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【专项复习】2022年中考数学专项 第19讲 反比例函数（含答案）学案
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这是一份【专项复习】2022年中考数学专项 第19讲 反比例函数（含答案）学案，共28页。
第19讲 反比例函数
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1.反比例函数的定义和解析式；2.反比例函数的图象和性质；
3.反比例面数与方程及不等式；4.反比例函教与神奇的几何性质；
5.反比例函数与直线y＝a或x＝a；6.反比例函数与全等相似；
7.反比例函数与图形变换；8.反比例函数与定值及最值。
【板块一】反比例函数的定义和解析式
方法技巧
根据定义解题
1.定义：一般地，形如（k为常数，k≠0）的函数，叫做反比例函数，其中x是自变量，y是函数.自变量x的取值范围是不等于0的一切实数.
2.解析式：（k≠0）或xy＝k（k≠0）或 （k≠0）.
题型一根据定义判断反比例函数
【例1】下列函数：① ；@；③；④；⑤；
⑥ ；⑦； ⑧；⑨ .其中y是x的反比例函数的有 （填序号）.
【解析】②③④⑦⑧.
题型二根据定义确定k值或解析式
【例2】（1）反比例函数 ，化为的形式，相应的k＝ ；
（2）函数中，当x＝2时，y＝3，则函数的解析式为
【解析】（1） ；（2）.
题型三根据定义确定待定系数的值
【例3】（1）如果函数 是关于x的反比例函数，则m的值为
（2）若函数 （m为常数）是关于x的反比例函数，求m的值及函数的解析式。
【解析】（1）－1；（2）m＝2，y＝4x.
针对练习1
1.下列函数中，为反比例函数的是（B）
A. B. C. D.
答案：B
2.反比例函数y＝一化为的形式后，相应的k＝
答案：
3.若关于x的函数 是反比例函数，求m的值
答案：3.
【板块二】反比例函数的图象和性质
式
抓住反比例函数的性质并结合图象解题
一般地，对于反比例函数，由函数图象，并结合解析式，我们可以发现：
1.图象分布
当k＞0时，x，y （同号或异号），函数图象为第 象限的两支曲线；当k＜0时，x，y （同号或异号），函数图象为第 象限的两支曲线。因此反比例函数的图象也叫做双曲线.
答案：同号；一三；异号；二四.
2.对称性
若点（a，b）在反比例函数的图象上，则点 ， ， 也在此图象上，故反比例函数的图象关于直线 ， 对称，关于点 成中心对称。
答案：（b，a），（－b，－a），（－a，－b）；y＝x，y＝－x；（0，0）
3.增减性
当k＞0时，在每一个象限内，y随x的增大而 ；
当k＜0时，在每一个象限内，y随x的增大而 。
答案：减小；增大
题型一反比例函数的增减性
【例1】在反比例函数 的图象上有两点A（x1，y1），B（x2，y2），若x1＜0＜x2，y1＞y2，则m的取值范围是（）
A. B. C. D.
【解析】A.根据条件x1＜0＜x2，y1＜y2，可判断其围象位于二、四象限，∴1－8m＜0，∴m＞
【例2】已知反比例函数 .
（1）画出这个反比例的图象；
（2）当－6≤x＜－2时，y的取值范围是 ；
（3）当 时，x的取值范围是 .
【解析】（1）图略；（2）1≤y＜3；（3）－2＜x＜0或0＜x≤2.
题型二反比例函数的圈象的对称性
【例3】如图，直线y＝ax（a≠0）与双曲线交于A，B两点，试说明A.B两点关于原点对称.
【解析】联立得ax2－k＝0，∴xA＋xB＝0，过A，B两点分别作x轴的垂线，由全等即可得OA＝OB，∴A，B两点关于原点对称。
题型三反比例函数的图象与系数的关系
【例4】如图，反比例函数①，②，③，④的部分图象如图所示，则k1，k2，k3，k4的大小关系是
【解析】k1＜k2＜k3＜k4.越大，其图象离坐标原点越远。
题型四反比例函数中k的几何意义
如图，过双曲线上任意一点P作x轴，y轴的垂线段PM，PN，则所得的矩形PMON的面积 ，即在反比例函数的图象上任取一点向两坐标轴作垂线段，则两垂线段与两坐标轴所围成的矩形的面积等于，且这个面积的值与取点的位置无关.
特别地，S△PMO＝S△PNO＝.
【例5】如图，平行于x轴的直线AB与双曲线和在第一象限内交于A，B两点，若S△OAB＝2，求k1－k2的值.
【解析】延长AB交y轴于点C，则k1－k2＝4.
【例6】如图，直线 与双曲线交于A，B两点，且点A的横坐标为－4.
（1）求k的值；
（2）过原点的另一直线交双曲线于P，Q两点，点P在第二象限。若A，B，P，Q四点组成的面积为24，求P的坐标.
【解析】（1）A（－4，2），k＝－8；
（2）易知四边形APBQ是平行四边形，∴S△APO ＝6，过点A作AD⊥x轴于点D，过点P作PE⊥x轴于点E，设P（a， ），则 ，∴a1＝8，a2＝－2，∵点P在第二象限，∴a＜0，∴a＝－2，∴P（－2，4）.
1.对于反比例函数y＝，下列说法正确的是( )
A.图象经过点(1，－3) B.图象在第二、四象限
C.y随x的增大而减小 D.x＜0时，y随x增大而减小
答案：D.
2.在同一平面直角坐标系内画出函数y＝kx＋1和函数y＝(k≠0)的图象大致是( )
答案：B.
3.反比例函数y＝(a为常数)的图象上有三个点(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)，其中x1＜x2＜0＜x3，则y1，y2，y3的大小关系是___________.
答案：y2＜y1＜y3.
4.如图，点A是反比例函数y＝(x＜0)的图象上一点，过点A作AB⊥x轴于点B，点P是y轴负半x轴上一点，△ABP的面积为1，求k的值.
答案：
连接AO，∵AB∥y轴，∴S△ABP＝S△ABO＝1，∴|k|＝1，∴k＝－2.
5.点A(a，y1)，B(2a，y2)是反比例函数y＝(k＞0)的图象上的两点.
(1)比较y1与y2的大小关系；
(2)若A，B两点在一次函数y＝－x＋b位于第一象限的图象上(如图所示)，分别过A，B两点作x轴的垂线，垂足分别为点C，D，连接OA，OB，且S△OAB＝8，求a的值；
(3)在(2)的条件下，如果3m＝－4x＋24，3n＝，求使得m＞n的x的取值范围.
答案：
(1)∵A，B是反比例函数y＝(k＞0)图象上的两点，∴a≠0，当a＞0时，点A，B在第一象限，由a＜2a可知，y1＞y2，同理，a＜0时，y1＜y2；
(2)∵A(a，y1)，B(2a，y2)在反比例函数y＝(k＞0)的图象上，∴AC＝y1＝，BD＝y2＝，
∴y1＝2y2.又∵点A(a，y1)，B(2a，y2)在一次函数y＝－x＋b的图象上，∴y1＝－a＋b，y2＝－a＋b，∴－a＋b＝2(－a＋b)，∴b＝4a，∵S△AOC＋S梯形ACDB＝S△AOB＋S△BOD，又∵S△AOC＝S△BOD，∴S梯形ACDB＝S△AOB，【(－a＋b)＋(－a＋b】a＝8，∴a2＝4，∵a＞0，∴a＝2.
(3)由(2)得，一次函数的解析式为y＝－x＋8，反比倒函数的解析式为y＝，A，B两点的横坐标分别为2，4，且m＝－x＋8，n＝，因此使得m＞n的x的取值范围就是反比例函数的图象在一次函数图象下方的点中横坐标的取值范围，从图象可以看出2＜x＜4或x＜0.
【板块三】反比例函数与方程、不等式
方法技巧
根据直线与双曲线的交点并结合图象解题
◆题型一反比例函数与方程
【例1】如图，直线y＝－x＋5与双曲线y＝交于A，B两点.
(1)求A，B两点的坐标；
(2)将直线AB向左平移n个单位长度，若平移后直线AB与双曲线有唯一公共点，求n的值.
答案：
(1)A(1，4)，B(4，1)；
(2)将直线AB向左平移n个单位长度后其解析式为y＝－(x＋n)＋5，联立y＝，y＝－(x＋n)＋5，得x2＋(n－5)x＋4＝0，依题意，△＝(n－5)2－4×1×4＝0，解得n＝1或9.
【例2】直线y＝2x＋4与反比例函数y＝的图象交于A，B两点，直线y＝m(m＞0)与直线AB相交于点M，与反比例函数的图象相交于N，若MN＝4，求m的值.
答案：
∵点M在直线AB上，∴M(，m)，∵点N在反比例函数y＝的图象上，所以N(，m)，MN＝xN－xM＝－＝4或MN＝xM－xN＝－＝4，∵m＞0，∴m＝2或m＝6＋4.
题型二反比例函数与不等式
【例3】如图，一次函数y＝－x＋4与反比例函数y＝(m＞0，x＞0)的图象交于A，B两点，与x轴，y轴分別相交于C，D两点.如果点A的横坐标为1，利用函数图象求关于x的不等式4－x＜的解集.
答案：
当x＝1时，y＝3，∴A(1，3)代入y＝，得m＝3，y＝，联立y＝4－x，y＝，得B(3，1)，∴原不等式的解集为0＜x＜1或x＞3.
◆题型三反比例函数.与数形结合比较大小
【例4】如图，直线y＝2x＋4与反比例函数y＝的图象相交于A(－3，a)和B两点.
(1)求A，B两点的坐标；
(2)直接写出不等式≤2x＋4的解集.
答案：
(1)A(－3，－2)，B(1，6)；(2)－3≤x＜0或x≥1.
【例5】如图，双曲线y＝(x(k＞0)与直线y＝－x＋4相交于A，B两点.
(1)当k＝6时，求点A，B的坐标；
(2)在双曲线y＝(k＞0)的同一支上有三点C(x1，y1)，D(x2，y2)，P(，y0)，请你借助图象，直接写出y0与的大小关系；
(3)点M(x1，y1)，N(x2，y2)是双曲线y＝(x＞0)上任意两点，s＝，t＝，试比较s与t的大小.
答案：
(1)A(2，3)，B(6，1)；
(2)当x1＞0时，y0＜；当x1＜0时，y0＞.
(3)若线段MN的中点为Q，则点Q的坐标为(，)，过点Q作QR∥y轴交双曲线于点R，则点R的坐标为(，)，观察图象可知＞，∴s＞t.
【例6】当1≤x≤4时，直线y＝－2x＋b与双曲线y＝只有一个公共点，则b的取值范围是_______.
答案：b＝4或6＜b≤9.
【解析】①当直线y＝－2x＋b过点(1，4)时，－2＋b＝4，b＝6；②当直线y＝－2x＋b过点(4，1)时，－8＋b＝1，b＝9；③当直线y＝－2x＋b与y＝相切时，联立＝－2x＋b，得2x2－bx＋4＝0，△＝b2－4×2×4＝0，∴b1＝4，b2＝－4(舍)，由图象可知，b＝4或6＜b≤9.
1.如图，在平面直角坐标系中，直线AB：y1＝x＋m与双曲线C：y2＝相交于A(2，5)，B两点.
(1)求点B的坐标；
(2)当y1＞y2时，x的取值范围是___________；
(3)当x＜2时，y2的取值范围是___________.
答案：
(1)B(－5，－2)；(2)x＞2或－5＜x＜0；(3)y2＜0或y2＞5.
2.如图，一次函数y1＝x＋1的图象与反比例函数y2＝(k为常数，且k≠0)的图象都经过点A(m，2).
(1)求点A的坐标及反比例函数的表达式；
(2)结合图象直接写出当x＞0时，比较y1和y2的大小；
(3)直接写出不等式≤x＋1的解集.
答案：
(1)将A(m，2)代入y1＝x＋1得m＝1，∴A(1，2)，将A(1，2)代入y2＝，得k＝2，∴y2＝；
(2)当0＜x＜1时，y1＜y2；当x＝1时，y1＝y2；当x＞1，y1＞y2；
(3)－2≤x＜2或x≥3.
3.如图，一次函数y1＝x＋5的图象与反比例函数y2＝的图象交于A，B两点.当x＞1时，y1＞y2；当0＜x＜1时，y1＜y2.
(1)直接写出反比例函数y2的解析式；
答案：
∵当x＞1时，y1＞y2；当0＜x＜1时，y1＜y2，∴A点的横坐标是1，纵坐标为y＝1＋5＝6，∴A(1，6)，代入y2＝，可得k＝xy＝6，∴y2＝；
(2)过点D(t，0)(t＞0)作x轴的垂线，分别交双曲线y2＝和直线y1＝x＋5于P，Q两点.若PQ＝3PD时，求t的值.
答案：
当PQ＝3PD时，直线PQ在点A的右侧，
∵直线PQ分别交双曲线y2＝和直线y1＝x＋5于P，Q两点，
∴P(t，)，Q(t，t＋5)，∵PQ＝3PD，∴t＋5－＝3×，解得t1＝3，t2＝－8(舍去)，
∴t的值为3.
【板块四】反比例函数与神奇的几何性质
方法技巧
根据反比例函数k的意义结合全等、相似或参数思想、根系关系，可得出反比例函数一些重要几何性质，在解题中可运用这些重要性质，从而大大提高解题效率.
性质一 如图，直线AB：y＝mx＋n交x轴于点A，交y于点B，交双曲线y＝于C，D两点.
求证：AC＝BD.
答案：
证明：证法一：(利用根系关系得全等)过点C作CE⊥x轴于点E，过点D作DF⊥y轴于点F，联立y＝mx＋n，y＝，得mx2＋nx－k＝0，则有xC＋xD＝－.易知A(－，0)，∴xC＋xD＝OA，可得DF＝AE.∴△ACE≌△DBF，∴AC＝BD.
证法二：(利用k的意义得相似)过点C作CE⊥x轴于点E，CM⊥y轴于点M，过点D作DF⊥y轴于点F，DN⊥x轴于点N.∵xD×yD＝xC×yC＝k，∴DF·DN＝CM·CE，∴＝，∴＝，等式两边同时减1，得＝，∴AC＝BD.
【例1】如图，直线y＝x＋6交x轴于点A，交y轴于点B，交双曲线y＝于点C，D，若CD＝2(AC＋BD)，则k的值为__________.
答案： －5.
【解析】过点C作CE⊥x轴于点E，由性质可得AC＝BD，∵CD＝2(AC＋BD)，∴CD＝4AC，∴AB＝6AC，∴CE＝OB＝×6＝1，同理AE＝1，∴OE＝5，∴C(－5，1)，∴k＝－5×1＝－5.
性质二 如图1，A，B为双曲线y＝上任意两点，AC⊥y轴于点C，BD⊥x轴于点D，直线AC，BD交于点E.求证：①AB∥CD；②＝.
答案：
证法一：(面积法)连接AD，BC，则S△ACD＝S△BCD＝|k|.
∴①AB∥CD；②＝.
证法二：(相似法)利用xA×yA＝xB×yB＝k，可得AC×DE＝BD×CE，进而得＝，∴△ABE∽△CDE，∴①AB∥CD；②＝.
变式1：如图2，AC⊥x轴于点C，BD⊥y轴于点D，AC，BD交于点E，求证：①AB∥CD；②＝。
答案：
①设A点坐标为（n，），B点坐标为（m，），∴C（n，0），D（0，），∴AB（m－n，－），CD（－n，），∵＝－＝，∴AB∥CD；
②证△ABE∽△CDE，∴＝，∵＋1＝，＋1＝，∴＝
变式2：如图3，A，B为双曲线y＝上任意两点，AC⊥y轴于点C，BD⊥x轴于点D，直线AC，BD交于点E。求证：①AB∥CD；②＝。
答案：证法同上
【例2】如图，双曲线y＝经过矩形OABC边AB的中点F，交BC于点E，且四边形OEBF的面积为2，则k＝ 。
答案：2
解析：过点E作EH⊥x轴于点H，∵点F为AB中点，则点E为BC边的中点，可得S四边形OEBF＝S矩形OABC＝S矩形OCEH＝k，∴k＝2
【例3】如图，点P为双曲线y＝ (x＞0)上一点，PA⊥x轴于点A，PB⊥y轴于点B，PA，PB分别交双曲线y＝上(x＞0)于C，D两点，若S△PCD＝1，则k＝ 。
答案：4
解析：设点P(a，)，则点C(a，)，D(,)，∴S△PCD＝××(a－)＝＝1，∴k1＝4，k2＝12（舍），∴k＝4
性质三：如图，直线AB与双曲线y＝只有唯一公共点A，且AB与y轴不平行，AB交x轴于点B，连接OA，求证：OA＝AB。
答案：
证明：(解析法)过点A作AH⊥x轴于点H，设点A(a，)，LAB：y＝m(x－a)＋，联立得mx2＋(－am)x－k＝0，依题意△＝(－am)2＋4mk＝(＋am)2＝0，∴m＝－，∴y＝－x＋，∴B(2a，0)，∴OH＝BH＝a，∴OA＝AB
性质四：如图，直线y＝mx交双曲线y＝于A，B两点，点P为双曲线上一点，直线PA，PB分别交x轴于M，N两点，求证：PM＝PN。
答案：
证明：(解析法)设点A(a，)，B(－a，－)，P(b，)，由待定系数法可得lPA：y＝－x＋，lPB：y＝x＋，∴xM＝b＋a，xN＝b－a，∴xM＋xN＝2xP，可得PM＝PN。
【例4】(2018十堰中考)如图，直线y＝－x与反比例函数y＝的图象交于A，B两点，过点B作BD∥x轴，交y轴于点D，直线AD交反比例函数y＝的图象于另一点C，求的值。
答案：
解析：(解析法)过点A，C分别作y轴的垂线，垂足分别为点E，F，设点A(a，－a)，则B(－a，a)，D(0，a)，由待定系数法得lDA:y＝－2x＋a，联立得2x2－ax＋k＝0，∴xA＋xC＝，∵xA＝a，∴xC＝－a＝，∴点C在BD的垂直平分线上，∴CB＝CD，由面积法可得＝＝＝，∴CB＝CD＝CA，∴＝＝.
针对练习4
1.如图，点A，B分别是双曲线y＝和y＝第一象限分支上的点，且AB∥y轴，BC⊥y轴于点C，则AB·BC＝ 。
答案：2
解析：方法一：利用k的几何意义——面积法求，延长AB交x轴于点E，过点A作y轴的垂线，垂足为F，AB·AC＝S矩形ABCF－S矩形BEOC＝4－2＝2.
方法二：设点A坐标，分别表示出点B，C坐标，运用参数进行计算。
2.如图，直线y＝－x＋b与y轴交于点A，与双曲线y＝在第一象限交于B，C两点，且AB·AC＝4，则k＝ 。
答案：
解析：斜化直，线段转坐标。设直线AB交x轴于点D则由性质可得AB＝CD，∴AC＝BD，由条件知∠OAD＝30°，∴AB＝2xB，AC＝BD＝yB，∴AB·AC＝2xB·yB＝xB·yB＝4，∴k＝xB·yB＝。
3.如图，△OAC的顶点A在双曲线y＝上，点C在x轴上，OA交双曲线y＝上于点B，直线AC与双曲线y＝是只有唯一公共点，且AC与y轴不平行，则S△ABC＝ 。
答案：6
解析：设A(a，)，OA解析式为y＝x，可得B(，)，易得直线AC解析式为y＝－x＋，可得AO＝AC，∵＝＝＝，∴S△ABC＝S△AOC＝×9＝6。
4.如图1，直线y＝－2x＋6交x轴于点B，交y轴于点A，直线AB与双曲线y＝ (k＜0)交于C，D两点，CE⊥x轴于点E，DF⊥x轴于点F。
(1)若k＝－8，求CD的长；
(2)求CE一DF的值；
(3)如图2，P是双曲线y＝ (k＜0)上第二象限上一动点，PG⊥x轴于G，交双曲线y＝ (k＜0)于M，PH⊥y轴于H，交y＝ (k＜0)于N，请直接写出MN的最小值为 。(用含k的式子表示)
答案：
(1)∴C(－1，8)，D(4，－2)，CD＝5；
(2)联立得2x2－6x＋k＝0，xC＋xD＝3，∴yC＋yD＝－2xC＋6－2xD＋6＝－2×3＋12＝6，CE＝yC，DF＝－yD，∴CE－DF＝yC＋yD＝6；
(3) (提示：MN＝GH)。
【板块五】反比例函数与直线x＝a或y＝a
方法技巧
此类问题一般可用a表示相关点的坐标，从而表示出相关线段长，将几何问题坐标化，解题时注意情况不明时需分类讨论。
【例1】如图在平面直角坐标系xOy中，直线y＝2x＋n与x轴，y轴分别交于点A，B，与双曲线y＝在第一象限内交于点C(1，m)，过x轴正半轴上的点D(a，0)作平行于y轴的直线l，分别与直线和双曲线y＝交于点P，Q，且点P不与点Q重合。
(1)求m和n的值；
(2)当a＞1，PQ＝2QD时，求△APQ的面积；
(3)连接CQ，当CP＝CQ时，求a的值。
答案：
(1)m＝4，n＝2；
(2)在y＝2x＋2中，今y＝0，则x＝－1，∴A(－1，0)，∵D(a，0)，l∥y轴，∴P(a，2a＋2)，Q(a，)。∵PQ＝2QD，∴2a＋2－＝2×，解得：a＝2，a＝－3。∵P，Q在第一象限，∴a＝2，∴PQ＝4，又∵AD＝3，S△APQ＝×4×3＝6；
(3)过点C作CM⊥PQ于点M，∵CP＝CQ，∴PM＝MQ，设P(a，2a＋2)，Q(a，)，M(a，4)，则2a＋2＋＝8，解得a＝2或a－1(舍)，∴a＝2。
针对练习5
1.如图，直线l：y＝x＋3与双曲线y＝左在第一象限内交于点A(a，6)。
(1)求双曲线的解析式；
(2)直线x＝t(t＞0且t≠2)分别交直线l，双曲线y＝于C，D两点，连接AD，若AC＝AD，请直接写出t的值。
答案：
(1)∵点A(a，6)在直线y＝x＋3上，∴a＋3＝6，∴a＝2，∴A(2，6)，又A在双曲线y＝上，∴＝6，∴k＝12，即双曲线的解析式为y＝。
(2)t＝4。理由如下，设C(t，t＋3)，D(t，)，则AC2＝(t－2)2＋(t＋3－6)2＝(t－2)2，AD2＝(t－2)2＋(－6)2＝(1＋)(t－2)2，由AC＝AD，有AC2＝AD2，∴ (t－2)2＝(1＋)(t－2)2，∵t≠2，∴＝1＋，∴t＝4或t＝－4(舍)，∴t＝4
【板块六】反比例函数与全等及勾股定理
利用全等、相似将线段关系转化为坐标关系，实现“几何问题坐标化”。
题型一 反比例函数与全等
例1：如图，点A是双曲线y＝在第一象限上的一动点，连接AO并延长交另一分支于点B，以AB为斜边作等腰Rt△ABC，随着点A的运动，点C的位置也不断地变化，但始终在一函数图象上运动，则这个函数的解析式为 。
答案：y＝－ (x＜0)
解析：连接OC，过点A，C分别作x轴的垂线构造三垂直全等。
例2：(2018原创题)如图，点A(2，4)，B均为双曲线y＝在第一象限上的点，且∠AOB＝45°，求点B的坐标。
答案：过点A作AD⊥OA交OB延长线于点D，作AE⊥y轴于点E，DF⊥AE于点F，则
△ADF≌△QAE，∴AF＝OE＝4，DF＝AE＝2，∴D(6，2)，∴lOD：y＝x，∵A(2，4)，∴y＝，联立，得B(2，)。
题型二 反比例函数与勾股定理
例3：如图，矩形ABCO的顶点B(10，8)，点A，C在坐标轴上，E是BC边上一点，将△ABE沿AE折叠，点B刚好与OC边上的点D重合，过点E的反比例函数y＝ (k＞0)的图象与
边AB交于点F，求点F的坐标。
答案：由题意知，AD＝AB＝10，AO＝8，由勾股定理可求OD＝6，则CD＝4，设CE＝x，则DE＝BE＝8－x，在Rt△DCE中，CD2＋CE2＝DE2，即x2＋42＝(8－x)2，解得x＝3，∴E(10，3)，设F(a，8)，则10×3＝8a，∴a＝，∴F(，8)。
针对练习6
1.如图，A(2，3)是双曲线y＝ (x＞0)上的一点，P为x轴正半轴上一点，将点A绕点P顺时针旋转90°，恰好落在双曲线上的另一点B，求点P的坐标。
答案：设P(t，0)，过点A作AM⊥x轴于点M，过B作BN⊥x轴于点N，则△APM≌△PBN，∴PN＝AM＝3，BN＝PM＝t－2，∴B(t＋3，t－2)，又∵点A，B在y＝上，∴(t＋3)(t－2)＝6，∴t1＝－4，t2＝3，∵t＞0，t＝3，∴P(3，0)
2.如图，已知点A(2，2)，P(0，a)是y轴上一点，连接PA，将线段PA绕点P逆时针旋转90°得线段PA’，若线段PA’与反比例函数y＝－ (x＜0)的图象有公共点，求a的取值范围。
答案：当点A’恰好落在反比例函数y＝－ (x＜0)的图象上时，过点A’作A’D⊥y轴于点D，过点A作AB⊥y轴于点B，则△A’PD≌△PAB，∴A’ D＝PB＝2－a，PD＝AB＝2，OD＝2＋a，∴A’(a－2，a＋2)，∴(a－2)(a＋2)＝－3，∴a＝士1，∴点A'的横坐标为一1或一3，均符合题意，∵线段PA’与反比倒函数y＝－ (x＜0)的图象有公共点，∴－1≤a≤1。
3.如图，直线y＝3x－ 3交坐标轴于A，B两点，将△AOB沿AB翻折得到△ACB，点D在AC的延长线上. 且CD＝ 4AC，反比例函数y＝的图象经过点D，求k的值.
解：过点B作BE//AC，交工轴于点E，则∠EBA＝∠BAC＝∠EAB，∴EA＝EB，易求OA＝1，OB＝3，设EA＝ EB＝x，则x2＝(x－1)2 ＋32，解得x＝5，由题意，AC＝AO＝ 1，∵CD＝4AC，∴AD＝ 5AC＝5，∴
AD＝ EB，∴将线段EB向右平移5个单位得线段AD，∴D(5，－ 3)，∴k＝5X(－3)＝－15.
【板块七】反比例函数与图形变换
图形变换的本质是点的变换，解题的关键是根据变换规律，将变换后的关键点的坐标表示出来，再根据条件建立关系式.
【例1】平面直角坐标系中，点 A( －2，0) ，B(0，3)，点P为第二象限内一点，
(1)如图，将线段AB绕点P旋转180*得线段CD，点A与点C对应，试画出图形；
(2)若(1)中得到的点C，D恰好在同－ －个反比例函数y＝ R的图象上，求直线BC的解析式；
(3)若点Q(m ，m)为第四象限的一点，将线段AB绕点Q顺时针旋转90°得到线段EF ，其中点A与点E对应，若点E，F恰好在同一个反比例函数的图象上，直接写出m，n之间的关系式为 。
【解析】 (1)略；
(2)设P(m，n)，则C(2 ＋ 2m， 2n)，D(2m，2n－3)，∵点C，D恰好在同一个反比例函数y＝的图象上， ∴2n(2＋ 2m) ＝ 2m(2n－3)，得2n＝ － 3m，设直线BC的解析式为y＝tx＋3，将C(2 ＋2m，－3m)代入y＝tx＋3中，得(2＋2m)t＋3＝－3m，解得t＝－ ，∴y＝－ x＋3.
(3)由三垂直得，E(m － n，m＋n＋2)，F(m＋3－n，n＋ m)，∴(m－n)(m＋n＋2)＝(m＋3－n)(n＋m)，整理得m＝－5n.
【例2】已知点 A(a，m)在双曲线y＝上且m＜0，过点A作x轴的垂线，垂足为点B.
(1)如图1，当a＝－2时，P(t，0)是x轴上的动点，将点B绕点P顺时针旋转90°至点C.
①若t＝1，直接写出点C的坐标；
②若双曲线y＝ 经过点C，求t的值；
(2)如图2，将图1中的双曲线y＝ (x ＞0)沿y轴折叠得到B双曲线y＝－(x ＜0) ，将线段OA绕点O旋转，点A刚好落在双曲线y＝－(x＜0)上的点D(d，n)处，求m和n的数量关系.
【解析】(1)将xA＝－2代入y＝ 中得：yA＝＝－4，A(－2，－4)，B(－ 2，0)，
①∵t＝1，∴P(1，0)，BP＝1－(－2)＝3，∵将点B绕点P顺时针旋转90°至点C，∴xC＝xP＝1，PC＝BP＝3，∴C(1，3)；
②∵B(－2.0)，P (t，0)，当t＞－2时，由题意知C的坐标为(t，t＋2)，C在y＝ 上，∴t(t＋2)＝8，解得t＝2或t＝－4，又t＞－2，∴t＝2；当t＜－2时，c(t，1＋2)，t(t＋2)＝8，t＝－4或t＝2(舍)，∴t＝2或－4；
(2)过点D作DH⊥y轴于点H，∴OA＝OD，a2＋m2＝d2＋n2，am＝8，dn＝ －8，(a＋m)2＝(d－n)2，(a－ m)2＝(d＋n)2，又a＜0，m＜0，d＜0，n＞0，∴a＋m＝d－n，a－m＝ d＋n或a－m＝－d－n，或，m＋n＝0或，又am＝8，∴－mn＝8，mn＝－8，故m＋n＝0或mn＝－8.
1.在平面直角坐标系中，点A(a，0)为x轴上一动点，点M的坐标为(1，－1)，点N的坐标为(3，－4)，连接AM，MN，点N关于直线AM的对称点为点N'.
(1)若a＝2，在图1中画出线段MN关于直线AM的对称图形MN'(保留作图痕迹)，直接写出点N'的坐标为 ；
(2)若a＞0，连接AN，AN' ，当点A运动到∠N'AN＝90°时，点N'恰好在双曲线y＝上(如图2)，求k的值；
(3)点A在x轴上运动，若∠N' MN＝90° ，此时a的值为 。
解：(1)N'(－ 2，1)。提示：取点B(3，1)。则BN⊥x轴，M、A、B三点在同一条直线上，
(2)由AN，AN'垂直且相等。可构建三垂直全等得N'(a－4，a － 3)，∴k＝(a－4)(a－3)＝a2 －7a＋ 12，∴MN＝ MN'，由勾股定理得(a－5)2＋(a－ 2)2＝ 13，∴a2－ 7a＋8＝0，∴12－ k＝8，∴k＝4；
(3)－4或.由∠NMN＝90°，构建三垂直全等得N(4，1)或N’(－ 2，－3)。∵直线AM过N N’的中点C，且点C的坐标为（，－ ）或（，），∴直线AM的解析式为y＝－x－或y＝5x－ 6，令y＝0，分别求得A(－4，0)或A(，0)。
【板块八】 反比例函数与定值、最值
通过采取解析法求定值，建立二次函数模型求最值.
题型一 反比例函数与定值
【例1】如图，点 C(6，1)，D(1 ，6)在双曲线y＝的图象上，点T在双曲线第－象限上(不同于C，D)，直线TC，TD分别交y轴于E，F，则OF－OE的值是 .
【解析】 OF－OE＝5. 理由如下：设点T(m，)，由D(1，6)得直线TD的解析式：y＝－x＋＋6，∴OF＝＋6.由C(6，1)得直线TC的解析式：y＝－x＋＋1，∴OE＝＋1，∴OF－OE＝5.
题型二 反比例函数与最值
【例2】如图，双曲线 y＝的第一象限的分支上一动点P，点A(－2，－2)，B(2，2)，则PA－ PB的值为
。
【解析】方法1：设点P(m，)，则PA＝＝m＋＋2，同理PB＝ m＋－2，
∴PA－PB＝4.
方法2：特殊位置法.
【例3】如图 ，在平面直角坐标系中，直线AB：y1＝x＋m与双曲线C：y2＝ 相交于A，B两点，其中点A(2，5)，AC⊥y轴于点C.
(1)求直线与双曲线的解析式；
(2)直接写出x＜2时，反比例函数值y2的取值范围；
(3)点E为点B下方直线AB上一动点，直线EF⊥AB，分别与直线AB，双曲线C及y轴交于E，F，G三点，求EF· FG的最大值.
【解析】 (1)y1＝x＋3，y2＝ ；
(2)y2＜0或y2＞5；
(3)作EI⊥y轴于点I，FJ⊥y轴于点J，FH⊥EI于点H，
设E(t，1＋3)，易得B(－5，－2)。由t＜－ 5，F(m，)，EH＝HF，
则t＋3－＝m－t，得t＝＋－，
E（＋－，＋＋），EFFG＝HE·HI＝2(xF－xE)(－xF)＝2(－xF2＋xE·xF)
＝－2m2＋2m(＋－)＝－m2＋3m＋10＝－(m＋)2＋，
当m＝－时，（EF·FG）最大＝，此时，t＝－＜－5，（EF·FG）最大＝。
1.如图，若直线y＝ －x＋m与反比例函数y＝(x＞0)的图象相交于两个不同点E，F(点E在点F的左边)，与y轴相交于点M。
(1)m的取值范围为 ；
(2)求ME·MF的值。
解：(1)设y－－x＋m代入y＝－中，－x＋m＝，整理，得x2－mx＋4＝0，∴，解得m＞4；
(2)过点E，F分别作y轴的垂线，垂足分别为G，H。由y＝－x＋m，可知∠MEG＝∠MFH＝45°，
∴ME＝GE，MF＝HF。由y＝－x＋m＝，得x2－mx＋4＝0，∴xE·xF＝4，∴ME·MF＝xE·xF＝2 xE·xF＝8.
2.如图，已知反比例函数y＝和一次函数y＝x＋6的图象有一个交点为P(－2，m).
(1)求反比例函数解析式；
(2)若过点P的直线l与反比例函数y＝的图象只有一个交点，求直线l的解析式；
(3)点Q是双曲线在第四象限这一分支上的动点，过点Q作直线，使其与双曲线y＝只有一个公共点，且与x轴，y轴分别交于点C，D，直线y＝x＋6与x轴，y轴分别交于点A，B，求四边形ABCD面积的最小值.
解：(1)将P(－ 2，m)代入y＝x＋6，得m＝3，∴P(－2，3)，代入y＝得k＝－2×3＝－6，∴y＝－。
(2)①当l//x轴时，直线l为y＝3；②当l//y轴时，直线l为x＝－2；
③当直线l与坐标轴不平行时，∵过P(－2，3)，∴可设解析式为y＝ax＋2a＋3，由得，
ax2＋(2a＋3)x＋6＝0，依题意得，Δ＝(2a＋3)2－24a＝(2a－3)2＝0，∴a＝，
综上，直线l为的解析式为y＝3或x＝－ 2或y＝x＋6.
(3)设Q(t，－)，lCD：y＝px－tp－，由，得px2－(tp＋)x＋6＝0，
∴Δ＝(tp＋)2－24p＝(tp－)2＝0，∴p＝，∴lCD：y＝x－，D（0，），C（2t，0），
∴AC＝2t＋4，BD＝6＋ ，∴S四边形ABCD＝ AC·BC＝ (2t＋4)( 6＋ )＝6(－)2＋48，
∴当t＝2时，Smin＝48.
第19讲 反比例函数
知识导航
1.反比例函数的定义和解析式；2.反比例函数的图象和性质；
3.反比例面数与方程及不等式；4.反比例函教与神奇的几何性质；
5.反比例函数与直线y＝a或x＝a；6.反比例函数与全等相似；
7.反比例函数与图形变换；8.反比例函数与定值及最值。
【板块一】反比例函数的定义和解析式
方法技巧
根据定义解题
1.定义：一般地，形如（k为常数，k≠0）的函数，叫做反比例函数，其中x是自变量，y是函数.自变量x的取值范围是不等于0的一切实数.
2.解析式：（k≠0）或xy＝k（k≠0）或 （k≠0）.
题型一根据定义判断反比例函数
【例1】下列函数：① ；@；③；④；⑤；
⑥ ；⑦； ⑧；⑨ .其中y是x的反比例函数的有 （填序号）.
【解析】②③④⑦⑧.
题型二根据定义确定k值或解析式
【例2】（1）反比例函数 ，化为的形式，相应的k＝ ；
（2）函数中，当x＝2时，y＝3，则函数的解析式为
【解析】（1） ；（2）.
题型三根据定义确定待定系数的值
【例3】（1）如果函数 是关于x的反比例函数，则m的值为
（2）若函数 （m为常数）是关于x的反比例函数，求m的值及函数的解析式。
【解析】（1）－1；（2）m＝2，y＝4x.
针对练习1
1.下列函数中，为反比例函数的是（B）
A. B. C. D.
答案：B
2.反比例函数y＝一化为的形式后，相应的k＝
答案：
3.若关于x的函数 是反比例函数，求m的值
答案：3.
【板块二】反比例函数的图象和性质
式
抓住反比例函数的性质并结合图象解题
一般地，对于反比例函数，由函数图象，并结合解析式，我们可以发现：
1.图象分布
当k＞0时，x，y （同号或异号），函数图象为第 象限的两支曲线；当k＜0时，x，y （同号或异号），函数图象为第 象限的两支曲线。因此反比例函数的图象也叫做双曲线.
答案：同号；一三；异号；二四.
2.对称性
若点（a，b）在反比例函数的图象上，则点 ， ， 也在此图象上，故反比例函数的图象关于直线 ， 对称，关于点 成中心对称。
答案：（b，a），（－b，－a），（－a，－b）；y＝x，y＝－x；（0，0）
3.增减性
当k＞0时，在每一个象限内，y随x的增大而 ；
当k＜0时，在每一个象限内，y随x的增大而 。
答案：减小；增大
题型一反比例函数的增减性
【例1】在反比例函数 的图象上有两点A（x1，y1），B（x2，y2），若x1＜0＜x2，y1＞y2，则m的取值范围是（）
A. B. C. D.
【解析】A.根据条件x1＜0＜x2，y1＜y2，可判断其围象位于二、四象限，∴1－8m＜0，∴m＞
【例2】已知反比例函数 .
（1）画出这个反比例的图象；
（2）当－6≤x＜－2时，y的取值范围是 ；
（3）当 时，x的取值范围是 .
【解析】（1）图略；（2）1≤y＜3；（3）－2＜x＜0或0＜x≤2.
题型二反比例函数的圈象的对称性
【例3】如图，直线y＝ax（a≠0）与双曲线交于A，B两点，试说明A.B两点关于原点对称.
【解析】联立得ax2－k＝0，∴xA＋xB＝0，过A，B两点分别作x轴的垂线，由全等即可得OA＝OB，∴A，B两点关于原点对称。
题型三反比例函数的图象与系数的关系
【例4】如图，反比例函数①，②，③，④的部分图象如图所示，则k1，k2，k3，k4的大小关系是
【解析】k1＜k2＜k3＜k4.越大，其图象离坐标原点越远。
题型四反比例函数中k的几何意义
如图，过双曲线上任意一点P作x轴，y轴的垂线段PM，PN，则所得的矩形PMON的面积 ，即在反比例函数的图象上任取一点向两坐标轴作垂线段，则两垂线段与两坐标轴所围成的矩形的面积等于，且这个面积的值与取点的位置无关.
特别地，S△PMO＝S△PNO＝.
【例5】如图，平行于x轴的直线AB与双曲线和在第一象限内交于A，B两点，若S△OAB＝2，求k1－k2的值.
【解析】延长AB交y轴于点C，则k1－k2＝4.
【例6】如图，直线 与双曲线交于A，B两点，且点A的横坐标为－4.
（1）求k的值；
（2）过原点的另一直线交双曲线于P，Q两点，点P在第二象限。若A，B，P，Q四点组成的面积为24，求P的坐标.
【解析】（1）A（－4，2），k＝－8；
（2）易知四边形APBQ是平行四边形，∴S△APO ＝6，过点A作AD⊥x轴于点D，过点P作PE⊥x轴于点E，设P（a， ），则 ，∴a1＝8，a2＝－2，∵点P在第二象限，∴a＜0，∴a＝－2，∴P（－2，4）.
1.对于反比例函数y＝，下列说法正确的是( )
A.图象经过点(1，－3) B.图象在第二、四象限
C.y随x的增大而减小 D.x＜0时，y随x增大而减小
答案：D.
2.在同一平面直角坐标系内画出函数y＝kx＋1和函数y＝(k≠0)的图象大致是( )
答案：B.
3.反比例函数y＝(a为常数)的图象上有三个点(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)，其中x1＜x2＜0＜x3，则y1，y2，y3的大小关系是___________.
答案：y2＜y1＜y3.
4.如图，点A是反比例函数y＝(x＜0)的图象上一点，过点A作AB⊥x轴于点B，点P是y轴负半x轴上一点，△ABP的面积为1，求k的值.
答案：
连接AO，∵AB∥y轴，∴S△ABP＝S△ABO＝1，∴|k|＝1，∴k＝－2.
5.点A(a，y1)，B(2a，y2)是反比例函数y＝(k＞0)的图象上的两点.
(1)比较y1与y2的大小关系；
(2)若A，B两点在一次函数y＝－x＋b位于第一象限的图象上(如图所示)，分别过A，B两点作x轴的垂线，垂足分别为点C，D，连接OA，OB，且S△OAB＝8，求a的值；
(3)在(2)的条件下，如果3m＝－4x＋24，3n＝，求使得m＞n的x的取值范围.
答案：
(1)∵A，B是反比例函数y＝(k＞0)图象上的两点，∴a≠0，当a＞0时，点A，B在第一象限，由a＜2a可知，y1＞y2，同理，a＜0时，y1＜y2；
(2)∵A(a，y1)，B(2a，y2)在反比例函数y＝(k＞0)的图象上，∴AC＝y1＝，BD＝y2＝，
∴y1＝2y2.又∵点A(a，y1)，B(2a，y2)在一次函数y＝－x＋b的图象上，∴y1＝－a＋b，y2＝－a＋b，∴－a＋b＝2(－a＋b)，∴b＝4a，∵S△AOC＋S梯形ACDB＝S△AOB＋S△BOD，又∵S△AOC＝S△BOD，∴S梯形ACDB＝S△AOB，【(－a＋b)＋(－a＋b】a＝8，∴a2＝4，∵a＞0，∴a＝2.
(3)由(2)得，一次函数的解析式为y＝－x＋8，反比倒函数的解析式为y＝，A，B两点的横坐标分别为2，4，且m＝－x＋8，n＝，因此使得m＞n的x的取值范围就是反比例函数的图象在一次函数图象下方的点中横坐标的取值范围，从图象可以看出2＜x＜4或x＜0.
【板块三】反比例函数与方程、不等式
方法技巧
根据直线与双曲线的交点并结合图象解题
◆题型一反比例函数与方程
【例1】如图，直线y＝－x＋5与双曲线y＝交于A，B两点.
(1)求A，B两点的坐标；
(2)将直线AB向左平移n个单位长度，若平移后直线AB与双曲线有唯一公共点，求n的值.
答案：
(1)A(1，4)，B(4，1)；
(2)将直线AB向左平移n个单位长度后其解析式为y＝－(x＋n)＋5，联立y＝，y＝－(x＋n)＋5，得x2＋(n－5)x＋4＝0，依题意，△＝(n－5)2－4×1×4＝0，解得n＝1或9.
【例2】直线y＝2x＋4与反比例函数y＝的图象交于A，B两点，直线y＝m(m＞0)与直线AB相交于点M，与反比例函数的图象相交于N，若MN＝4，求m的值.
答案：
∵点M在直线AB上，∴M(，m)，∵点N在反比例函数y＝的图象上，所以N(，m)，MN＝xN－xM＝－＝4或MN＝xM－xN＝－＝4，∵m＞0，∴m＝2或m＝6＋4.
题型二反比例函数与不等式
【例3】如图，一次函数y＝－x＋4与反比例函数y＝(m＞0，x＞0)的图象交于A，B两点，与x轴，y轴分別相交于C，D两点.如果点A的横坐标为1，利用函数图象求关于x的不等式4－x＜的解集.
答案：
当x＝1时，y＝3，∴A(1，3)代入y＝，得m＝3，y＝，联立y＝4－x，y＝，得B(3，1)，∴原不等式的解集为0＜x＜1或x＞3.
◆题型三反比例函数.与数形结合比较大小
【例4】如图，直线y＝2x＋4与反比例函数y＝的图象相交于A(－3，a)和B两点.
(1)求A，B两点的坐标；
(2)直接写出不等式≤2x＋4的解集.
答案：
(1)A(－3，－2)，B(1，6)；(2)－3≤x＜0或x≥1.
【例5】如图，双曲线y＝(x(k＞0)与直线y＝－x＋4相交于A，B两点.
(1)当k＝6时，求点A，B的坐标；
(2)在双曲线y＝(k＞0)的同一支上有三点C(x1，y1)，D(x2，y2)，P(，y0)，请你借助图象，直接写出y0与的大小关系；
(3)点M(x1，y1)，N(x2，y2)是双曲线y＝(x＞0)上任意两点，s＝，t＝，试比较s与t的大小.
答案：
(1)A(2，3)，B(6，1)；
(2)当x1＞0时，y0＜；当x1＜0时，y0＞.
(3)若线段MN的中点为Q，则点Q的坐标为(，)，过点Q作QR∥y轴交双曲线于点R，则点R的坐标为(，)，观察图象可知＞，∴s＞t.
【例6】当1≤x≤4时，直线y＝－2x＋b与双曲线y＝只有一个公共点，则b的取值范围是_______.
答案：b＝4或6＜b≤9.
【解析】①当直线y＝－2x＋b过点(1，4)时，－2＋b＝4，b＝6；②当直线y＝－2x＋b过点(4，1)时，－8＋b＝1，b＝9；③当直线y＝－2x＋b与y＝相切时，联立＝－2x＋b，得2x2－bx＋4＝0，△＝b2－4×2×4＝0，∴b1＝4，b2＝－4(舍)，由图象可知，b＝4或6＜b≤9.
1.如图，在平面直角坐标系中，直线AB：y1＝x＋m与双曲线C：y2＝相交于A(2，5)，B两点.
(1)求点B的坐标；
(2)当y1＞y2时，x的取值范围是___________；
(3)当x＜2时，y2的取值范围是___________.
答案：
(1)B(－5，－2)；(2)x＞2或－5＜x＜0；(3)y2＜0或y2＞5.
2.如图，一次函数y1＝x＋1的图象与反比例函数y2＝(k为常数，且k≠0)的图象都经过点A(m，2).
(1)求点A的坐标及反比例函数的表达式；
(2)结合图象直接写出当x＞0时，比较y1和y2的大小；
(3)直接写出不等式≤x＋1的解集.
答案：
(1)将A(m，2)代入y1＝x＋1得m＝1，∴A(1，2)，将A(1，2)代入y2＝，得k＝2，∴y2＝；
(2)当0＜x＜1时，y1＜y2；当x＝1时，y1＝y2；当x＞1，y1＞y2；
(3)－2≤x＜2或x≥3.
3.如图，一次函数y1＝x＋5的图象与反比例函数y2＝的图象交于A，B两点.当x＞1时，y1＞y2；当0＜x＜1时，y1＜y2.
(1)直接写出反比例函数y2的解析式；
答案：
∵当x＞1时，y1＞y2；当0＜x＜1时，y1＜y2，∴A点的横坐标是1，纵坐标为y＝1＋5＝6，∴A(1，6)，代入y2＝，可得k＝xy＝6，∴y2＝；
(2)过点D(t，0)(t＞0)作x轴的垂线，分别交双曲线y2＝和直线y1＝x＋5于P，Q两点.若PQ＝3PD时，求t的值.
答案：
当PQ＝3PD时，直线PQ在点A的右侧，
∵直线PQ分别交双曲线y2＝和直线y1＝x＋5于P，Q两点，
∴P(t，)，Q(t，t＋5)，∵PQ＝3PD，∴t＋5－＝3×，解得t1＝3，t2＝－8(舍去)，
∴t的值为3.
【板块四】反比例函数与神奇的几何性质
方法技巧
根据反比例函数k的意义结合全等、相似或参数思想、根系关系，可得出反比例函数一些重要几何性质，在解题中可运用这些重要性质，从而大大提高解题效率.
性质一 如图，直线AB：y＝mx＋n交x轴于点A，交y于点B，交双曲线y＝于C，D两点.
求证：AC＝BD.
答案：
证明：证法一：(利用根系关系得全等)过点C作CE⊥x轴于点E，过点D作DF⊥y轴于点F，联立y＝mx＋n，y＝，得mx2＋nx－k＝0，则有xC＋xD＝－.易知A(－，0)，∴xC＋xD＝OA，可得DF＝AE.∴△ACE≌△DBF，∴AC＝BD.
证法二：(利用k的意义得相似)过点C作CE⊥x轴于点E，CM⊥y轴于点M，过点D作DF⊥y轴于点F，DN⊥x轴于点N.∵xD×yD＝xC×yC＝k，∴DF·DN＝CM·CE，∴＝，∴＝，等式两边同时减1，得＝，∴AC＝BD.
【例1】如图，直线y＝x＋6交x轴于点A，交y轴于点B，交双曲线y＝于点C，D，若CD＝2(AC＋BD)，则k的值为__________.
答案： －5.
【解析】过点C作CE⊥x轴于点E，由性质可得AC＝BD，∵CD＝2(AC＋BD)，∴CD＝4AC，∴AB＝6AC，∴CE＝OB＝×6＝1，同理AE＝1，∴OE＝5，∴C(－5，1)，∴k＝－5×1＝－5.
性质二 如图1，A，B为双曲线y＝上任意两点，AC⊥y轴于点C，BD⊥x轴于点D，直线AC，BD交于点E.求证：①AB∥CD；②＝.
答案：
证法一：(面积法)连接AD，BC，则S△ACD＝S△BCD＝|k|.
∴①AB∥CD；②＝.
证法二：(相似法)利用xA×yA＝xB×yB＝k，可得AC×DE＝BD×CE，进而得＝，∴△ABE∽△CDE，∴①AB∥CD；②＝.
变式1：如图2，AC⊥x轴于点C，BD⊥y轴于点D，AC，BD交于点E，求证：①AB∥CD；②＝。
答案：
①设A点坐标为（n，），B点坐标为（m，），∴C（n，0），D（0，），∴AB（m－n，－），CD（－n，），∵＝－＝，∴AB∥CD；
②证△ABE∽△CDE，∴＝，∵＋1＝，＋1＝，∴＝
变式2：如图3，A，B为双曲线y＝上任意两点，AC⊥y轴于点C，BD⊥x轴于点D，直线AC，BD交于点E。求证：①AB∥CD；②＝。
答案：证法同上
【例2】如图，双曲线y＝经过矩形OABC边AB的中点F，交BC于点E，且四边形OEBF的面积为2，则k＝ 。
答案：2
解析：过点E作EH⊥x轴于点H，∵点F为AB中点，则点E为BC边的中点，可得S四边形OEBF＝S矩形OABC＝S矩形OCEH＝k，∴k＝2
【例3】如图，点P为双曲线y＝ (x＞0)上一点，PA⊥x轴于点A，PB⊥y轴于点B，PA，PB分别交双曲线y＝上(x＞0)于C，D两点，若S△PCD＝1，则k＝ 。
答案：4
解析：设点P(a，)，则点C(a，)，D(,)，∴S△PCD＝××(a－)＝＝1，∴k1＝4，k2＝12（舍），∴k＝4
性质三：如图，直线AB与双曲线y＝只有唯一公共点A，且AB与y轴不平行，AB交x轴于点B，连接OA，求证：OA＝AB。
答案：
证明：(解析法)过点A作AH⊥x轴于点H，设点A(a，)，LAB：y＝m(x－a)＋，联立得mx2＋(－am)x－k＝0，依题意△＝(－am)2＋4mk＝(＋am)2＝0，∴m＝－，∴y＝－x＋，∴B(2a，0)，∴OH＝BH＝a，∴OA＝AB
性质四：如图，直线y＝mx交双曲线y＝于A，B两点，点P为双曲线上一点，直线PA，PB分别交x轴于M，N两点，求证：PM＝PN。
答案：
证明：(解析法)设点A(a，)，B(－a，－)，P(b，)，由待定系数法可得lPA：y＝－x＋，lPB：y＝x＋，∴xM＝b＋a，xN＝b－a，∴xM＋xN＝2xP，可得PM＝PN。
【例4】(2018十堰中考)如图，直线y＝－x与反比例函数y＝的图象交于A，B两点，过点B作BD∥x轴，交y轴于点D，直线AD交反比例函数y＝的图象于另一点C，求的值。
答案：
解析：(解析法)过点A，C分别作y轴的垂线，垂足分别为点E，F，设点A(a，－a)，则B(－a，a)，D(0，a)，由待定系数法得lDA:y＝－2x＋a，联立得2x2－ax＋k＝0，∴xA＋xC＝，∵xA＝a，∴xC＝－a＝，∴点C在BD的垂直平分线上，∴CB＝CD，由面积法可得＝＝＝，∴CB＝CD＝CA，∴＝＝.
针对练习4
1.如图，点A，B分别是双曲线y＝和y＝第一象限分支上的点，且AB∥y轴，BC⊥y轴于点C，则AB·BC＝ 。
答案：2
解析：方法一：利用k的几何意义——面积法求，延长AB交x轴于点E，过点A作y轴的垂线，垂足为F，AB·AC＝S矩形ABCF－S矩形BEOC＝4－2＝2.
方法二：设点A坐标，分别表示出点B，C坐标，运用参数进行计算。
2.如图，直线y＝－x＋b与y轴交于点A，与双曲线y＝在第一象限交于B，C两点，且AB·AC＝4，则k＝ 。
答案：
解析：斜化直，线段转坐标。设直线AB交x轴于点D则由性质可得AB＝CD，∴AC＝BD，由条件知∠OAD＝30°，∴AB＝2xB，AC＝BD＝yB，∴AB·AC＝2xB·yB＝xB·yB＝4，∴k＝xB·yB＝。
3.如图，△OAC的顶点A在双曲线y＝上，点C在x轴上，OA交双曲线y＝上于点B，直线AC与双曲线y＝是只有唯一公共点，且AC与y轴不平行，则S△ABC＝ 。
答案：6
解析：设A(a，)，OA解析式为y＝x，可得B(，)，易得直线AC解析式为y＝－x＋，可得AO＝AC，∵＝＝＝，∴S△ABC＝S△AOC＝×9＝6。
4.如图1，直线y＝－2x＋6交x轴于点B，交y轴于点A，直线AB与双曲线y＝ (k＜0)交于C，D两点，CE⊥x轴于点E，DF⊥x轴于点F。
(1)若k＝－8，求CD的长；
(2)求CE一DF的值；
(3)如图2，P是双曲线y＝ (k＜0)上第二象限上一动点，PG⊥x轴于G，交双曲线y＝ (k＜0)于M，PH⊥y轴于H，交y＝ (k＜0)于N，请直接写出MN的最小值为 。(用含k的式子表示)
答案：
(1)∴C(－1，8)，D(4，－2)，CD＝5；
(2)联立得2x2－6x＋k＝0，xC＋xD＝3，∴yC＋yD＝－2xC＋6－2xD＋6＝－2×3＋12＝6，CE＝yC，DF＝－yD，∴CE－DF＝yC＋yD＝6；
(3) (提示：MN＝GH)。
【板块五】反比例函数与直线x＝a或y＝a
方法技巧
此类问题一般可用a表示相关点的坐标，从而表示出相关线段长，将几何问题坐标化，解题时注意情况不明时需分类讨论。
【例1】如图在平面直角坐标系xOy中，直线y＝2x＋n与x轴，y轴分别交于点A，B，与双曲线y＝在第一象限内交于点C(1，m)，过x轴正半轴上的点D(a，0)作平行于y轴的直线l，分别与直线和双曲线y＝交于点P，Q，且点P不与点Q重合。
(1)求m和n的值；
(2)当a＞1，PQ＝2QD时，求△APQ的面积；
(3)连接CQ，当CP＝CQ时，求a的值。
答案：
(1)m＝4，n＝2；
(2)在y＝2x＋2中，今y＝0，则x＝－1，∴A(－1，0)，∵D(a，0)，l∥y轴，∴P(a，2a＋2)，Q(a，)。∵PQ＝2QD，∴2a＋2－＝2×，解得：a＝2，a＝－3。∵P，Q在第一象限，∴a＝2，∴PQ＝4，又∵AD＝3，S△APQ＝×4×3＝6；
(3)过点C作CM⊥PQ于点M，∵CP＝CQ，∴PM＝MQ，设P(a，2a＋2)，Q(a，)，M(a，4)，则2a＋2＋＝8，解得a＝2或a－1(舍)，∴a＝2。
针对练习5
1.如图，直线l：y＝x＋3与双曲线y＝左在第一象限内交于点A(a，6)。
(1)求双曲线的解析式；
(2)直线x＝t(t＞0且t≠2)分别交直线l，双曲线y＝于C，D两点，连接AD，若AC＝AD，请直接写出t的值。
答案：
(1)∵点A(a，6)在直线y＝x＋3上，∴a＋3＝6，∴a＝2，∴A(2，6)，又A在双曲线y＝上，∴＝6，∴k＝12，即双曲线的解析式为y＝。
(2)t＝4。理由如下，设C(t，t＋3)，D(t，)，则AC2＝(t－2)2＋(t＋3－6)2＝(t－2)2，AD2＝(t－2)2＋(－6)2＝(1＋)(t－2)2，由AC＝AD，有AC2＝AD2，∴ (t－2)2＝(1＋)(t－2)2，∵t≠2，∴＝1＋，∴t＝4或t＝－4(舍)，∴t＝4
【板块六】反比例函数与全等及勾股定理
利用全等、相似将线段关系转化为坐标关系，实现“几何问题坐标化”。
题型一 反比例函数与全等
例1：如图，点A是双曲线y＝在第一象限上的一动点，连接AO并延长交另一分支于点B，以AB为斜边作等腰Rt△ABC，随着点A的运动，点C的位置也不断地变化，但始终在一函数图象上运动，则这个函数的解析式为 。
答案：y＝－ (x＜0)
解析：连接OC，过点A，C分别作x轴的垂线构造三垂直全等。
例2：(2018原创题)如图，点A(2，4)，B均为双曲线y＝在第一象限上的点，且∠AOB＝45°，求点B的坐标。
答案：过点A作AD⊥OA交OB延长线于点D，作AE⊥y轴于点E，DF⊥AE于点F，则
△ADF≌△QAE，∴AF＝OE＝4，DF＝AE＝2，∴D(6，2)，∴lOD：y＝x，∵A(2，4)，∴y＝，联立，得B(2，)。
题型二 反比例函数与勾股定理
例3：如图，矩形ABCO的顶点B(10，8)，点A，C在坐标轴上，E是BC边上一点，将△ABE沿AE折叠，点B刚好与OC边上的点D重合，过点E的反比例函数y＝ (k＞0)的图象与
边AB交于点F，求点F的坐标。
答案：由题意知，AD＝AB＝10，AO＝8，由勾股定理可求OD＝6，则CD＝4，设CE＝x，则DE＝BE＝8－x，在Rt△DCE中，CD2＋CE2＝DE2，即x2＋42＝(8－x)2，解得x＝3，∴E(10，3)，设F(a，8)，则10×3＝8a，∴a＝，∴F(，8)。
针对练习6
1.如图，A(2，3)是双曲线y＝ (x＞0)上的一点，P为x轴正半轴上一点，将点A绕点P顺时针旋转90°，恰好落在双曲线上的另一点B，求点P的坐标。
答案：设P(t，0)，过点A作AM⊥x轴于点M，过B作BN⊥x轴于点N，则△APM≌△PBN，∴PN＝AM＝3，BN＝PM＝t－2，∴B(t＋3，t－2)，又∵点A，B在y＝上，∴(t＋3)(t－2)＝6，∴t1＝－4，t2＝3，∵t＞0，t＝3，∴P(3，0)
2.如图，已知点A(2，2)，P(0，a)是y轴上一点，连接PA，将线段PA绕点P逆时针旋转90°得线段PA’，若线段PA’与反比例函数y＝－ (x＜0)的图象有公共点，求a的取值范围。
答案：当点A’恰好落在反比例函数y＝－ (x＜0)的图象上时，过点A’作A’D⊥y轴于点D，过点A作AB⊥y轴于点B，则△A’PD≌△PAB，∴A’ D＝PB＝2－a，PD＝AB＝2，OD＝2＋a，∴A’(a－2，a＋2)，∴(a－2)(a＋2)＝－3，∴a＝士1，∴点A'的横坐标为一1或一3，均符合题意，∵线段PA’与反比倒函数y＝－ (x＜0)的图象有公共点，∴－1≤a≤1。
3.如图，直线y＝3x－ 3交坐标轴于A，B两点，将△AOB沿AB翻折得到△ACB，点D在AC的延长线上. 且CD＝ 4AC，反比例函数y＝的图象经过点D，求k的值.
解：过点B作BE//AC，交工轴于点E，则∠EBA＝∠BAC＝∠EAB，∴EA＝EB，易求OA＝1，OB＝3，设EA＝ EB＝x，则x2＝(x－1)2 ＋32，解得x＝5，由题意，AC＝AO＝ 1，∵CD＝4AC，∴AD＝ 5AC＝5，∴
AD＝ EB，∴将线段EB向右平移5个单位得线段AD，∴D(5，－ 3)，∴k＝5X(－3)＝－15.
【板块七】反比例函数与图形变换
图形变换的本质是点的变换，解题的关键是根据变换规律，将变换后的关键点的坐标表示出来，再根据条件建立关系式.
【例1】平面直角坐标系中，点 A( －2，0) ，B(0，3)，点P为第二象限内一点，
(1)如图，将线段AB绕点P旋转180*得线段CD，点A与点C对应，试画出图形；
(2)若(1)中得到的点C，D恰好在同－ －个反比例函数y＝ R的图象上，求直线BC的解析式；
(3)若点Q(m ，m)为第四象限的一点，将线段AB绕点Q顺时针旋转90°得到线段EF ，其中点A与点E对应，若点E，F恰好在同一个反比例函数的图象上，直接写出m，n之间的关系式为 。
【解析】 (1)略；
(2)设P(m，n)，则C(2 ＋ 2m， 2n)，D(2m，2n－3)，∵点C，D恰好在同一个反比例函数y＝的图象上， ∴2n(2＋ 2m) ＝ 2m(2n－3)，得2n＝ － 3m，设直线BC的解析式为y＝tx＋3，将C(2 ＋2m，－3m)代入y＝tx＋3中，得(2＋2m)t＋3＝－3m，解得t＝－ ，∴y＝－ x＋3.
(3)由三垂直得，E(m － n，m＋n＋2)，F(m＋3－n，n＋ m)，∴(m－n)(m＋n＋2)＝(m＋3－n)(n＋m)，整理得m＝－5n.
【例2】已知点 A(a，m)在双曲线y＝上且m＜0，过点A作x轴的垂线，垂足为点B.
(1)如图1，当a＝－2时，P(t，0)是x轴上的动点，将点B绕点P顺时针旋转90°至点C.
①若t＝1，直接写出点C的坐标；
②若双曲线y＝ 经过点C，求t的值；
(2)如图2，将图1中的双曲线y＝ (x ＞0)沿y轴折叠得到B双曲线y＝－(x ＜0) ，将线段OA绕点O旋转，点A刚好落在双曲线y＝－(x＜0)上的点D(d，n)处，求m和n的数量关系.
【解析】(1)将xA＝－2代入y＝ 中得：yA＝＝－4，A(－2，－4)，B(－ 2，0)，
①∵t＝1，∴P(1，0)，BP＝1－(－2)＝3，∵将点B绕点P顺时针旋转90°至点C，∴xC＝xP＝1，PC＝BP＝3，∴C(1，3)；
②∵B(－2.0)，P (t，0)，当t＞－2时，由题意知C的坐标为(t，t＋2)，C在y＝ 上，∴t(t＋2)＝8，解得t＝2或t＝－4，又t＞－2，∴t＝2；当t＜－2时，c(t，1＋2)，t(t＋2)＝8，t＝－4或t＝2(舍)，∴t＝2或－4；
(2)过点D作DH⊥y轴于点H，∴OA＝OD，a2＋m2＝d2＋n2，am＝8，dn＝ －8，(a＋m)2＝(d－n)2，(a－ m)2＝(d＋n)2，又a＜0，m＜0，d＜0，n＞0，∴a＋m＝d－n，a－m＝ d＋n或a－m＝－d－n，或，m＋n＝0或，又am＝8，∴－mn＝8，mn＝－8，故m＋n＝0或mn＝－8.
1.在平面直角坐标系中，点A(a，0)为x轴上一动点，点M的坐标为(1，－1)，点N的坐标为(3，－4)，连接AM，MN，点N关于直线AM的对称点为点N'.
(1)若a＝2，在图1中画出线段MN关于直线AM的对称图形MN'(保留作图痕迹)，直接写出点N'的坐标为 ；
(2)若a＞0，连接AN，AN' ，当点A运动到∠N'AN＝90°时，点N'恰好在双曲线y＝上(如图2)，求k的值；
(3)点A在x轴上运动，若∠N' MN＝90° ，此时a的值为 。
解：(1)N'(－ 2，1)。提示：取点B(3，1)。则BN⊥x轴，M、A、B三点在同一条直线上，
(2)由AN，AN'垂直且相等。可构建三垂直全等得N'(a－4，a － 3)，∴k＝(a－4)(a－3)＝a2 －7a＋ 12，∴MN＝ MN'，由勾股定理得(a－5)2＋(a－ 2)2＝ 13，∴a2－ 7a＋8＝0，∴12－ k＝8，∴k＝4；
(3)－4或.由∠NMN＝90°，构建三垂直全等得N(4，1)或N’(－ 2，－3)。∵直线AM过N N’的中点C，且点C的坐标为（，－ ）或（，），∴直线AM的解析式为y＝－x－或y＝5x－ 6，令y＝0，分别求得A(－4，0)或A(，0)。
【板块八】 反比例函数与定值、最值
通过采取解析法求定值，建立二次函数模型求最值.
题型一 反比例函数与定值
【例1】如图，点 C(6，1)，D(1 ，6)在双曲线y＝的图象上，点T在双曲线第－象限上(不同于C，D)，直线TC，TD分别交y轴于E，F，则OF－OE的值是 .
【解析】 OF－OE＝5. 理由如下：设点T(m，)，由D(1，6)得直线TD的解析式：y＝－x＋＋6，∴OF＝＋6.由C(6，1)得直线TC的解析式：y＝－x＋＋1，∴OE＝＋1，∴OF－OE＝5.
题型二 反比例函数与最值
【例2】如图，双曲线 y＝的第一象限的分支上一动点P，点A(－2，－2)，B(2，2)，则PA－ PB的值为
。
【解析】方法1：设点P(m，)，则PA＝＝m＋＋2，同理PB＝ m＋－2，
∴PA－PB＝4.
方法2：特殊位置法.
【例3】如图 ，在平面直角坐标系中，直线AB：y1＝x＋m与双曲线C：y2＝ 相交于A，B两点，其中点A(2，5)，AC⊥y轴于点C.
(1)求直线与双曲线的解析式；
(2)直接写出x＜2时，反比例函数值y2的取值范围；
(3)点E为点B下方直线AB上一动点，直线EF⊥AB，分别与直线AB，双曲线C及y轴交于E，F，G三点，求EF· FG的最大值.
【解析】 (1)y1＝x＋3，y2＝ ；
(2)y2＜0或y2＞5；
(3)作EI⊥y轴于点I，FJ⊥y轴于点J，FH⊥EI于点H，
设E(t，1＋3)，易得B(－5，－2)。由t＜－ 5，F(m，)，EH＝HF，
则t＋3－＝m－t，得t＝＋－，
E（＋－，＋＋），EFFG＝HE·HI＝2(xF－xE)(－xF)＝2(－xF2＋xE·xF)
＝－2m2＋2m(＋－)＝－m2＋3m＋10＝－(m＋)2＋，
当m＝－时，（EF·FG）最大＝，此时，t＝－＜－5，（EF·FG）最大＝。
1.如图，若直线y＝ －x＋m与反比例函数y＝(x＞0)的图象相交于两个不同点E，F(点E在点F的左边)，与y轴相交于点M。
(1)m的取值范围为 ；
(2)求ME·MF的值。
解：(1)设y－－x＋m代入y＝－中，－x＋m＝，整理，得x2－mx＋4＝0，∴，解得m＞4；
(2)过点E，F分别作y轴的垂线，垂足分别为G，H。由y＝－x＋m，可知∠MEG＝∠MFH＝45°，
∴ME＝GE，MF＝HF。由y＝－x＋m＝，得x2－mx＋4＝0，∴xE·xF＝4，∴ME·MF＝xE·xF＝2 xE·xF＝8.
2.如图，已知反比例函数y＝和一次函数y＝x＋6的图象有一个交点为P(－2，m).
(1)求反比例函数解析式；
(2)若过点P的直线l与反比例函数y＝的图象只有一个交点，求直线l的解析式；
(3)点Q是双曲线在第四象限这一分支上的动点，过点Q作直线，使其与双曲线y＝只有一个公共点，且与x轴，y轴分别交于点C，D，直线y＝x＋6与x轴，y轴分别交于点A，B，求四边形ABCD面积的最小值.
解：(1)将P(－ 2，m)代入y＝x＋6，得m＝3，∴P(－2，3)，代入y＝得k＝－2×3＝－6，∴y＝－。
(2)①当l//x轴时，直线l为y＝3；②当l//y轴时，直线l为x＝－2；
③当直线l与坐标轴不平行时，∵过P(－2，3)，∴可设解析式为y＝ax＋2a＋3，由得，
ax2＋(2a＋3)x＋6＝0，依题意得，Δ＝(2a＋3)2－24a＝(2a－3)2＝0，∴a＝，
综上，直线l为的解析式为y＝3或x＝－ 2或y＝x＋6.
(3)设Q(t，－)，lCD：y＝px－tp－，由，得px2－(tp＋)x＋6＝0，
∴Δ＝(tp＋)2－24p＝(tp－)2＝0，∴p＝，∴lCD：y＝x－，D（0，），C（2t，0），
∴AC＝2t＋4，BD＝6＋ ，∴S四边形ABCD＝ AC·BC＝ (2t＋4)( 6＋ )＝6(－)2＋48，
∴当t＝2时，Smin＝48.
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