【专项复习】2022年中考数学专项 第6讲 二次函数y=ax2+bx+c的图像与性质（含答案）学案

第6讲  二次函数的图像与性质

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1. 二次函数的顶点为（），对称轴为直线x＝.

2.二次函数的增减性，最大值（或最小值）.

3.用配方法求顶点坐标.

4.用待定系数法求二次函数的解析式.

【板块一】化一般式为顶点式

方法技巧

1.熟练掌握顶点坐标公式（），，分清a，b，c的值（包括符号）.

2.掌握配方法的步骤，切记不要改变a的大小.

题型一   用配方法化为顶点式

【例1】已知二次函数.

（1）当x取何值时，y随x的增大而增大？当x取何值时，y随x的增大而减小？

（2）该函数图像经过怎样的平移得到抛物线？

（3）求出函数的最大值或最小值？

【解析】（1）∵，∴对称轴为直线x＝1，∴当x＞1时，y随x的增大而增大;当x＜1时，y随x的增大而减小.

（2）该函数图像向左平移1个单位，向上平移个单位得到抛物线.

（3）∵a＞0，∴函数有最小值.

题型二  用公式法求顶点坐标

【例2】将二次函数的解析式化为顶点式，并指出开口方向，对称轴和最值.

【解析】利用顶点坐标公式可求顶点（－3,11）

∴解析式为，其图像开口向下，对称轴为直线x＝－3,最大值为11.

针对练习1

1.二次函数；

（1）求该二次函数的顶点坐标；

（2）当x取何值时，y随x的增大而增大？当x取何值时，y随x的增大而减小？

（3）该函数图像是将的图像经过怎样的平移得到的？

解（1）,顶点坐标为（）

（2）当x＞时，y随x的增大而减小;当x＜1时，y随x的增大而增大.

（3）将抛物线先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到的图像.

2.已知二次函数，当时，y随x的增大而减小，求mn的最大值.

解：∵是二次函数，∴m≠2，对称轴为，当m＞2时，开口向上，，即2m＋n，∴mnm(12－2m)＝－2(m－3)2＋18,当0m＜2时，抛物线开口向下，，即m＋2n18,n＞8, mnn(12－2n)＝－2(n－)2＋＜18，综上所述，mn的最大值为18.

【板块二】二次函数的识图

方法技巧

a的符号与开口方向有关，b的符号与对称轴有关（左同右异），c的符号与y轴的交点有关.

题型一  判断a，b，c的符号

【例1】二次函数的图像如图所示，试判断a,b,c,2a＋b,a＋b＋c,a－b＋c的符号.

【解析】开口向上，a＞0；对称轴＞0，b＜0；与y轴的交点在y轴的负半轴，c＜0;由图像知，＜1，∴－b＜2a，2a＋b＞0，当x＝1时，函数值a＋b＋c＜0；当x＝－1时，函数值a－b＋c＞0.

题型二  由特殊点判断相关代数式的值或符号

【例2】如图，抛物线经过点（－1,0），对称轴l如图所示，则下列结论：①abc＞0；②a－b＋c＝0；③2a＋c＜0；④a＋b＜0，其中正确的结论是（  ）

A.①③ B.②③ C.②④ D.②③④

【解析】a＜0，b＞0，c＞0，abc＜0,①不正确；当x＝－1时，y＝a－b＋c＝0,②正确；当x＝2时，4a＋2b＋c＜0,将b＝a＋c代入，可得2a＋c＜0，③正确；同理④正确。选D.

【归纳】消元时，常常需要利用特殊点找到一个等式，即等式与不等式的组合运用.

针对练习2

1. 二次函数的图像如图所示，给出以下结论：①a＋b＋c＜0；②a－b＋c＜0；③b＋2a＜0；④abc＞0.其中正确结论是（    ）

A. ③④ B.②③ C.①④ D.①②③

答案：C

2. 二次函数的图像经过点（－1,2），且与x轴交点的横坐标分别为x1,x2,其中－2＜x1＜－1,0＜x2＜1,下列结论：①4a－2b＋c＜0；②2a－b＜0；③a＋c＜1；④b2＋8a＞4ac.其中正确的结论有（    ）个

A.1 B.2 C.3 D.4

答案：D

【板块三】用待定系数法求二次函数的解析式

方法技巧

根据条件，选择适当的解析式，建立关于待定系数的方程（组），解方程（组）求出待定系数的值.

题型一  一般式

【例1】已知二次函数的图像经过点A（－1,2），B（0,1），C（2，－7），求该二次函数的解析式.

【解析】

题型二  顶点式

【例2】已知二次函数的最大值为1，其图像经过点（3，－1），求二次函数的解析式.

【解析】

题型三   交点式

【例3】如图，抛物线经过A、B、C三点，点A（－1,0），点B（3,0），且3AB＝4OC，求抛物线的解析式.

【解析】

题型四   综合运用求解析式

【例4】已知二次函数的图像与坐标轴只有两个公共点，求二次函数的解析式.

【解析】或

【例5】如图，直线y＝－x＋1与抛物线交x轴于点A和另一点D，抛物线与y轴交于点C，且CD∥x轴，求抛物线的解析式.

【解析】

针对练习3

1.已知二次函数的图像与x轴交于A（－3,0），B（4,0）两点，且函数的最大值为2，求二次函数的解析式.

答案：

2.如图，抛物线与坐标轴交于A,B,C三点，且OA＝2，OC＝3，求抛物线的解析式.

答案：

3. 已知抛物线经过点A（－1,0）与x轴交于另一点B，交y轴于点C，且S△ABC＝6，求抛物线的解析式.

答案： 或

【板块四】二次函数与最值

方法技巧

1.用顶点式、公式法求二次函数的最值.

2.利用函数图像的增减性求最值.

题型一  对称轴为常数

【例1】二次函数在的范围内有最小值－5，则c的值是（   ）

A. －6 B.－2 C.2 D.3

答案：D

【解析】可求对称轴为x＝－1,开口向下，离对称轴的距离越大，值越小，∴当x＝2时有最小值3.

题型二   对称轴为未知数

【例2】当时，二次函数有最大值4，则m的值为（   ）

A.  B. 或－ C.2或－或 D. 2或－

答案：D

【解析】分三种情况:①m＜－2时，m＝;②时，m＝（舍去）m＝－；③m＞1时，m＝2.选D.

题型三   区间为未知量

【例3】关于x的二次函数在范围内，函数有最小值21，则b的值为       ．

答案：－4或

【解析】分三种情况：①＜b；②；③＞b＋3；综合可求b的值为－4或.

题型四   在最值中探究最值

【例4】二次函数在范围内，函数有最小值n，则n的最大值为       ．

答案：

【解析】分三种情况可求.

针对练习4

1.已知二次函数在的范围内有最小值5，则m的值是（   ）

A. －3或4 B.－5或2 C.－4或3 D.－2或5

答案：A

2. 已知二次函数（h为常数）在的范围内有最小值5，则h的值是（   ）

A. 3或5 B.－1或1 C.－1或5 D.1或3

答案：C

3. 已知二次函数（m为常数）图像的顶点纵坐标为n,当时，n的取值范围是       ．

答案：

4. 已知二次函数，当且mn＜0时，y的最小值为2m，最大值为2n，则m＋n的值为       ．

答案：