高中人教A版 (2019)10.2 事件的相互独立性同步测试题

10.2　事件的相互独立性

基础过关练　　　　　　 　　　　　 　　　　　

题组一　相互独立事件的判断

1.(2020山西太原五中高一期末)下列各对事件中,A,B是相互独立事件的是(　　)

A.一枚硬币掷两次,A表示“第一次为正面”,B表示“第二次为反面”

B.袋中有2个白球,2个黑球,除颜色外完全相同,不放回地摸球两次,每次摸出一球,A表示“第一次摸到白球”,B表示“第二次摸到白球”

C.掷一枚质地均匀的骰子一次,A表示“出现的点数为奇数”,B表示“出现的点数为偶数”

D.A表示“一个灯泡能用1 000小时”,B表示“一个灯泡能用2 000小时”

2.若P(AB)=,P()=,P(B)=,则事件A与B的关系是(　　)

A.事件A与B互斥

B.事件A与B对立

C.事件A与B相互独立

D.事件A与B既互斥又独立

3.(2020山东济南历城二中高一下检测)袋内有3个白球和2个黑球,从中有放回地摸球,用A表示“第一次摸到白球”,如果“第二次摸到白球”记为B,“第二次摸到黑球”记为C,那么事件A与B,A与C间的关系是

(深度解析)

A.A与B,A与C均相互独立

B.A 与B相互独立,A与C互斥

C.A与B,A与C均互斥

D.A与B互斥,A与C相互独立

4.已知A,B是两个相互独立事件,P(A),P(B)分别表示它们发生的概率,则1-P(A)P(B)表示的是(　　)

A.事件A,B同时发生的概率

B.事件A,B至少有一个发生的概率

C.事件A,B至多有一个发生的概率

D.事件A,B都不发生的概率

5.掷一枚骰子一次,记A表示事件“出现偶数点”,B表示事件“出现3点或6点”,则事件A与B的关系是(　　)

A.互斥事件

B.相互独立事件

C.既互斥又相互独立事件

D.既不互斥又不相互独立事件

题组二　相互独立事件的概率计算

6.若A,B是相互独立事件,且P(A)=,P(B)=,则P(A)=(　　)

A. B. C. D.

7.在某段时间内,甲地下雨的概率为0.3,乙地下雨的概率为0.4,假设在这段时间内两地是否下雨之间没有影响,则这段时间内,甲、乙两地都不下雨的概率为(　　)

A.0.12 B.0.88 C.0.28 D.0.42

8.(2020贵州贵阳一中高一期末)袋中装有红、黄、蓝3种颜色的球各1个,这些球除颜色外完全相同,从中每次任取1个,有放回地抽取3次,则3次全是红球的概率为(　　)

A.  B. C. D.

9.如图所示,A,B,C表示3个开关,若在某段时间内,它们正常工作的概率分别为0.9,0.8,0.8,则该系统的可靠性(3个开关只要一个开关正常工作即可靠)为(　　)

A.0.504 B.0.994 C.0.996 D.0.964

10.甲和乙两人各投篮一次,已知甲投中的概率是0.8,乙投中的概率是0.6,则恰有一人投中的概率为(　　)

A.0.44 B.0.48 C.0.88 D.0.98

11.某自助银行设有两台ATM机,在某一时刻这两台ATM机被占用的概率分别为,,则客户此刻到达需要等待的概率为　　　　. 

12.在某校运动会中,甲、乙、丙三支足球队进行单循环赛(即每两队比赛一场),共赛三场,每场比赛胜者得3分,负者得0分,没有平局.在每一场比赛中,甲胜乙的概率为,甲胜丙的概率为,乙胜丙的概率为.

(1)求甲队获第一名且丙队获第二名的概率;

(2)求在该次比赛中甲队至少得3分的概率.

能力提升练

题组　相互独立事件的概率计算　　　　　　 　　　　　 　　　　　

1.()甲、乙两队进行排球决赛,现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军,乙队需要再赢两局才能得冠军.若两队胜每局的概率相同,则甲队获得冠军的概率为(　　)

A. B. C. D.

2.()同时转动如图所示的两个转盘,记转盘甲得到的数为x,转盘乙得到的数为y(若指针停在边界上则重新转),x,y构成数对(x,y),则所有数对(x,y)中满足xy=4的概率为(　　)

甲　　　　　　　　乙

A. B. C. D.

3.(2020福建福州第一中学高一期末,)某校在秋季运动会中安排了篮球投篮比赛,现有20名同学参加篮球投篮比赛,已知每名同学投进的概率均为0.4,每名同学有2次投篮机会,且各同学投篮之间没有影响,现规定:投进两个得4分,投进一个得2分,一个未进得0分,则其中一名同学得2分的概率为(　　)

A.0.5 B.0.48 C.0.4 D.0.32

4.(多选)(2020湖北武汉二中高一期末,)如图所示的电路中,5个盒子表示保险匣,设5个盒子分别被断开为事件A,B,C,D,E.盒中所示数值表示通电时保险丝被切断的概率,下列结论正确的是(　　)

A.A,B两个盒子串联后畅通的概率为

B.D,E两个盒子并联后畅通的概率为

C.A,B,C三个盒子混联后畅通的概率为

D.当开关合上时,整个电路畅通的概率为

5.(2020广东执信中学高一月考,)一道数学竞赛试题,甲同学解出它的概率为,乙同学解出它的概率为,丙同学解出它的概率为,由甲、乙、丙三人独立解答此题,则只有一人解出的概率为　　　　. 

6.()设甲、乙、丙三台机器是否需要被照顾相互之间没有影响,已知在某一小时内,甲、乙都需要被照顾的概率为0.05,甲、丙都需要被照顾的概率为0.1,乙、丙都需要被照顾的概率为0.125,则甲、乙、丙三台机器在这一小时内需要被照顾的概率分别为　　　,　　　,　　　.深度解析 

7.(2020辽宁省实验中学高一月考,)某田径队有三名短跑运动员,根据平时训练情况统计甲、乙、丙三人100米跑(互不影响)的成绩在13 s内(称为合格)的概率分别为,,,若对这三名短跑运动员的100米跑的成绩进行分析,求:

(1)三人都合格的概率;

(2)三人都不合格的概率;

(3)出现几人合格的概率最大.深度解析

8.()某公司招聘员工,指定三门考试课程,有两种考试方案.

方案一:考三门课程,至少有两门及格为考试通过.

方案二:在三门课程中随机选取两门,这两门都及格为考试通过.

假设某应聘者三门指定课程考试及格的概率分别为0.5,0.6,0.9,且三门课程考试是否及格相互之间没有影响.求:

(1)该应聘者用方案一考试通过的概率;

(2)该应聘者用方案二考试通过的概率.

答案全解全析

基础过关练

1.A　在A中,把一枚硬币掷两次,对于每次而言是相互独立的,其结果不受先后影响,故A中两事件是相互独立事件;在B中,显然事件A与事件B不相互独立;在C中,A,B为互斥事件,不相互独立;在D中,事件B受事件A的影响,A不发生则B一定不发生,故事件A与事件B不相互独立.

2.C　∵P()=,∴P(A)=1-P()=1-=,∴P(AB)=P(A)P(B)=≠0,

∴事件A与B相互独立且事件A与B不是互斥,也不是对立事件.

3.A　由于摸球是有放回的,所以第一次摸球的结果对第二次摸球的结果没有影响,故事件A与B,A与C均相互独立.因为A与B,A与C均有可能同时发生,所以A与B,A与C均不互斥,故选A.

方法技巧

互斥事件、对立事件、相互独立事件的关系:

1.互斥事件A,B不可能同时发生,但可能同时不发生.

2.对立事件必有一个发生一个不发生.对立事件A,B中,A+B为一个必然事件.

3.两个相互独立的事件既可以同时发生,也可以同时不发生,或一个发生另一个不发生.相互独立事件A,B同时发生记作“A∩B”或“AB”(又称积事件).

4.相互独立事件和互斥事件是两个不同的概念,它们之间没有直接关系.

4.C　由题意知,P(A)P(B)是指A,B同时发生的概率,故1-P(A)P(B)是指A,B不同时发生的概率,即至多有一个发生的概率.

5.B　因为该试验的样本空间Ω={1,2,3,4,5,6},A={2,4,6},B={3,6},AB={6},所以P(A)=,P(B)=,P(AB)==×=P(A)P(B),所以A与B是相互独立事件.因为事件A与事件B包含一个共同事件:出现6点,所以事件A与事件B不互斥.故选B.

6.A　∵A,B是相互独立事件,∴A与也是相互独立事件,

∵P(A)=,P(B)=,

∴P(A)=P(A)·P()=×=.故选A.

7.D　甲、乙两地都不下雨的概率为(1-0.3)×(1-0.4)=0.42.

8.D　有放回地抽取3次,每次可看作一个独立事件.每次取出的球为红球的概率为,“3次全是红球”为三个独立事件同时发生,其概率为××=.

9.C　由题意知,所求概率为1-(1-0.9)(1-0.8)(1-0.8)=1-0.004=0.996.

10.A　设事件A=“甲投中”,事件B=“乙投中”,则P(A)=0.8,P(B)=0.6,所以恰有一人投中的概率为P(A+B)=P(A)+P(B)=P(A)P()+P()P(B)=0.8×0.4+0.2×0.6=0.44.

11.答案　

解析　客户需要等待意味着这两台ATM机同时被占用,故所求概率为×=.

12.解析　(1)甲队获第一名且丙队获第二名就是甲胜乙,甲胜丙且丙胜乙.各队比赛相互独立,设甲队获第一名且丙队获第二名为事件A,则P(A)=××=.

(2)甲队至少得3分有两种情况:甲队两场只胜一场;甲队两场都胜.设事件B为“甲队两场只胜一场”,事件C为“甲队两场都胜”,则事件“甲队至少得3分”为B∪C,所以P(B ∪C)=P(B)+P(C)=×+×+×=.

能力提升练

1.A　甲队获得冠军包含两种情况:第一种,比赛1局,且甲赢,其概率P1=;第二种,需比赛2局,第一局甲负,第二局甲赢,其概率P2=×=.故甲队获得冠军的概率为P1+P2=.

2.C　满足xy=4的所有可能如下:

x=1,y=4;x=2,y=2;x=4,y=1.

所以所求事件的概率P=P(x=1,y=4)+P(x=2,y=2)+P(x=4,y=1)=×+×+×=.

3.B　设事件A=“第一次投进球”,B=“第二次投进球”,则得2分的概率P=P(A)+P(B)=0.4×(1-0.4)+(1-0.4)×0.4=0.48.

4.ACD　由题意知,P(A)=,P(B)=,P(C)=,P(D)=,P(E)=,所以A,B两个盒子串联后畅通的概率为×=,因此A正确;D,E两个盒子并联后畅通的概率为1-×=1-=,因此B错误;A,B,C三个盒子混联后畅通的概率为1-×=1-=,C正确;当开关合上时,整个电路畅通的概率为×=,D正确.故选ACD.

5.答案　

解析　只有一人解出的概率P=××+××+××=.

6.答案　0.2;0.25;0.5

解析　记“机器甲需要被照顾”为事件A,“机器乙需要被照顾”为事件B,“机器丙需要被照顾”为事件C,由题意可知A,B,C是相互独立事件.

由题意得

解得

所以甲、乙、丙三台机器在这一小时内需要被照顾的概率分别为0.2,0.25,0.5.

方法技巧

对于相互独立事件的概率公式的逆用问题,仍按正向解决的原则进行解题,即可先设出一些未知量,再根据已知条件列出相应的方程(组),由方程(组)求出未知量的值,从而解决问题.

7.解析　设甲、乙、丙三人100米跑的成绩合格分别为事件A,B,C,显然事件A,B,C相互独立,且P(A)=,P(B)=,P(C)=.

设恰有k人合格的概率为Pk(k=0,1,2,3).

(1)三人都合格的概率为

P3=P(ABC)=P(A)P(B)P(C)=××=.

(2)三人都不合格的概率为

P0=P(　　)=P()P()P()=××=.

(3)恰有两人合格的概率为

P2=P(AB)+P(AC)+P(BC)=××+××+××=.

恰有一人合格的概率为

P1=1-P0-P2-P3=1---==.

综上可知,恰有一人合格的概率最大.

知识补充

已知A,B,C是相互独立事件,则P(ABC)=P(A)P(B)P(C),P()=P()·P()P(),P(BC)=P()P(B)P(C),P(C)=P()P()P(C),其中P()=1-P(A),P()=1-P(B),P()=1-P(C).

8.解析　记该应聘者三门指定课程考试及格的事件分别为A,B,C,则P(A)=0.5,P(B)=0.6,P(C)=0.9.

(1)应聘者用方案一考试通过的概率

P1=P(AB)+P(BC)+P(AC)+P(ABC)

=0.5×0.6×(1-0.9)+(1-0.5)×0.6×0.9+0.5×(1-0.6)×0.9+0.5×0.6×0.9=0.75.

(2)应聘者用方案二考试通过的概率

P2=P(AB)+P(BC)+P(AC)

=×0.5×0.6+×0.6×0.9+×0.5×0.9

=0.43.