【专项复习】2022年中考数学专项 第2讲 根的判别式与根系关系（含答案）学案

第2讲  根的判别式与根系关系

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1.一元二次方程根的判别式；

2.一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）．

【板块一】一元二次方程根的判别式

方法技巧

1.不解方程，判断一元二次方程根的情况；

2.确定一元二次方程中字母参数的取值范围；

3.解决一元二次方程的整数根的问题；

4.求代数式的最值；

5.借助判别式，运用一元二次方程有解的代数模型，解几何存在性问题，最值问题；

题型一   用于参数方程根的判定

【例1】关于的一元二次方程．

（1）求证：方程总有两个实数根；

（2）若方程有一根大于，求的取值范围．

【解析】

（1）∵，∴方程总有两个实数根；

（2）∵，∴，，

∵，∴．

题型二 判别式求参数的取值范围

【例2】若关于的方程有实数根，求的取值范围．

【解析】分两种情况讨论：①，此时，解得且；

②，即，此时方程为一元一次方程，显然有实数根.

综合①②两种情况，得出的取值范围为．

【例3】已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，求的取值范围．

【解答】，且，且．

解得，且．∴的取值范围是且．

【点评】注意例2与例3的区别与联系．

【例4】若关于的方程只有个不相等的实数根，求的值或取值范围.

【解析】原方程可化为下面两个方程：①，②，

方程①，方程②．因为，

所以只可能，即．故．

题型三  判别式用于整数根问题

例5 当m是什么整数时，关于x的方程与的根都是整数？

解析：由两个方程都有实数根，得，∵ m为整数，∴ m＝－1,0,1

当m＝0时，代入第二个方程，得，不合题意，舍去

当m＝1时，方程为

方程为，其根为

当m＝－1时，方程为其根不是整数；

综上，当m＝1时，方程与的根都是整数

题型四 判别式法求极值

例6 若x，y是实数，且,试确定m的最小值

解析：解法一：将原等式改写为，即，∵ x是实数，∴ 判别式△≥0，即，

配方，得，∴ 当y＝3时，m有最小值－22

解法二：

∴ 当x－2y－2＝0且y－3＝0时，即x＝8且y＝3时，m取得最小值－22

针对练习1

1、当k＝      时，关于x的二次三项式是完全平方式

解：－3或2

2、已知关于x的方程有两个相等的实数根，求k的值

解：∵ 关于x的方程有两个相等的实数根，∴△＝0且k－1≠0

∴ ，解得k＝1(舍去)或k＝2，∴ k＝2

3、m为何值时，关于x的方程

（1）有两个实根？

（2）只有一个实根？

（3）有实根？

解：（1）由题意得m≠1且△≥0，得，∴当时，方程有两个实数根

（2）由题意，方程为一元一次方程，此时m－1＝0,

∴当m＝1时，方程为2x＋4＝0，方程只有一个实数根

（3）①当m＝1时，方程2x＋4＝0，方程有一个实数根；②当m≠1时，由题意得

∴ 当时，方程有两个实数根。综上所述，时，方程有实数根

4、已知关于x的一元二次方程，其中a,b,c分别为△ABC的三边长

（1）如果x＝－1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；

（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；

（3）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根.

解：（1）△ABC是等腰三角形，理由如下：把x＝－1代入方程，得a＋c－2b＋a－c＝0,所以a＝b，故△ABC是等腰三角形

（2）△ABC是直角三角形，理由如下：方程有两个相等的实数根，则，故

（3）如果△ABC是等边三角形，则a＝b＝c，所以方程可化为：，所以方程的解为

5、若关于x的方程有且只有两个不相等的实数根，求m的值或取值范围.

解：当m＝0时，方程，显然有两个不相等的实数根；当m＞0时，有或，，，很明显，

因此，故m的取值范围是m＝0或

板块二 一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）

方法技巧

1、求方程中字母系数的值或取值范围

2、求代数式的值

3、结合根的判别式，判断根的符合特征；

利用根与系数的关系解题的基本思路，需要注意的是，应用根与系数的关系的前提条件是一元二次方程有两个实数根，所以，应用根与系数的关系解题时，必须满足：①a≠0,②判别式△≥0

题型一  根的定义与根系关系结合求值

（一）对称式求值

例1 若的值

解析 ∵ ，∴ 可以看成是关于x的一元二次方程的两根，

∴

（二）非对称式求值

例2  设方程的两个根是，求的值

解析  由得，由韦达定理得

故

点评  利用根的定义，将非对称式转化为对称式，再利用根系关系求值.

题型二  求方程中待定系数的值

（一）先用判别式求字母的范围，再用根系关系求字母的值

例3 已知关于x的方程

（1）若方程总有两个实数根，求m的取值范围；

（2）若两实数根满足，求m的值

解析：（1）∵ 方程总有两个实数根，∴

（2）∵为方程的两个实数根，∴

∵ ∴ ，

解得 ∴ m＝1

（二）先用根系关系求字母的值，再用判别式检验

例4 已知是关于x的一元二次方程的两个实数根，使得

成立，求其实数a的可能值

解析  ∵ 是关于x的一元二次方程的两个实数根，

∴ ，而

∴

∴ ∴

当a＝3时，的△＜0,不合题意舍去，∴

题型三 利用根系关系求最值

例5 若关于x的方程有两个实数根，求的最小值

解析  ∵ 又∵

∴ 原式＝

∵ 方程有实数根，∴ △ ∴

∴ 当

题型四  一元二次方程根的分布

例6  当m为何值时，关于x的一元二次方程的两根都大于2？

解析 方程有两根都大于2的条件是△≥0，，由此得到关于m的不等式

例7  已知关于x的一元二次方程的两根都是负数，求k的取值范围

解析：∵ 原方程有两个实数根，∴ k≠0,△≥0,即

解得又∵原方程的两根都是负数，若设方程两实数根为

∴

所以k的取值范围是

针对练习2

1、若实数a,b满足（B  ）

A. B. C. D.

2、已知a,b是关于x的方程的两个根，则（ D  ）

A.365 B.245 C.210 D.175

3、已知是关于x的方程的两个实数根，且，则k的值为  －3   

4、已知方程的两个根为α，β，求的值

解：3

5、已知a,b是方程的两个实数根，求的值

解：∵ a,b是方程的两个实数根，∴ a＋b＝－1,,

∴

6、已知关于x的方程的两根，给出四个结论中：①；②；③；④若，且a＜b,，则正确结论的序号是（ B  ）

A.①②③ B.①②④ C.②③④ D.①②③④

7．已知a≥2，m2－2m＋2＝0，n2－2an＋2＝0，且m≠n，则(m－1) 2＋(n－1)2的最小值是(    )

A．6 B．－3 C．3 D．0

答案：A

8．已知关于x的方程x2＋(2k－1)x＋k2－1＝0有两个实数根x1，x2

(1)求实数k的取值范围；

(2)若x1，x2满足x12＋x22＝16＋x1x2，求实数k的值．

答案：

(1)∵方程有两个实数根，∴△＝(2k－1)2－4(k2－1)≥0，得k≤；

(2)∵x1＋x2＝1－2k，x1x2＝k2－1，∴x12＋x22＝(x1＋x2)2－2x1x2＝(1－2k)2－2(k2－1)＝16＋k2－1，

解得k1＝－2，k2＝6(舍去)，k≤，∴k＝－2．

9．已知x1，x2是关于x的方程x2－x＋t＝0的两个非负实数根．设y＝x14＋x24的最大值为M，最小值为m，求M－m．

答案：x1＋x2＝1，x1x2＝t，∴y＝x14＋x24＝[(x1＋x2)2－2x1x2]2－2x12x22＝2t2－4t＋1＝2(t－1)2－1，

根据题意△＝1－4t≥0，∴t≤，又∵x1，x2为非负实数根，t≥0，0≤t≤．

当t＝0时，y取得最大值M，且M＝1，

当t＝时，y取得最小值m、且m＝，∴M－m＝

10．已知关于x的方程(k－1)x2＋2kx＋2＝0．

(1)求证：无论k为何值，方程总有实数根；

(2)设x1，x2是方程(k－1)x2＋2kx＋2＝0的两个根，记S＝＋＋x1＋x2，S的值能为2吗？若能，求出此时k的值．若不能，请说明理由．

答案：

(1)①当k－1＝0即k＝1时，方程为一元一次方程2x＝－2、x＝－1有一个解；

②当k－1≠0即k≠1时，方程为一元二次方程，

△＝(2k)2－4×2(k－1)＝4k2－8k＋8＝4(k－1)2＋4＞0，方程有两不等根．

综合①②得：无论k为何值，方程总有实数根；

(2)由一元二次方程根与系教的关系得：x1＋x2＝，x1x2＝t＝，

又∵S＝＋＋x1＋x2＝2k－2，∴当S＝2时，2k－2＝2，解得k＝2．

∴S的值能为2，此时k的值为2．

11．已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2－2(m＋1)x＋m2＋5＝0的两个实数根．

(1)若(x1－1)(x2－1)＝19，求m的值；

(2)已知等腰△ABC的一边长为7，若x1，x2恰好是△ABC另外两边的边长，求这个三角形的周长．

答案：

(1)∵x1，x2是一元二次方程的两个实数根，∴x1＋x2＝2(m＋1)，x1x2＝m2＋5，

∴(x1－1)(x2－1)＝x1x2－(x1＋x2)＋1＝m2＋5－2(m＋1)＋1＝19，解得m1＝5，m2＝－3；

△＝4(m＋1)2－4(m2＋5)≥0，m≥2，∴m＝5；

(2)当x1＝7时，代人方程得72－2(m＋1)×7＋m2＋5＝0．解得m1＝4．m2＝10．

当m＝4时，x2＝3；

当m＝10时，x2＝15，此时7＋7＜15，不能组成三角形．

当x1＝x2时，方程有两个相等的实数根，

∴△＝8m－16＝0，m＝2，

∴x1＋x2＝6，x1＝x2＝3，此时3＋3＜7，不能组成三角形．

∴这个三角形的周长＝7＋7＋3＝17．