人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.3 等比数列第1课时免费当堂达标检测题

4.3.2　等比数列的前n项和公式

第1课时　等比数列前n项和及其应用

基础过关练

题组一　求等比数列的前n项和

1.(2019北京西城高二期末)数列{an}的前n项和为Sn,且a1=3,an+1=2an(n∈N*),则S5=(　　)

A.32 B.48 C.62 D.93

2.在等比数列{an}中,a1=1,且=8,则S5=(　　)

A.31 B.32 C.63 D.64

3.设数列{(-1)n}的前n项和为Sn,则Sn=(　　)

A. B.

C. D.

4.等比数列1,x,x2,x3,…的前n项和Sn=(　　)

A. B.

C. D.

5.(2020天津津南高三上期末)在数列{an}中,a1=1,2an+1=an(n∈N*),记{an}的前n项和为Sn,则(　　)

A.Sn=2an-1 B.Sn=1-2an

C.Sn=an-2 D.Sn=2-an

6.(2020广西柳州高级中学高二上期末)在等比数列{an}中,公比q=,a2a4=2a5,则数列{an}的前5项和S5=　　　　. 

7.在等比数列{an}中,a2-a1=2,且2a2为3a1和a3的等差中项,求数列{an}的首项、公比及其前n项和.

8.已知等差数列{an}和等比数列{bn}满足a1=b1=1,a2+a4=10,b2b4=a5.

(1)求{an}的通项公式;

(2)求和:b1+b3+b5+…+b2n-1.

题组二　等比数列前n项和的应用

9.设正项等比数列{an}的前n项和为Sn,且S20=(210+1)S10,则数列{an}的公比为(　　)

A.4 B.2 C.1 D.

10.设等比数列{an}的前n项和为Sn,若S3+S6=S9,则公比q=(　　)

A.1或-1 B.1

C.-1 D.

11.(2020广东中山高二上期末统考)各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn,若a2=2,S6-S4=6a4,则a5=(　　)

A.4 B.10 C.16　 D.32

12.已知等比数列{an}的前n项和为Sn,a4-a1=78,S3=39,设bn=log3an,则数列{bn}的前10项和为(　　)

A.log371 B.

C.50 D.55

13.(2020天津耀华中学高二上期中)等比数列{an}中, Sn为其前n项和,若Sn=3×2n+a,则a=　　　　. 

14.(2020北京昌平高三上期末)各项均为正数的等比数列{an}中,a1=1,a2+a3=6,则=　　　　. 

15.(2020山东临沂罗庄高二上期末)记Sn为等比数列{an}的前n项和.若a1=1,S3=,则S4=　　　　. 

能力提升练

题组一　求等比数列的前n项和

1.(2020湖南师大附中高二期末,)已知{an}是等比数列,a2=2,a5=,则a1a2+a2a3+…+anan+1=(　　)

A.16(1-4-n) B.16(1-2-n)

C.(1-4-n) D.(1-2-n)

2.(2020天津滨海高二上期末,)数列1,1+2,1+2+22,…,1+2+22+…+2n-1,…的前n项和为Tn,则Tn=(　　)

A.2n+1-n B.2n+1-n-2 C.2n-n D.2n

3.(2020浙江杭州七校高二上联考,)在等比数列{an}中,已知a4=3a3,则+++…+=(　　)

A. B.

C. D.

4.(2020辽宁鞍山一中高二期中,)设f(n)=2+23+25+27+…+22n+7(n∈N*),则f(n)=(　易错　)

A.(4n-1) B.(4n+1-1)

C.(4n+3-1) D.(4n+4-1)

5.(2019重庆九校高二上联考,)已知数列{an+81}是公比为3的等比数列,若a1=-78,则数列{|an|}的前100项和S100=(　　)

A. B.

C. D.

6.(2020河北邢台高三上期末,)在等比数列{an}中,a1+a2=5,且a2+a3=20.

(1)求{an}的通项公式;

(2)求数列{3an+}的前n项和Sn.

7.(2020山东济宁高二上期末质量检测,)已知公差不为0的等差数列{an}的前n项和为Sn,且S4=20,a1,a2,a4成等比数列.

(1)求数列{an}的通项公式;

(2)设bn=(n∈N*),求数列{bn}的前n项和Tn.

题组二　等比数列前n项和的应用

8.(2020辽宁省实验中学高二上期中,)已知数列{an},{bn}满足a1=b1=1,an+1-an==2(n∈N*),则数列{}的前n项和为(　　)

A.(4n-1-1) B.(4n-1) C.(4n-1-1) D.(4n-1)

9.(2020江西新余一中高二上第二次段考,)数列{an}的通项公式为an=2n+1,其前n项和为Tn,若不等式nlog2(Tn+4)-λ(n+1)+7≥3n对任意n∈N*恒成立,则实数λ的取值范围为(　　)

A.λ≤3 B.λ≤4 C.2≤λ≤3 D.3≤λ≤4

10.(多选)(2020山东淄博高二上期末,)在递增的等比数列{an}中,已知公比为q,Sn是其前n项和,若a1a4=32,a2+a3=12,则下列说法正确的是(　　)

A.q=1      B.数列{Sn+2}是等比数列

C.S8=510   D.数列{lg an}是公差为2的等差数列

11.(2020北京西城高二上期末,)已知等比数列{an}的公比为2,且a3,a4+4,a5成等差数列.

(1)求{an}的通项公式;

(2)设{an}的前n项和为Sn,且Sn=62,求n的值.

答案全解全析

基础过关练

1.D　由a1=3,an+1=2an(n∈N*)可知,数列{an}是以3为首项,2为公比的等比数列,所以S5==93.故选D.

2.A　设等比数列{an}的公比为q,

∵=8,∴=q3=8,即q=2,

又a1=1,∴S5===31.

故选A.

3.D　易知数列{(-1)n}是首项为-1,公比为-1的等比数列,所以Sn==.故选D.

4.C　当x=1时,Sn=n;当x≠1且x≠0时,Sn=.∴Sn=

5.D　∵2an+1=an(n∈N*),∴an+1=an,

又a1=1,∴数列{an}是以1为首项,为公比的等比数列,∴an=,

∴Sn==2-=2-an.故选D.

6.答案　

解析　设等比数列{an}的首项为a1,

由a2a4=2a5,得q4=2a1q4,

又q=,a1≠0,∴a1=2,

∴S5==

=4=.

7.解析　设等比数列{an}的公比为q(q≠0).

由已知可得

即所以

解②得q=3或q=1.

由于a1(q-1)=2,因此q=1不合题意,舍去.所以公比q=3,首项a1=1.

所以数列{an}的前n项和Sn===(n∈N*).

8.解析　(1)设等差数列{an}的公差为d,

因为a2+a4=2a3=10,所以a3=5=1+2d,

所以d=2,所以an=2n-1(n∈N*).

(2)设{bn}的公比为q.

由b2b4=a5得q·q3=2×5-1,所以q2=3,

所以{b2n-1}是以b1=1为首项,q2=3为公比的等比数列,

所以b1+b3+b5+…+b2n-1==(n∈N*).

9.B　设等比数列{an}的首项为a1,公比为q,由题得q>0且q≠1,所以=(210+1)×,所以1-q20=(210+1)×(1-q10),所以1+q10=210+1,解得q=2或q=-2(舍去),故选B.

10.A　设等比数列{an}的首项为a1,由题意可知,当q=1时,S3+S6=S9,显然成立;当q≠1时,由S3+S6=S9得+=,化简得q9-q6-q3+1=0,解得q=-1.故选A.

11.C　设等比数列{an}的首项为a1,公比为q,由题知q>0,由S6-S4=6a4得,a6+a5=6a4,又a4≠0,∴q2+q-6=0,解得q=2或q=-3(舍去).∴a5=a2q3=2×23=16,故选C.

12.D　设等比数列{an}的公比为q,

由得

∴=2,即=2,

∴q-1=2,即q=3.

∴a1==3,∴an=3n,

∴bn=log3an=log33n=n,

∴数列{bn}是以b1=1为首项,1为公差的等差数列,其前10项和为=55.

13.答案　-3

解析　解法一:∵Sn=3×2n+a,

∴当n=1时,a1=S1=6+a;

当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(3×2n+a)-(3×2n-1+a)=3×2n-1,∴a2=6,a3=12.

又{an}是等比数列,∴=a1a3,

∴62=(6+a)×12,解得a=-3.

此时a1=3,符合an=3×2n-1,且{an}是等比数列.∴a=-3.

解法二:设等比数列{an}的首项为a1,公比为q,易知q≠1,由Sn=,设=A,则Sn=-Aqn+A,

又Sn=3×2n+a,∴a=-3.

14.答案　9

解析　设等比数列{an}的公比为q,且q>0,∵a1=1,a2+a3=a1q+a1q2=6,

∴q2+q-6=0,解得q=2或q=-3(舍去).

∴===1+q3=9.

15.答案　

解析　设等比数列的公比为q,由已知得S3=a1+a1q+a1q2=1+q+q2=,

即q2+q+=0,解得q=-,

所以S4===.

能力提升练

1.C　设等比数列{an}的公比为q.

解法一:∵a2=2,a5=,

∴∴

∴a1a2+a2a3+…+anan+1=q+q3+…+q2n-1=(q+q3+…+q2n-1)=(1-4-n).

解法二:同解法一得,a1=4,q=,

∴a1a2=4×2=8,∴数列{anan+1}是首项为8,公比为的等比数列,

∴a1a2+a2a3+…+anan+1==(1-4-n).

2.B　设该数列为{an},由已知得数列的通项公式为an==2n-1,则Tn=a1+a2+…+an=(2-1)+(22-1)+…+(2n-1)=2+22+…+2n-n=-n=2n+1-n-2.

3.D　设等比数列{an}的公比为q.

∵a4=3a3,∴q=3,

∴+++…+=q+q2+q3+…+qn===.

4.D　易知1,3,5,7,…是首项为1,公差为2的等差数列,设该数列为{am},则am=2m-1,设an=2n+7,即2m-1=2n+7,∴m=n+4,

∴f(n)是以2为首项,22=4为公比的等比数列的前n+4项的和,

∴f(n)==(4n+4-1),故选D.

易错警示　数列求和要弄清数列的特征,特别要注意数列的项数,如本题中求的不是前n项和,而是前n+4项和,解题时要防止项数弄错导致解题错误.

5.C　∵a1=-78,∴a1+81=3.

又∵数列{an+81}是公比为3的等比数列,

∴an+81=3×3n-1=3n,可得an=3n-81.

易得当n≤4时,an≤0,当n≥5时,an>0,

∴数列{|an|}的前100项和S100=|a1|+|a2|+|a3|+|a4|+a5+a6+…+a100=81-3+81-9+81-27+0+(35-81)+(36-81)+…+(3100-81)=204+-81×96=.

6.解析　(1)设等比数列{an}的公比为q,

因为q==4,

所以a1+a2=a1+4a1=5a1=5,即a1=1.

故an=4n-1.

(2)由(1)及题知,3an+=3·4n-1+2n-1,

所以Sn=3×+=4n-1+2n-1=4n+2n-2.

7.解析　(1)设等差数列{an}的公差为d(d≠0),

∵S4=20,a1,a2,a4成等比数列,

 ∴ 解得

∴an=a1+(n-1)d=2+(n-1)×2=2n(n∈N*).

(2)由(1)得,bn==22n=4n,

∴b1=4,==4,

∴数列{bn}是首项为4,公比为4的等比数列.

∴Tn===.

8.D　依题意得{an}是以a1=1为首项,2为公差的等差数列,{bn}是以b1=1为首项,2为公比的等比数列,∴an=1+2(n-1)=2n-1,bn=1×2n-1=2n-1,

∴=b2n-1=22n-2=4n-1.

∴{}是以1为首项,4为公比的等比数列,设其前n项和为Sn,

则Sn==(4n-1),故选D.

9.A　依题意得,Tn==2n+2-4,

∴不等式nlog2(Tn+4)-λ(n+1)+7≥3n可化为nlog22n+2-λ(n+1)+7≥3n,

即n2-n+7≥λ(n+1).

又n∈N*,∴λ≤对任意n∈N*恒成立.

只需满足λ≤即可.

设n+1=t,则t∈N*,t≥2,

∴λ≤=t+-3.

∵t+-3≥2-3=3,

当且仅当t=3,即n=2时等号成立,

∴=3.

∴λ≤3,故选A.

10.BC　∵∴

解得或

∵{an}为递增数列,∴

∴q==2,a1==2,

∴an=2n,Sn==2n+1-2,

∴S8=29-2=510,Sn+2=2n+1,∴数列{Sn+2}是等比数列,故A错误,B、C正确.

又lg an=lg 2n=n·lg 2,∴数列{lg an}是公差为lg 2的等差数列,故D错误.故选BC.

11.解析　(1)设等比数列{an}的首项为a1,公比为q,由题知q=2.

∴a3=a1q2=4a1,a4=a1q3=8a1,a5=a1q4=16a1,

依题意得2(a4+4)=a3+a5,

即2(8a1+4)=4a1+16a1,

解得a1=2.

所以数列{an}的通项公式为an=2n.

(2)依题意得,Sn=a1·=2×=2n+1-2,∴2n+1-2=62,

解得n=5,∴n的值是5.