数学第一章 空间向量与立体几何1.2 空间向量基本定理免费课时作业

1.2　空间向量基本定理

基础过关练

题组一　空间向量基本定理及相关概念的理解

1.设x=a+b,y=b+c,z=c+a,且{a,b,c}是空间的一个基底,给出下列向量组:①{a,b,x};②{x,y,z};③{b,c,z};④{x,y,a+b+c},则其中可以作为空间的基底的向量组有(深度解析)

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

2.若p:a,b,c是三个非零向量;q:{a,b,c}为空间的一个基底,则p是q的(　　)

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

3.已知{e1,e2,e3}为空间的一个基底,若a=e1+e2+e3,b=e1+e2-e3,c=e1-e2+e3,d=e1+2e2+3e3,且d=αa+βb+γc,则α,β,γ分别为　　　　. 

题组二　用空间的基底表示空间向量

4.在三棱柱A1B1C1-ABC中,D是四边形BB1C1C的中心,且=a,=b,=c,则=(深度解析)

A.a+b+c B.a-b+c

C.a+b-c D.-a+b+c

5.(2020广东汕头金山中学高二上期中)已知正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E为上底面A1C1的中心,若=+x+y,则x,y的值分别为(　　)

A.1,1 B.1, C., D.,1

6.已知PA⊥平面ABCD,四边形ABCD为正方形,G为△PDC的重心,=i,=j,=k,试用基底{i,j,k}表示,,.

题组三　利用空间向量基本定理解决几何问题

7.如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,点M,P,Q分别为棱AB,CD,BC的中点,平行六面体的各棱长均相等.给出下列结论:

①A1M∥D1P;

②A1M∥B1Q;

③A1M∥平面DCC1D1;

④A1M∥平面D1PQB1.

其中正确结论的个数为(　　)

A.1 B.2 C.3 D.4

8.(2020黑龙江省实验中学高二上期中) 如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,底面ABC为正三角形,侧棱垂直于底面,AB=4,AA1=6.若E是棱BB1的中点,则异面直线A1E与AC1所成角的余弦值为(　　)

A. B. C. D.

9.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O为AC与BD的交点,G为CC1的中点,求证:A1O⊥平面GBD.

10.如图所示,在平行四边形ABCD中,AD=4,CD=3,∠ADC=60°,PA⊥平面ABCD,PA=6,求线段PC的长.

能力提升练

题组一　利用基底表示空间向量

1.(2020安徽淮北一中高二上期中,)已知M、N分别是四面体OABC的棱OA,BC的中点,点P在线段MN上,且MP=2PN,设向量=a,=b,=c,则=(　　)

A.a+b+c B.a+b+c

C.a+b+c D.a+b+c

2.(2019北京第八十中学高二下月考,)已知空间的一个基底{a,b,c},m=a-b+c,n=xa+yb+c,若m,n共线,则x=　　　　,y=　　　　. 

3.(2020广东深圳实验学校高二上期中,)如图,在三棱锥O-ABC中,G是△ABC的重心(三条中线的交点),P是空间任意一点.

(1)用向量,,表示向量,并证明你的结论;

(2)设=x+y+z,x,y,z∈R,请写出点P在△ABC的内部(不包括边界)的充分必要条件(不必给出证明).

题组二　证明平行和垂直

4.(多选)()在三棱锥P-ABC中,三条侧棱PA,PB,PC两两垂直,且PA=PB=PC=3,G是△PAB的重心,E,F分别为BC,PB上的点,且BE∶EC=PF∶FB=1∶2,则下列说法正确的是(深度解析)

A.EG⊥PG B.EG⊥BC

C.FG∥BC D.FG⊥EF

5.(2020海南五指山农垦实验中学高二上期中,)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,侧面PAD⊥底面ABCD,且PA=PD=AD,若E、F分别为PC、BD的中点.求证:

(1)EF∥平面PAD;

(2)EF⊥平面PDC.(用向量方法证明)深度解析

6.(2020陕西西北大学附属中学高二上期中,)如图所示,已知四面体ABCD的棱长为1,点E,F,G分别是AB,AD,CD的中点,设=a,=b,=c,{a,b,c}为空间向量的一个基底,计算:

(1)·;(2)||.

7.(2020浙江余姚中学高二上期中,)在所有棱长均为2的三棱柱ABC-A1B1C1中,∠B1BC=60°,求证:

(1)AB1⊥BC;

(2)A1C⊥平面AB1C1.

题组三　求线段长度和两条异面直线所成角

8.(多选)()如图,一个结晶体的形状为平行六面体ABCD-A1B1C1D1,其中,以顶点A为端点的三条棱长均为6,且它们彼此的夹角都是60°,下列说法中正确的是(　　)

A.AC1=6

B.AC1⊥DB

C.向量与的夹角是60°

D.BD1与AC所成角的余弦值为

9.(2020浙江杭州学军中学高二上期中,)棱长为a的正四面体ABCD中,E,F分别为棱AD,BC的中点,则异面直线EF与AB所成角的大小是　　　　,线段EF的长度为　　　　. 

10.(2020天津一中高二期末,)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB=1,∠BCA=90°,棱AA1=2,点N为AA1的中点.

(1)求的模;

(2)求cos<,>的值.

答案全解全析

基础过关练

1.C　结合长方体,如图,可知向量a,b,x共面,x,y,z不共面,b,c,z不共面,x,y,a+b+c也不共面,故选C.

方法归纳　判断给出的某一个向量组中的三个向量能否作为基底,关键是要判断它们是否共面,如果从正面难以入手,常用反证法或借助一些常见的几何图形帮助我们进行判断.

2.B　空间不共面的三个向量可以作为空间的一个基底,若a,b,c是三个共面的非零向量,则{a,b,c}不能作为空间的一个基底;但若{a,b,c}为空间的一个基底,则a,b,c不共面,所以a,b,c是三个非零向量,所以p是q的必要不充分条件,故选B.

3.答案　,-1,-

解析　由题意得,a、b、c为三个不共面的向量,∴由空间向量基本定理可知必然存在唯一的有序实数组(α,β,γ),使d=αa+βb+γc.

∴d=α(e1+e2+e3)+β(e1+e2-e3)+γ(e1-e2+e3)=(α+β+γ)e1+(α+β-γ)e2+(α-β+γ)e3.

又∵d=e1+2e2+3e3,

∴⇒

4.D　=(+)=(++)=-a+b+c,故选D.

方法归纳　用基底表示向量的策略:(1)若基底确定,则充分利用向量加法、减法的三角形法则和平行四边形法则以及数乘向量的运算律表示向量;(2)若没有设定基底,首先选择基底,选择基底时,要尽量使所选的基向量能方便地表示其他向量,再就是看基向量的模及其夹角已知或易求.

5.C　=(+)=(+++)=++,所以x=,y=,故选C.

6.解析　如图所示,延长PG交CD于E,则E为CD的中点.

==×(+)

=(++++)

=(-k+i+j-k+j)

=i+j-k.

=+=++

=-i+k+i+j-k

=-i+j+k.

=+=i+

=i+j+k.

7.C　∵=+=+,=+=+,∴∥,从而A1M∥D1P,∵D1P⊂平面DCC1D1,A1M⊄平面DCC1D1,∴A1M∥平面DCC1D1,同理A1M∥平面D1PQB1,故①③④正确.又B1Q与D1P不平行,∴A1M与B1Q不平行,故②不正确.故选C.

8.A　设=a,=b,=c,则{a,b,c}构成空间的一个基底,

=+=a-c,

=+=b+c,

cos<,>=

===-,

所以异面直线A1E与AC1所成角的余弦值为.

9.证明　,,是三个不共面的向量,它们构成空间的一个基底{,,},

=-=(+)-,

=+=+,

=+=+,

·=·+=0,

·=·=0,

所以A1O⊥DG,A1O⊥BG,又DG,BG⊂平面GBD,BG∩DG=G,所以A1O⊥平面GBD.

10.解析　因为在平行四边形ABCD中,∠ADC=60°,所以∠BAD=120°,又PA⊥平面ABCD,所以PA⊥AB,PA⊥AD.因为=-=+-,

所以||==

=

=7,

即线段PC的长为7.

能力提升练

1.C　=+=×(+)+×=b+c+a,故选C.

2.答案　1;-1

解析　∵m,n共线,∴∃λ∈R,使m=λn,

∴a-b+c=λ(xa+yb+c),得

解得

3.解析　(1)=(++).

证明如下:

=+=+

=+×(+)

=+[(-)+(-)]

=(++).

(2)若=x+y+z,x,y,z∈R,则点P在△ABC的内部(不包括边界)的充分必要条件是:

x+y+z=1,且0<x<1,0<y<1,0<z<1.

4.ABD　如图,设=a,=b,=c,则{a,b,c}是空间的一个正交基底,

则a·b=a·c=b·c=0,取AB的中点H,则==×(a+b)=a+b,

=-=a+b-b-c=a-b-c,=c-b,

=-=a+b-b=a,=-=b-=-c-b,

∴·=0,A正确;·=0,B正确;≠λ(λ∈R),C不正确;·=0,D正确.故选ABD.

解题反思　本题在解决过程中,重点应用了以下知识点.

如图,△ABC中,若BD∶DC=λ∶μ,则=+.在分线段成比例的图形中,要注意这个公式的应用.

5.证明　(1)=-=(+)-=+(-)

=+=+,

所以向量,,共面,

又EF⊄平面PAD,DA,PD⊂平面PAD,

所以EF∥平面PAD.

(2)因为侧面PAD⊥底面ABCD,侧面PAD∩底面ABCD=AD,底面ABCD是正方形,所以CD⊥平面PAD,CD⊥PA.

设AD=1,则==+-2·,即1=+-2·,

所以·=0,

所以·=(+)·=·=0,·=(+)·=0,

所以EF⊥PD,EF⊥CD,由PD,CD⊂平面PCD,PD∩CD=D,可得EF⊥平面PCD.

解题反思　用向量方法证明线面平行或垂直,理论依据是线面平行的判定定理和线面垂直的判定定理,其中涉及的线线平行用共线向量证明,涉及的线线垂直用数量积为0证明.

6.解析　(1)由题意得|a|=|b|=|c|=1,a·b=a·c=b·c=,

∵=-=c-a,=-a,

∴·=·(-a)=-+=.

(2)∵=-=(b+c)-a,

∴==a2+b2+c2+b·c-b·a-a·c=,

∴||=.

7.证明　(1)易知<,>=120°,=+,则·=(+)·=·+·=2×2×+2×2×=0.

所以AB1⊥BC.

(2)易知四边形AA1C1C为菱形,所以A1C⊥AC1.因为·=(-)·(-)

=(-)·(--)

=·-·-·-·+·+·

=·-·-·+·

=2×2×-4-2×2×+4

=0,

所以AB1⊥A1C,又AC1∩AB1=A,所以A1C⊥平面AB1C1.

8.AB　因为以顶点A为端点的三条棱长均为6,且它们彼此的夹角都是60°,

所以·=·=·=6×6×cos 60°=18,

(++)2=+++2·+2·+2·

=36+36+36+3×2×18=216,

则||=|++|=6, 所以A正确;

·=(++)·(-)

=·-·+-·+·- =0,所以B正确;

显然△AA1D 为等边三角形,则∠AA1D=60°.

因为=,且向量与的夹角是120°,所以与的夹角是120°,所以C不正确;

因为=+-,=+ ,

所以||==6,||==6,

·=(+-)·(+)=36,

所以cos<,>===,所以D不正确.故选AB.

9.答案　;a

解析　设=a,=b,=c,则{a,b,c}是空间的一个基底,∴|a|=|b|=|c|=a,a·b=a·c=b·c=a2.

∵=-=(a+b)-c,

∴·=a2+a·b-a·c=a2,||==a,

∴cos<,>===,∴异面直线EF与AB所成的角为.

10.解析　(1)∵在直三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB=1,∠BCA=90°,

∴AB=,·=0,

=+=+,

故=

=+·+=2+×4=3,

∴||=.

(2)∵CA=CB=1,∠BCA=90°,

∴∠ABC=45°,

∴·=||·||cos(180°-∠ABC)=×1×cos 135°=-1,

又·=0,·=0,·=4,

∴·=(+)·(+)

=·+·+·+·

=-1+0+0+4=3,

又||||=×=,

∴cos<,>==.