人教A版 (2019)必修 第一册5.4 三角函数的图象与性质同步达标检测题

5.4.3　正切函数的性质与图象

基础过关练

题组一　正切(型)函数的定义域、值域

1.函数y=3tan的定义域是(　　)　　　　　 　　　　　 　　　　　

A. B.

C. D.

2.已知x∈[0,2π],则函数y=+的定义域为(　　)

A.  B.

C. D.

3.已知函数y=tan,x∈∪,则其值域为　　　　　　　　. 

4.已知函数y=-tan2x+4tan x+1,x∈,则其值域为　　　　. 

题组二　正切(型)函数的图象及其应用

5.函数y=tan在一个周期内的图象是(　　)

6.已知函数y=tan(2x+φ)的图象过点,则φ可以是(　　)

A.- B. C.- D.

7.根据正切函数的图象,写出使不等式3+tan 2x≥0成立的x的取值集合.

题组三　正切(型)函数的性质及其应用

8.函数y=tan 是(　　)

A.最小正周期为4π的奇函数

B.最小正周期为2π的奇函数

C.最小正周期为4π的偶函数

D.最小正周期为2π的偶函数

9.(2019江西景德镇一中高一期中)函数y=2tan3x-的图象的对称中心不可能是(　　)

A. B.

C. D.

10.函数y=2tan的一个单调递减区间是(　　)

A. B.

C. D.

11.下列正切值中,比tan的值大的是(　　)

A.tan B.tan

C.tan 35° D.tan(-142°)

12.已知函数f(x)=3tan.

(1)求f(x)的定义域、值域;

(2)探究f(x)的周期性、奇偶性、单调性和对称性.

能力提升练

题组一　正切(型)函数的定义域、值域

1.(2020北京西城高一上期末联考,)如果tan=0(x>0),那么x的最小值是　　　　. 

2.(2020吉林五地六校高一上期末,)函数y=的定义域是　　　　　　　. 

题组二　正切(型)函数的图象及其应用

3.()如图所示,函数y=cos x|tan x|0≤x<且x≠的图象是(　　)

4.(2019安徽宿州十三所重点中学高一期末联考,)函数y=|tan x|与直线y=1的两个相邻交点之间的距离是(　　)

A. B. C. D.π

5.(2020江西南昌八一中学、洪都中学等六校高一上期末联考,)设函数f(x)=(k∈Z),g(x)=sin|x|,则方程f(x)-g(x)=0在区间[-3π,3π]上的解的个数是(　易错　)

A.7 B.8 C.9 D.10

题组三　正切(型)函数的性质及其应用

6.(2019黑龙江哈尔滨三中高一上期末,)已知函数f(x)=tan ωx(0<ω<1)在区间上的最大值为,则ω=(　　)

A. B. C. D.

7.(2020河南鹤壁高级中学高一月考,)已知函数f(x)=mtan x-ksin x+2(m,k∈R),若f=1,则f=(　　)

A.1 B.-1 C.3 D.-3

8.(多选)()下列关于函数y=tan的说法正确的是(　　)

A.在区间上单调递增

B.最小正周期是π

C.图象关于点成中心对称

D.图象关于直线x=成轴对称

9.(2019天津一中高一上期末质量调查,)已知函数f(x)=asin x+btan x-1(a,b∈R),若f(-2)=2 018,则f(2)=　　　　. 

10.(2020广西柳铁一中高二期中,)若“∀x∈,tan x-1≤m”是真命题,则实数m的最小值为　　　　. 

11.(2019黑龙江双鸭山一中高一上期末,)tan≥的解集为　　　　　　　. 

12.(2020山西大同一中高一期末,)已知函数f(x)=tan(x+φ)的图象的一个对称中心为,则φ的值为　　　　. 

13.(2019浙江衢州五校高一期末,)已知函数f(x)=x2+2xtan θ-1,其中θ≠+kπ,k∈Z.

(1)当θ=-,x∈[-1,]时,求函数f(x)的最大值与最小值;

(2)若函数g(x)=为奇函数,求θ的值;

(3)求使y=f(x)在区间[-1,]上是单调函数的θ的取值范围.

答案全解全析

基础过关练

1.C　要使函数有意义,则2x+≠kπ+,k∈Z,

即x≠+,k∈Z,所以函数的定义域为,故选C.

2.C　由题意知∴函数的定义域为,故选C.

3.答案　∪[,+∞)

解析　∵x∈∪,

∴+∈∪.

令t=+,则y=tan t,t∈∪,其图象(实线部分)如图所示.

由图象可知所求函数的值域为∪[,+∞).

4.答案　[-4,4]

解析　∵-≤x≤,∴-1≤tan x≤1.

令tan x=t,则t∈[-1,1].

∴y=-t2+4t+1=-(t-2)2+5,t∈[-1,1].

易知函数在[-1,1]上单调递增,

∴当t=-1,即x=-时,ymin=-4,

当t=1,即x=时,ymax=4.

故所求函数的值域为[-4,4].

5.A　当x=时,tan=0,故排除C,D;当x=时,tan=tan,无意义,故排除B.故选A.

6.A　因为函数y=tan(2x+φ)的图象过点,所以0=tan,

所以tan=0,

所以+φ=kπ(k∈Z),即φ=-+kπ(k∈Z),所以φ可以是-,故选A.

7.解析　如图所示,在同一平面直角坐标系中画出函数y=tan x,x∈的图象和直线y=-.

由图得,在区间内,不等式tan x≥-的解集是,

∴在函数y=tan x的定义域xx≠kπ+,k∈Z内,不等式tan x≥-的解集是.

令kπ-≤2x<kπ+(k∈Z),得-≤x<+(k∈Z),

∴使不等式3+tan 2x≥0成立的x的取值集合是.

8.B　 该函数为奇函数,其最小正周期为2π.故选B.

9.D　对于函数y=2tan,令3x-=,k∈Z,得x=+,k∈Z,

所以函数y=2tan的图象的对称中心为,k∈Z,

取k=0,得对称中心为;

取k=-20,得对称中心为;

取k=7,得对称中心为.故对称中心不可能是.

10.C　 y=2tan=-2tan.令-+kπ<2x-<+kπ,k∈Z,得-+<x<+,k∈Z.令k=1,得<x<,故选C.

11.D　 正切函数y=tan x在区间上单调递增,所以tan<tan,tan=tan<tan,tan 35°<tan 36°=tan,tan(-142°)=tan 38°>tan 36°=tan.故选D.

12.解析　(1)令x-≠+kπ,k∈Z,得x≠2kπ+,k∈Z,

∴f(x)的定义域为xx≠+2kπ,k∈Z,值域为R.

(2)f(x)为周期函数,由于f(x)=3tan=3tan=3tan=f(x+2π),

∴f(x)的最小正周期T=2π.易知f(x)的定义域不关于原点对称,故f(x)为非奇非偶函数.

令-+kπ<x-<+kπ,k∈Z,得-+2kπ<x<+2kπ,k∈Z,

∴函数f(x)的单调递增区间为,k∈Z,无单调递减区间.

令x-=(k∈Z),得x=kπ+(k∈Z),∴函数f(x)的图象的对称中心是(k∈Z).

能力提升练

1.答案　

解析　由tan=0可得x+=kπ(k∈Z),则x=kπ-(k∈Z),

由于x>0,故取k=1,可得x的最小值为.

2.答案　

解析　要使函数有意义,必须lotan x≥0,即lotan x≥lo1,

∴0<tan x≤1,∴kπ<x≤kπ+,k∈Z,

∴该函数的定义域是xkπ<x≤kπ+,k∈Z.

3.C　当0≤x<时,y=cos xtan x=sin x≥0,排除B,D;当<x<π时,y=-cos xtan x=-sin x<0,排除A.

故选C.

4.C　因为函数y=|tan x|的最小正周期为π,且由|tan x|=1可得x=kπ±(k∈Z),

所以函数y=|tan x|与直线y=1的两个相邻交点之间的距离为函数y=|tan x|的半个周期,即.

5.A　在同一平面直角坐标系中作出函数f(x)与g(x)在区间[-3π,3π]上的图象,如图所示.由图形知:f(x)-g(x)=0在[-3π,3π]上解的个数为7,故选A.

陷阱分析　作图时要注意到当0<x<时,sin x<tan x,此时正弦曲线与正切曲线没有交点,解题时要避免因作图不准导致解题错误.

6.A　因为x∈,且0<ω<1,

所以0≤ωx≤<,

所以f(x)max=tan==tan,

所以=,解得ω=.

7.C　∵f(x)=mtan x-ksin x+2(m,k∈R), f=1,∴f=mtan-ksin+2=m-k+2=1,

∴m-k=-1,

∴f=mtan-ksin+2=-m+k+2=3.

8.BC　令kπ-<x+<kπ+,k∈Z,得kπ-<x<kπ+,k∈Z,显然不满足上述关系式,故A中说法错误;显然该函数的最小正周期为π,故B中说法正确;令x+=,k∈Z,得x=-,k∈Z,当k=1时,得x=,故C中说法正确;正切曲线没有对称轴,因此函数y=tan的图象也没有对称轴,故D中说法错误.故选BC.

9.答案　-2 020

解析　根据题意,函数f(x)=asin x+btan x-1,设g(x)=f(x)+1=asin x+btan x,

则g(-x)=asin(-x)+btan(-x)=-(asin x+btan x)=-g(x),

则函数g(x)为奇函数,

则g(2)+g(-2)=f(2)+1+f(-2)+1=0,

又由f(-2)=2 018,得f(2)=-2 020.

故答案为-2 020.

10.答案　0

解析　由x∈,可得tan x-1≤0,所以由“∀x∈,tan x-1≤m”是真命题可得m≥0,即m的最小值为0.

11.答案　

解析　由题可得kπ+≤2x+<kπ+,k∈Z,

所以kπ≤2x<kπ+,k∈Z,

所以≤x<+,k∈Z.

所以不等式的解集为x≤x<+,k∈Z.

12.答案　-或

解析　因为是函数f(x)的图象的一个对称中心,所以+φ=,k∈Z,所以φ=-,k∈Z,由于|φ|<,故取k=0或k=1,得φ=-或φ=.

13.解析　(1)当θ=-时, f(x)=x2-x-1=-.

∵x∈[-1,],且f(x)的图象开口向上,

∴当x=时, f(x)min=-;

当x=-1时,f(x)max=.

(2)由题可知g(x)=x-+2tan θ,

∵g(x)为奇函数,

∴0=g(-x)+g(x)=-x++2tan θ+x-+2tan θ=4tan θ,

∴tan θ=0,∴θ=kπ,k∈Z.

(3)函数f(x)的图象的对称轴为直线x=-tan θ.

∵f(x)在区间[-1,]上是单调函数,

∴-tan θ≥或-tan θ≤-1,即tan θ≤-或tan θ≥1,

∴-+kπ<θ≤-+kπ或+kπ≤θ<+kπ,k∈Z,

故θ的取值范围是-+kπ,-+kπ∪+kπ,+kπ,k∈Z.