2020-2021学年8.2 立体图形的直观图教课内容课件ppt

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远处的东西画小,方形四角的饭桌画成梯形的,圆盘画成椭圆形的,自古至今如此.有在人物画的角落画这种饭桌的,也有在一幅画中将左看的形状与右看的形状掺杂着一起画的,这种画与其称之为原始的,不如说是“朴素的透视画”.
知识点一、水平放置的平面图形的直观图画法用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤
微练习(1)已知在平面直角坐标系中,一个平面图形上的一条线段AB的实际长度为4 cm,若AB∥x轴,则画出直观图后对应线段A'B'=　　cm,若AB∥y轴,则画出直观图后对应线段A'B'=　　 cm. 答案:4　2(2)判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”.①相等的角,在直观图中仍相等.(　　)②长度相等的线段,在直观图中长度仍相等.(　　)③若两条线段平行,则在直观图中对应的线段仍平行.(　　)④若两条线段垂直,则在直观图中对应的线段也互相垂直.(　　)答案:①×　②×　③√　④×
知识点二、空间几何体的直观图画法画几何体的直观图时,与画平面图形的直观图相比,只是多画一个与x轴,y轴都垂直的z轴,并且使平行于z轴的线段的平行性和长度都不变.名师点析 画空间几何体的直观图的四个步骤(1)画轴.通常以高所在直线为z轴建系.(2)画底面.根据平面图形的直观图画法确定底面.(3)画侧棱.利用与z轴平行或在z轴上的线段确定有关侧棱.(4)连线成图.画图完成后,擦除辅助线,看得见的地方用实线,被遮挡的部分用虚线(或不画),就得到了几何体的直观图.
微练习用斜二测画法画长、宽、高分别为2 cm、 cm、1 cm的长方体ABCD-A'B'C'D'的直观图.
画法(1)画轴.如图,画x轴、y轴、z轴,三轴相交于点O,使∠xOy=45°,∠xOz=90°.
(2)画底面.以点O为中点,在x轴上取线段MN,使MN=2 cm;在y轴上取线段PQ,使PQ= cm.分别过点M和N作y轴的平行线,过点P和Q作x轴的平行线,设它们的交点分别为A,B,C,D,四边形ABCD就是长方体的底面ABCD.(3)画侧棱.过A,B,C,D各点分别作z轴的平行线,并在这些平行线上分别截取1 cm长的线段AA',BB',CC',DD'.(4)成图.顺次连接A',B',C',D',并加以整理(去掉辅助线,将被遮挡的部分改为虚线),就得到长方体的直观图.
画水平放置的平面图形的直观图例1如图,画出水平放置的等腰梯形的直观图.分析建系→定点→连线成图
画法(1)如图①,取AB所在直线为x轴,AB中点O为原点,建立平面直角坐标系,画对应的坐标系x'O'y',使∠x'O'y'=45°.(2)在图②中,以点O'为中点在x'轴上取A'B'=AB,在y'轴上取O'E'= OE,以E'为中点画C'D'∥x'轴,并使C'D'=CD.(3)连接B'C',D'A',并擦去辅助线x'轴和y'轴,所得的四边形A'B'C'D'就是水平放置的等腰梯形ABCD的直观图(如图③).
反思感悟 画水平放置的平面图形的直观图的技巧(1)在画水平放置的平面图形的直观图时,选取适当的坐标系是关键,一般要使得平面多边形尽可能多的顶点在坐标轴上,以便于画点.(2)画平面图形的直观图,首先画与坐标轴平行的线段(平行性不变),与坐标轴不平行的线段通过与坐标轴平行的线段确定它的两个端点,然后连接成线段.
延伸探究 把本例图形换成右图,试画出该图的直观图.
画法(1)在已知的直角梯形ABCD中,以底边AB所在直线为x轴,垂直于AB的腰AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系.如图①.(2)画相应的x'轴和y'轴,使∠x'O'y'=45°,在x'轴上取O'B'=AB,在y'轴上取O'D'= AD,过D'作x'轴的平行线l,在l上沿x'轴正方向取点C'使得D'C'=DC.如图②.(3)连接B'C',所得四边形O'B'C'D'就是直角梯形ABCD的直观图.如图③.
画空间几何体的直观图例2用斜二测画法画出六棱锥P-ABCDEF的直观图,其中底面ABCDEF为正六边形,点P在底面的投影是正六边形的中心O(尺寸自定).分析画轴→画底面→画顶点→成图画法(1)画出六棱锥P-ABCDEF的底面.如图①所示,在正六边形ABCDEF中,取AD所在的直线为x轴,对称轴MN为y轴,两轴相交于点O.
(2)画相应的x'轴、y'轴和z'轴,三轴相交于点O',使∠x'O'y'=45°,∠x'O'z'=90°;在图②中,以O'为中点,在x'轴上取A'D'=AD,在y'轴上取M'N'= MN;以点N'为中点画B'C'平行于x'轴,且等于BC;再以点M'为中点画E'F'平行于x'轴,且等于EF;连接A'B',C'D',D'E',F'A',得正六边形ABCDEF水平放置的直观图A'B'C'D'E'F'.(3)画正六棱锥P-ABCDEF的顶点.在z'轴上取点P',使P'O'=PO.(4)成图.连接P'A',P'B',P'C',P'D',P'E',P'F',并进行整理,便得到六棱锥P-ABCDEF的直观图P'-A'B'C'D'E'F',如图③所示.
反思感悟 利用斜二测画法画几何体的直观图应遵循的基本原则(1)画几何体的直观图在要求不太严格的情况下,长度和角度可适当选取.为了增强立体感,被挡住的部分通常用虚线表示.(2)画法规则可简记为:两轴夹角为45°,竖轴垂直仍不变,平行不变,长度横竖不变,纵折半.(3)画空间几何体的直观图,要注意选取适当的坐标原点,建立坐标系画出坐标轴.
变式训练1用斜二测画法画出底面为正方形的四棱台的直观图,其中上、下底面边长分别为2,3,高为2.画法(1)画轴.画x轴、y轴、z轴,三轴相交于点O,使∠xOy=45°,∠xOz=90°.(2)画下底面.以O为中心,在x轴上取线段MN,使MN=3,在y轴上取线段PQ,使PQ=1.5.分别过点M和点N作y轴的平行线,过点P和点Q作x轴的平行线,设它们的交点分别为A,B,C,D,则四边形ABCD即为四棱台的下底面.(3)画上底面.在z轴上取一点O',使OO'=2,以O'为原点画直线a和直线b,使直线a∥x轴,直线b∥y轴,在平面aO'b内以O'为中心画水平放置的边长为2的正方形的直观图A'B'C'D'.
(4)连线.被遮挡的线画成虚线(如图①),擦去辅助线并整理就得到四棱台的直观图(如图②).
直观图的还原与计算问题例3如图,梯形A1B1C1D1是一平面图形ABCD的直观图.若A1D1∥O'y',A1B1∥C1D1,A1B1= C1D1=2,A1D1=O'D1=1.试画出原四边形的形状,并求原图形的面积.分析解答本题可先由斜二测画法的逆步骤来作图,先确定点,再连线画出原图,然后进行计算.
画法如图,建立平面直角坐标系xOy,在x轴上截取OD=O'D1=1,OC=O'C1=2.在过点D的y轴的平行线上截取DA=2D1A1=2.在过点A的x轴的平行线上截取AB=A1B1=2.连接BC,即得到了原图形(如图).由作法可知,原四边形ABCD是直角梯形,上、下底长度分别为AB=2,CD=3,直角腰长度为AD=2.故面积为
反思感悟 直观图的还原技巧(1)由直观图还原为原图形是画直观图的逆过程:一是在直观图中建立坐标系x'O'y',使∠x'O'y'=45°,对应地建立直角坐标系xOy;二是平行x'轴的线段长度不变,平行y'轴的线段扩大为原来的2倍;三是对于相邻两边不与x',y'轴平行的顶点可通过作x'轴、y'轴的平行线变换确定其在xOy中的位置.还原时,要注意坐标系变化前后变化的量与不变的量,计算时要结合两个坐标轴确定数据.(2)原图形的面积S原与直观图的面积S直观有如下关系:
变式训练2如图,在直观图中,四边形O'A'B'C'为菱形且边长为2 cm,则在xOy坐标中原四边形OABC为　　　　　(填形状),面积为　　　　　 cm2. 
解析:由题意,结合斜二测画法可知,四边形OABC为矩形,且OA=2 cm,OC=4 cm,所以四边形OABC的面积S=2×4=8(cm2).答案:矩形　8
水平放置的平面图形的直观图画法典例如图所示,在平面直角坐标系中,已知O(0,0),A(1,3),B(3,1),C(4,6),D(2,5).试用斜二测画法画出四边形ABCD的直观图.
画法(1)先画x'轴和y'轴,使∠x'O'y'=45°,如图①.(2)在原图中作AE⊥x轴,垂足为E(1,0).(3)在x'轴上截取O'E'=OE,作A'E'∥y'轴,截取E'A'=1.5.(4)同理确定点B',C',D',其中B'G'=0.5,C'H'=3,D'F'=2.5.(5)连线成图(去掉辅助线),如图②,即为四边形ABCD的直观图.
方法点睛利用斜二测画法画直观图时应注意(1)在已知图形中x轴,y轴的选取,应尽可能多地使图形的点落在坐标轴上,有的点不满足时应作辅助线,与x轴,y轴垂直的线段是最常用的辅助线.(2)垂直于x轴,y轴的线段在坐标系x'O'y'下的长度变化切勿混淆.
1.如图,已知等腰三角形ABC,则下图所示的四个图形中,可能是△ABC的直观图的是(　　)
A.①②B.②③C.②④D.③④
解析:当∠x'O'y'=135°时,其直观图是③;当∠x'O'y'=45°时,其直观图是④.答案:D
2.利用斜二测画法画一个水平放置的平行四边形的直观图,得到的直观图是一个边长为1的正方形(如图),则原图形的形状是(　　)
解析:因为直观图中正方形的对角线为 ,所以在平面图形中平行四边形的高为2 ,只有A项满足条件,故A正确.答案:A
3.(2020天津一中检测)已知正三角形ABC的边长为a,那么△ABC的平面直观图△A'B'C'的面积为(　　)