【专项复习】2022年中考数学专项 第22讲 相似三角形的性质（含答案）学案

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第22讲  相似三角形的性质知识导航1.相似三角形的对应边成比例，对应角相等.2.相似三角形对应边的比，对应高的比，对应角平分线的比，对应周长的比等于相似比.3.相似三角形面积的比等于相似比的平方.方法技巧1.利用相似三角形的相似比进行比例转化.2.用函数或方程思想处理相似三角形有关向题.题型一  相似三角形对应边的比等于相似比【例1】从三角形(不是等腰三角形)一个顶点引一条射线与对边相交，顶点与交点之同的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线.(1)如图1，在△ABC中，∠A＝48°，CD是△ABC的完美分割线，且AD＝CD，则∠ACB＝          ；(2)如图2，在△ABC中，AC＝2，BC＝，CD是△ABC的完美分割线，且△ACD是以CD为底边的等腰三角形，求完美分割线CD的长.    【解析】(1)96°；(2)由已知AC＝AD＝2，∵△BCD∽△BAC，∴＝，设BD＝x，∴()2＝x(x＋2)，∵x＞0，∴x＝－1，∵△BCD∽△BAC，∴＝＝，∴CD＝×2＝－.题型二  相似三角形对应高的比等于相似比【例2】一块三角形ABC的空地，BC＝30米，BC边上的高AD＝20米，现计划在这块空地上修建一个矩形游泳池EFGH，使EF在BC边上，H，G分别在AB，AC边上，设EH为x米，矩形的面积为S.(1)求S关于x的函数关系式.并写出自变量的取值范围.(2)别墅区管理处计划投资26000元.若游泳池EFGH毎平方米造价100元，将△BEH和△OGF种植草皮，草皮每平方米40元，将△AHG修建休闲区，每平方米造价80元.请你通过计算说明别墅区管理处对该项目的投资是否够用?【解析】(1)由题意得HG∥BC，AD交HG于点K，∴△AHG∽△ABC，∴＝，＝，解得HG＝－1.5x＋30，∴S＝HG×HE＝－1.5x2＋30x  (0＜x＜20)；(2)游泳池的造价为(－1.5x2＋30x)×100＝－150x2＋3000x，休闲区的造价为×(－1.5x＋30)×(20－x)×80＝60x2－2400x＋24000，草皮的造价为(30－30＋1.5x)×40＝30x2，∴W＝－60x2＋600x＋24000＝－60(x－5)2＋25500，当x＝5时，W有最大值25500元，小于26000元，够用.  题型三  相似三角形面积的比等于相似比的平方【例3】在△ABC和△ADE中，∠BAC＝∠DAE，AB＝2AC，AD＝2AE.若△ABC的面积为32，△ABD的面积为12，求阴影部分图形的面积.【解析】易证△CAE∽△BAD，∴＝()2＝，∵△ABD的面积为12，∴S△ACE＝12×＝3，∵△ABC的面积为32，∴S阴影部分＝S△ABC－S△ACE＝32－3＝29.针对练习1.如图，已知菱形ABCD，AB＝2，点P是边AB延长线上的一点，连接PC并延长交AD的延长线于点Q，连接BQ交CD于点E，连接PD分别交BC，BQ于点F，O，设BP＝x，＝y.(1)用含x的代数式表示DQ；(2)求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；(3)当△FCD与△DCQ相似时，求y的值.解：(1)DQ＝  提示：＝，＝，DQ＝；(2)y＝x2＋x(x＞0)  提示：y＝＝＝，＝，DE＝＝；(3)∵BC∥AD，∴∠BCD＝∠CDQ，∵∠FCD＝∠QDC.①当△FCD∽△CDQ时，∴∠FDC＝∠CQD，＝，∴＝，∴FC＝x，∵BP∥CD，∴△BFP∽△CFD，∴＝，∴＝，∴x＝－1＋或x＝－1－(舍)，∴y＝x2＋x＝(x＋1)2－＝－＝1.②当△FCD∽△QDC时，∴∠FCD＝∠QCD，∴PD∥PQ，而PD与PQ相交于点P，∴矛盾，故此种情况不存在，即：当△FCD与△DCQ相似时，y的值为1. 2.如图，在锐角△ABC中，边BC长为12，高AD长为8.(1)矩形EFGH的边GH在边BC上，其余两个顶点E，F分别在边AB，AC上，EF交AD于点K.①求AK的值；②设EH＝x，矩形EFGH的面积为S，求S与x的函数关系式，并求S的最大值；(2)若AB＝AC，正方形PQMN的两个顶点在△ABC一边上，另两个顶点分别在△ABC的另两边上，直接写出正方形PQMN的边长.    解：(1)①＝；②S＝x(8－x)＝－(x－4)2＋24.当x＝4时，S最大值是24.(2)设正方形PQMN的边长为a.①当正方形PQMN的两个顶点在边BC上时，＝，解得a＝；②当正方形PQMN的两个顶点在边AB或AC上时，∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BD＝CD＝12÷2＝6，∴AB＝AC＝10.边AB或AC上的高等于＝，有(－a)∶a＝∶10，解得a＝.故正方形PQMN的边长为或.  3.如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠ADC＝90°，DE⊥BC于点E，连接AE，FE⊥AE交CD于点F.(1)求证：△AED∽△FEC；(2)若AD＝CD，＝2，求的值.解：(1)略；(2)过点C作CN⊥AB交AB的延长线于点N，过点E作AB的垂线，垂足为G，GE的延长线交CD于点H，延长DE交CN于点M.∵＝＝2.易证A，B，E，F，D五点共圆，且∠AEB＝∠DEF，∴AB＝FD，∴EG＝2EH.∵GB∥CH，∴△EGB∽△EHC，∴＝＝2.设EC＝a，AB＝x，CD＝y，则EB＝2a，可证四边形ADCN是正方形，∴AN＝CN＝CD＝y，NB＝y－x，易证△CNB≌△DCM，∴CM＝BN＝y－x，DM＝BC＝3a，∵∠MCD＝∠MEC，∠CME＝∠CMD，∴△MCE∽△MDC，∴＝，∴＝，∴y2－xy＝3a2  ①.∵CM2＋CD2＝MD2，∴(y－x)2＋y2＝9a2  ②，由①②消去a得x2＋xy－y2＝0，∴x＝y，(或x＝y舍弃)，∴＝·＝.