人教A版 (2019)必修 第二册第六章 平面向量及其应用6.1 平面向量的概念示范课课件ppt

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你昨天听天气预报了吗?今天白天的天气情况如何?温度15~32 ℃,东南风3~4级.天气情况中涉及两个量:一个是温度,另一个是风力.前者在选定单位后,用一个实数就可以确切地表示;而后者则不同,除说明它的大小外,同时还必须说明它的方向.回顾学习数的概念我们可以从一支笔、一棵树、一本书……中抽象出只有大小的数量“1”.类似地,我们可以对力、位移……这些量进行抽象,形成一种新的量,即本节知识——向量.
知识点一、向量的概念1.向量:在数学中,我们把既有大小又有方向的量叫做向量.2.数量:把只有大小没有方向的量称为数量.名师点析 向量不能比较大小,这是因为向量是由大小和方向两方面确定的.向量的大小是代数特征,方向是几何特征.
微思考在物理上,位移和距离这两个量有什么不同?提示:位移既有大小又有方向,距离只有大小没有方向.
知识点二、向量的几何表示及相关概念2.有向线段的三个要素:起点、方向、长度.知道了有向线段的起点、方向和长度,它的终点就唯一确定了.4.长度为0的向量叫做零向量,记作0.5.长度等于1个单位长度的向量,叫做单位向量.6.向量也可以用字母a,b,c,…表示.
名师点析 (1)零向量的长度为0,方向不确定.(2)单位向量只规定了向量的大小(模长为1),并没有规定向量的方向,所以同一起点的单位向量有无数个,它们的终点构成一个单位圆.
微练习(1)下列说法正确的是(　　)A.身高是一个向量B.温度有零上温度和零下温度之分,故温度是向量C.有向线段由方向和长度两个要素确定(2)下列说法正确的是(　　)A.向量的模是一个正实数B.零向量没有方向C.单位向量的模等于1个单位长度D.零向量就是实数0
解析:(1)有向线段 的起点与终点互换,其方向相反,长度相等,故D项正确.(2)向量的模是一个非负实数;零向量的方向是任意的,但它不是实数0,故A,B,D均错,只有C项正确.答案:(1)D　(2)C
知识点三、相等向量与共线向量1.方向相同或相反的非零向量叫做平行向量.向量a,b平行,记作a∥b.平行向量也叫做共线向量.2.我们规定:零向量与任意向量平行,即对于任意向量a,都有0∥a.3.长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.两个向量a与b相等,记作a=b.名师点析 向量共线包括四种情况:方向相同,模相等;方向相同,模不等;方向相反,模相等;方向相反,模不等.
微练习下列说法正确的是(　　)A.所有单位向量都是相等向量B.与实数类似,对于两个向量a,b,有a=b,a>b,a平面向量的相关概念例1已知下列说法:①若|a|=0,则a为零向量;②若|a|=|b|,则a=b;③若a∥b,则|a|=|b|;④两个有共同起点,而且相等的向量,其终点必相同.其中正确的有(　　)A.1个B.2个C.3个D.4个解析:①正确;②由|a|=|b|得a与b的模相等,但不确定方向,故②错误;③错误;④正确.答案:B
反思感悟 明确向量及其相关概念的联系与区别(1)区分向量与数量.向量既强调大小,又强调方向,而数量只与大小有关.(2)明确向量与有向线段的区别.有向线段有三要素,起点、方向、长度.只要起点不同,另外两个要素相同也不是同一条有向线段,但决定向量的要素只有两个,大小和方向,与表示向量的有向线段的起点无关.(3)零向量和单位向量都是通过模的大小来确定的,零向量的方向是任意的.(4)平行向量也叫共线向量,当两共线向量的方向相同且模相等时,两向量为相等向量.(5)向量之间不能比较大小,但它们的模可以比较大小.
变式训练1给出以下说法:①直角坐标平面上的x轴、y轴都是向量;②零向量的长度为零,方向是任意的;③若a,b都是单位向量,则a=b;④有向线段就是向量;⑤单位向量大于零向量.其中正确说法的序号是　　　 . 解析:直角坐标平面上的x轴、y轴是数轴,但不是向量,故①错误;由零向量的定义可知②正确;若a,b都是单位向量,则它们的模相等,但不一定方向相同,故③错误;有向线段可以用来表示向量,但它不是向量,故④错误;单位向量的模大于零向量的模,但不能说单位向量大于零向量,向量之间不能比较大小,故⑤错误.答案:②
平面向量的表示例2在如图所示的坐标纸上(每个小方格的边长均为1),用直尺和圆规画出下列向量:
分析先确定起点,再根据大小和方向确定出终点,即可画出向量.
反思感悟 向量的表示方法(1)几何法:准确画出向量的方法是先确定向量的起点,再确定向量的方向,最后根据向量的大小确定向量的终点.(2)字母法表示向量的注意事项:在书写字母表示向量时不要忘记字母上的箭头.
变式训练2如图,B,C是线段AD的三等分点,分别以图中各点为起点和终点,可以写出　　　　　个向量. 解析:由向量的几何表示可知,可以写出12个向量,它们分别是答案:12
寻找相等向量和共线向量例3如图所示,四边形ABCD为边长为3的正方形,把各边三等分后,共有16个交点,从中选取两个交点作为向量的起点和终点,则与 平行且长度为2 的向量有哪些?(在图中标出相关字母,写出这些向量)
分析所求向量有以下两个特征:(1)表示此向量的有向线段所在直线与AC平行或重合.(2)长度等于边长为2的正方形的对角线的长度.
反思感悟 相等向量与共线向量的探求方法(1)寻找相等向量:先找与已知向量长度相等的向量,再确定哪些与已知向量同向.(2)寻找共线向量:先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段,再构造同向与反向的向量,注意不要漏掉以表示已知向量的有向线段的终点为起点,起点为终点的向量.
数形结合思想在向量中的应用典例已知A1,A2,…,A8是圆O的八个等分点,则在以A1,A2,…,A8以及圆心这九个点中的任意两点为起点与终点的向量中,模等于半径长的向量有多少个?模等于半径长的 倍的向量有多少个?
(2)以A1,A2,…,A8的一部分点为顶点的圆O的内接正方形有两个,一个是正方形A1A3A5A7,另一个是正方形A2A4A6A8.在所有的向量中,只有这两个正方形的边(看成有向线段,每一边对应两个向量)的长度为半径长的 倍,所以模为半径长的 倍的向量共有4×2×2=16(个).
1.下列各量中是向量的是(　　)A.时间B.速度 C.面积D.长度解析:速度既有大小又有方向,是向量,其余均是数量.答案:B2.给出以下说法:①零向量的长度为零,方向是任意的;②共线向量是在同一条直线上的向量;③向量 相等;④若两个向量是相等向量,则它们一定是共线向量.其中正确说法的序号是(　　)A.①④B.②C.①③④D.②③解析:根据零向量的定义可知①正确;共线向量可以是在同一条直线上的向量,也可以是所在直线互相平行的向量,故②错误;向量 模相等,方向相反,故③错误.④显然正确,故选A.答案:A
5.如图,在正方形ABCD中,M,N分别为AB和CD的中点,在以A,B,C,D,M,N为起点与终点的所有有向线段表示的向量中,相等的非零向量共有多少对?