高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.4* 数学归纳法免费当堂检测题

4.4*　数学归纳法

基础过关练

题组一　用数学归纳法证明等式

1.(2019福建莆田一中高二期中)用数学归纳法证明等式1+a+a2+…+an-1=(a≠1,n∈N*),在验证n=1成立时,等式左边需计算的项是(　　)

A.1 B.1+a

C.1+a+a2 D.1+a+a2+a3

2.用数学归纳法证明1+2+3+4+…+(2n-1)+2n=2n2+n(n∈N*),当n=k+1(k∈N*)时,等式左边应在n=k时的基础上加的项是(　　)

A.2k+1 B.2k+2

C.(2k+1)+(2k+2) D.1

3.用数学归纳法证明1-+-+…+-=++…+(n∈N*)时,第一步应验证的等式是　　　. 

4.(2019安徽亳州二中高二月考)用数学归纳法证明:

1+2+3+…+(n+3)=(n∈N*).

题组二　用数学归纳法证明不等式

5.用数学归纳法证明1+++…+<n(n∈N*,n>1)时,第一步应验证的不等式是(　　)

A.1+<2 B.1++<2 C.1++<3 D.1+++<4

6.用数学归纳法证明“2n>n2+1对于n≥n0的正整数n成立”时,第一步证明中的起始值n0应取(　　)

A.1 B.2 C.3 D.5

7.对于不等式≤n+1(n∈N*),某学生的证明过程如下:①当n=1时,≤1+1,不等式成立.

②假设当n=k(k∈N*)时,不等式成立,即≤k+1,则当n=k+1时,=<==(k+1)+1,所以当n=k+1时,不等式成立.上述证法中(　　)

A.过程全部正确

B.n=1验证不正确

C.归纳假设不正确

D.从n=k到n=k+1的推理不正确

8.已知数列{bn}的通项公式为bn=2n,求证:对任意的n∈N*,不等式··…·>都成立.

题组三　用数学归纳法解决归纳—猜想—证明问题

9.平面内有n个圆,其中每两个圆都相交于两点,且每三个圆都无公共点,用f(n)表示这n个圆把平面分割的区域数,那么f(n+1)与f(n)之间的关系为(　　)

A.f(n+1)=f(n)+n B.f(n+1)=f(n)+2n

C.f(n+1)=f(n)+n+1 D.f(n+1)=f(n)+n-1

10.如图为一个类似于杨辉三角的数阵,则第九行的第二个数为　　　　. 

1

3　3

5　6　5

7　11　11　7

9　18　22　18　9

……

11.(2020重庆七校联盟高二上期末联考)数列{an}满足Sn=2n-an(n∈N*).

(1)计算a1,a2,a3,a4,并由此猜想通项公式an;

(2)用数学归纳法证明(1)中的猜想.

能力提升练

题组一　用数学归纳法证明等式

1.(2019辽宁凤城一中高二月考,)用数学归纳法证明“1+2+3+…+n3=,n∈N*”的过程中,从n=k(k∈N*)到n=k+1时,等式左边应添加的项是(　　)

A.k3+1 　　B.(k+1)3

C.(k3+1)+(k3+2)+…+(k+1)3 　　D.

2.()观察下列等式:

1=1

2+3+4=9

3+4+5+6+7=25

4+5+6+7+8+9+10=49

……

按照以上式子的规律:

(1)写出第5个等式,并猜想第n(n∈N*)个等式;

(2)用数学归纳法证明上述所猜想的第n(n∈N*)个等式成立.

题组二　用数学归纳法证明不等式

3.()已知f(n)=1+++…+(n∈N*),用数学归纳法证明f(2n)>时,f(2k+1)-f(2k)=　　　　. 

4.(2019湖南长沙长郡中学调研,)已知正项数列{an}满足a1=1,an+1=(n∈N*).

(1)求数列{an}的通项公式;

(2)令bn=(n+1)an-nan+1,记数列{bn}的前n项和为Tn,求证:Tn<.

题组三　用数学归纳法解决归纳—猜想—证明问题

5.(2019山西大学附中高二月考,)用数学归纳法证明“5n-2n(n∈N*)能被3整除”的过程中,n=k+1时,为了使用假设,应将5k+1-2k+1变形为(　　)

A.5(5k-2k)+3×2k B.(5k-2k)+4×5k-2k

C.(5-2)(5k-2k) D.2(5k-2k)-3×5k

6.()已知数列{an}的前n项和为Sn,首项a1=-,且Sn++2=an(n≥2),则S2 018=(　　)

A.- B.- 

C.- D.-

7.()在正整数集上定义函数y=f(n),满足f(n)[f(n+1)+1]=2[2-f(n+1)],且f(1)=2.

(1)求证:f(3)-f(2)=;

(2)是否存在实数a,b,使f(n)=+1对任意正整数n恒成立?并证明你的结论.

答案全解全析

基础过关练

1.A　当n=1时,等式左边=1,故选A.

2.C　等号左边加的项是[1+2+3+4+…+2k+(2k+1)+(2k+2)]-(1+2+3+4+…+2k)=(2k+1)+(2k+2).

3.答案　1-=

解析　由题知等式的左边有2n项,右边有n项,且n∈N*,因此第一步应验证n=1时的等式,此时左边=1-,右边=,故填1-=.

4.证明　①当n=1时,左边=1+2+3+4=10,右边==10,左边=右边.

②假设当n=k(k∈N*)时等式成立,即1+2+3+…+(k+3)=,

则当n=k+1时,1+2+3+…+(k+3)+(k+4)=+(k+4)=,

即当n=k+1时,等式成立.

综上,1+2+3+…+(n+3)=(n∈N*).

5.B　∵n∈N*,n>1,∴n所取的第一个正整数为2,又22-1=3,故第一步应验证1++<2.

6.D　根据数学归纳法的步骤,首先要验证当n取第一个值时命题成立,

结合本题,当n=1时,左边=21=2,右边=12+1=2,2n>n2+1不成立,

当n=2时,左边=22=4,右边=22+1=5,2n>n2+1不成立,

当n=3时,左边=23=8,右边=32+1=10,2n>n2+1不成立,

当n=4时,左边=24=16,右边=42+1=17,2n>n2+1不成立,

当n=5时,左边=25=32,右边=52+1=26,2n>n2+1成立,

因此当n≥5时,命题2n>n2+1成立.

所以第一步证明中的起始值n0应取5.

故选D.

7.D　从n=k(k∈N*)到n=k+1的推理中没有使用归纳假设,不符合数学归纳法的证明要求.

8.证明　由bn=2n,得=,

所以··…·=×××…×.

用数学归纳法证明不等式×××…×>成立,证明如下:

①当n=1时,左边=,右边=,因为>,所以不等式成立.

②假设当n=k(k∈N*)时不等式成立,即×××…×>成立,

则当n=k+1时,左边=×××…××>×

==

>=

==

==右边.

所以当n=k+1时,不等式也成立.

由①②可得不等式×××…×>对任意的n∈N*都成立,即原不等式成立.

9.B　依题意得,由n个圆增加到n+1个圆,增加了2n个交点,这2n个交点将新增的圆分成2n段弧,而每一段弧都将原来的一块区域分成了2块,故增加了2n块区域,因此f(n+1)=f(n)+2n.

10.答案　66

解析　设第n(n≥2且n∈N*)行的第二个数为an,由题图可知a2=3,a3-a2=3,a4-a3=5,……,an-an-1=2n-3,叠加可得an=n2-2n+3,所以第九行的第二个数a9=81-18+3=66.

11.解析　(1)∵Sn=2n-an,

∴当n=1时,S1=2×1-a1⇒a1=1,

当n=2时,S2=2×2-a2⇒a2=,

当n=3时,S3=2×3-a3⇒a3=,

当n=4时,S4=2×4-a4⇒a4=,

由此猜想an=(n∈N*).

(2)证明:①当n=1时,a1=1,结论成立.

②假设当n=k(k∈N*)时,结论成立,即ak=.

则当n=k+1时,

ak+1=Sk+1-Sk=2(k+1)-ak+1-2k+ak

=2+ak-ak+1,

∴2ak+1=2+ak,

∴ak+1===,

所以当n=k+1时,结论成立,

综上所述,an=(n∈N*)成立.

能力提升练

1.C　由题意可知,

当n=k(k∈N*)时,左边=1+2+3+…+k3,

当n=k+1时,左边=1+2+3+…+k3+(k3+1)+…+(k+1)3,

所以由n=k到n=k+1时,等式左边应添加的项是(k3+1)+(k3+2)+…+(k+1)3.

2.解析　(1)第5个等式为5+6+7+8+9+10+11+12+13=92.

第n个等式为n+(n+1)+(n+2)+…+(3n-2)=(2n-1)2,n∈N*.

(2)证明:①当n=1时,等式左边=1,等式右边=(2-1)2=1,所以等式成立.

②假设当n=k(k∈N*)时,等式成立,即

k+(k+1)+(k+2)+…+(3k-2)=(2k-1)2,

则当n=k+1时,

(k+1)+[(k+1)+1]+[(k+1)+2]+…+[3(k+1)-2]=(k+1)+(k+2)+(k+3)+…+(3k+1)=k+(k+1)+(k+2)+…+(3k-2)+(3k-1)+3k+(3k+1)-k=(2k-1)2+8k=4k2-4k+1+8k=(2k+1)2=[2(k+1)-1]2,即n=k+1时等式成立.

根据①和②,可知对任意n∈N*等式都成立.

3.答案　++…+

解析　因为当n=k时,f(2k)=1+++…+,

当n=k+1时,f(2k+1)=1+++…+++…+,

所以f(2k+1)-f(2k)=1++…+-=++…+.

4.解析　(1)由题可得,a1=1,a2=,a3=,从而猜想an=(n∈N*).用数学归纳法证明如下:

①当n=1时,有a1=1=,猜想成立;

②假设当n=k(k∈N*)时猜想成立,

即ak=,则当n=k+1时,

ak+1==,所以当n=k+1时,猜想也成立.

由①②可知,an=对任意n∈N*都成立.

∴数列{an}的通项公式为an=,n∈N*.

(2)证明:-=(-)[(n+1)+×+n],

由基本不等式可得(n+1)+×+n>2×+×=3×,

所以->(-)××=(n+1)-n=bn,

所以Tn<{(-)+(-)+…+[-]}=-,

故Tn<.

5.A　假设当n=k(k∈N*)时,命题成立,即5k-2k能被3整除,

则当n=k+1时,

5k+1-2k+1=5×5k-2×2k=5(5k-2k)+5×2k-2×2k=5(5k-2k)+3×2k.

6.A　由题意得,Sn++2=Sn-Sn-1(n≥2),

所以Sn=-.

当n=1时,S1=a1=-,

则当n=2时,S2=-=-,

当n=3时,S3=-=-,

……

猜想:Sn=-(n∈N*).

用数学归纳法证明如下:

①当n=1时,左边S1=a1=-,右边=-=-,猜想成立.

②假设当n=k(k∈N*)时猜想成立,即

Sk=-,

则当n=k+1时,Sk+1=-=-=-,所以当n=k+1时猜想也成立.

综上所述,Sn=-对任意n∈N*都成立.

所以S2 018=-=-.故选A.

7.解析　(1)证明:由f(n)[f(n+1)+1]=2[2-f(n+1)],得f(n+1)=,

将f(1)=2代入,得f(2)==, f(3)==,所以f(3)-f(2)=-=.

(2)存在.

由f(1)=2, f(2)=,得a=-,b=.

故猜想存在实数a=-,b=,使f(n)=+1对任意正整数n恒成立.用数学归纳法证明如下:

①当n=1时,显然成立.

②假设当n=k(k∈N*)时,猜想成立,

即f(k)=+1,

则当n=k+1时, f(k+1)=

=

==1+

=+1,

即当n=k+1时,

 f(k+1)=+1成立.

由①②可知,存在实数a=-,b=,使f(n)=+1对任意正整数n恒成立.