)的圆。

(1)分别写出曲线C1，C2的极坐标方程；

(2)直线θ＝α(0<α<π，ρ∈R)与曲线C1，C2分别相交于点A，B(异于极点)，求△ABM面积的最大值。

23.[选修4－5：不等式选讲](10分)

已知函数f(x)＝|x＋m|－|x－2m|(m>0)的最大值为6。

(1)求m的值；

(2)若正数x，y，z满足x＋y＋z＝m，求证：。

绵阳市高中2019级第一次诊断性考试

理科数学参考答案及评分意见

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．

       CDBCC     AABDD    AD

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13．7         14．2                     15．                  16．[1，]

三、解答题：本大题共6小题，共70分．

17．解：（1）

． ………………………………………………4分

∵相邻对称轴间距离为，

∴函数的最小正周期，即，解得，

∴． …………………………………………………………6分

由，得()，

∴函数在 [0，]上的单调递增区间为[0，]．………………………8分

（2）将函数的图象向左平移个单位后得，

∵为偶函数，

∴，即， ……………………………………………10分

∴，即．

又，

∴．………………………………………………………………………12分

18．解：（1）∵①，

∴，即．

∵，∴．     …………………………………………………………2分

当时，．②

由①－②得，即．又，

∴数列是以首项为2，公比为3的等比数列．  ………………………… 5分

∴．………………………………………………………………… 6分

（2）由，…………………………………………………………7分

得①

②

由①－②，得，

．

∴ ．  …………………………………………………………12分

19．解：选择条件①： 由，得，

由正弦定理可得，.

∴，

∴，

∵，∴，

∴，又，∴．

选择条件②：由正弦定理可得，，

又，

∴，

化简整理得，

由，∴，

又，∴．

选择条件③：由已知得，，

由余弦定理，得，

∵，

∴，

∵，∴，

由正弦定理，有，

∵，∴.

又，∴．  …………………………………………………………4分

（1）证明：由正弦定理得，

      ∴，

      ∴，得证． ……………………………6分

（2）由AP=2PB及AB=3，可得PB=1，

在△PBC中，由余弦定理可得，

．………………………………………………………………9分

      ∵△ABC为锐角三角形，∴，即．

当时，取最大值为．

∴线段CP的长度的最大值为．    ………………………………………12分

20．解：（1）由题意得-(x-3a)(x+a)．…………………1分

当时，，[-4，2]．

 由，解得；

由，解得或．………………………………………3分

∴函数f(x)在区间(-3，1)上单调递增，在区间[-4，-3)，(1，2]单调递减．

又 ，

∴函数在区间[-4，2]上的最大值为0，最小值为． ………………6分

（2）存在实数m，使不等式的解集恰好为(m，+)，

等价于函数f(x)只有一个零点．

∵，

i)当a<0时，由，解得，

∴函数f(x)在区间(3a，-a)上单调递增；

由，解得或，

∴函数f(x)在区间(，3a)，(-a，)上单调递减．

又，

∴只需要f (-a)<0，解得-1<a<0．

∴实数a的取值范围为 -1<a<0．

ii)当a=0时，显然f(x)只有一个零点成立．…………………………………10分

   iii) 当a>0时，由，解得，

即f(x)在区间(-a， 3a)上单调递增；

由，解得或，

即函数f(x)在区间(，-a)，(3a，)上单调递减；

又，∴只需要f(3a)<0，解得．

综上：实数a的取值范围是．  ………………………………………12分

21．解：（1）由题意得．  …………………………1分

∵函数f(x)的图象在点(1，f(1))处的切线的斜率为2e-3，

∴，解得b=2． ………………………………………3分当x>1时，等价于，即．

令，

则．

∴函数在区间上单调递增，

∴，

∴当x>1时，． ……………………………………………6分

（2）由题得．

若g(x)=f(x)+(4-a)x-1无极值，则恒成立或恒成立．

i)当恒成立时，，

即．

令．

∴(x>0)．

令，则，

即在 (0，)上单调递增． ………………………………………………8分

又，

∴存在(，1)，使得．

∴当时，，即，

∴函数h(x)在区间单调递减．

当时，，即，

∴函数h(x)在区间单调递增．

∴函数h(x)的最小值为h(x0)=．………………………10分

又，即，

代入，得h(x0)==．

又(，1)，则h(x0)= =(3，)．

∴正整数a的最大值是5．

ii)当恒成立时，，

即，

又由（i）知， 函数h(x)在区间上单调递增，

∴函数h(x)不存在最大值．

综上：正整数a的最大值是5．   ………………………………………………12分

22．解：（1）曲线的极坐标方程为．  …………………………2分     

设P()为曲线上的任意一点，

∴．

 ∴曲线极坐标方程为． …………………………………5分

（2）∵直线与曲线，分别交于点A，B(异于极点)，

∴设B()，则A()．

由题意得，，

∴． ……………………………………………………7分

∵点M到直线AB的距离，

∴

．

∴△ABM的面积的最大值为．  ……………………………………………10分

23．解：（1）由题意得． ………3分

 ∵函数的最大值为6，

 ∴，即．

 ∵m>0，∴m=2.     ………………………………………………………………5分

（2）由（1）知，，∵x>0，y>0，z>0，

        ∴

 (当且仅当时，等号成立)．  …………………………8分

∴，

     ∴(当且仅当时，等号成立)．   ………………10分