【专项复习】2022年中考数学专项 第26讲 解直角三角形及其应用（含答案）学案

这是一份【专项复习】2022年中考数学专项 第26讲 解直角三角形及其应用（含答案）学案，共9页。
第26讲  解直角三角形及其应用知识导航1．在直角三角形中，由已知元素(直角除外)求其他所有未知元素的过程，叫做解直角三角形．2．直角三角形边角之间的关系：Rt△ABC中，∠C＝90°，则有：(1)a2＋b2＝c2；(2)∠A＋∠B＝90°；(3)sinA＝cosB＝，cosA＝sinB＝，tanA＝，tanB＝．3．解直角三角形实际应用时常用的概念：(1)仰角、俯角；(2)方向角；(3)坡角、坡度．【板块一】解直角三角形及实际应用方法技巧1．灵活运用边角关系求边与角；2．若所求解的直角三角形“不可直接解”，应注意设元，借助方程来解决；3．如果图形中没有直角时，要添加垂线将其转化为直角三角形求解．▶题型一　可直接解直角三角形【例1】在△ABC中，∠C＝90°，根据下列条件解直角三角形：(1)c＝2，∠A＝30°；(2)a＝3，b＝9；(3)∠A＝2∠B，c－b＝4．【解析】(1)∵∠A＝30°，∠B＝60°．∴a＝csin∠A＝2×＝1．b＝ccos∠A＝2×＝．(2)由勾股定理得c＝＝＝6，∵tan∠A＝＝．∴∠A＝30°．∴∠B＝90°－∠A＝60°．(3)∵∠A＝2∠B，∠A＋∠B＝90，∴∠A＝60°，∠B＝30°．∴c＝20，c－b＝4．∴b＝4，c＝8．∴a＝＝．【点评】在已知条件中，如有针边，用正弦或余孩，无针边时用正切，求边时，要灵活运用三角函教和勾股定理．▶题型二 “不可直接解直角三角形”——设元、借助方程求解【例 2】如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，∠A＝90°，∠B＝120°，AD＝，AB＝6，点E是边AB上一动点，且∠DEC＝120°，求AE的长．【解析】过点C作CH⊥AB交AB的延长线于点H，则CH＝AD＝，∵∠ABC＝120°，∴∠CBH＝60°，∴BH＝＝1，BC＝＝2，又AB＝6,∴CD＝AH＝7．易证△BCE∽△EDC．∴＝，∴CE2＝BE·DC，设BE＝x．∴CE2＝7x．在Rt△CEH中，CE2＝EH2＋CH2＝(x＋1)2＋()2＝7x，∴解得x＝1或4．当x＝1时，AE＝5；当x＝4时，AE＝2．∴AE的长为5或2．▶题型三　“化斜为直“解斜三角形【例3】在△ABC中，AB＝8，∠ABC＝30°，AC＝5，求BC的长．【解析】当△ABC是钝角三角形时，如图1，作AH⊥BC于点H．在Rt△ABH 中．AH＝AB·sin∠ABC＝4．∴BH＝＝．在Rt△AHC中．HC＝＝＝3．∴BC＝4＋3．当△ABC是纯角三角形时，如图2，同上可求得BC＝4－3．综上所述，BC＝＋3或－3．【点评】1．解斜三角形时，要结合已知条件恰当地引垂线，构造可解的直角三角形；2．已如三角形的两边及某中一边的对角(为锐角)，注意分类讨论．▶题型四　方位角、俯角、仰角、坡角等的应用【例4】如图，一般渔船正以60海里/小时的速度向正东方向航行，在A处测得岛礁P在东北方向上，岛礁P正东方向上的避风港继续航行1．5小时后到达B处，此时测得岛礁P在北偏东30°方向，同时测得岛礁Ｐ正东方向上的避风港Ｍ在北偏东60°方向，为了在合风到来之前用最短时间到达M处，渔船立刻加速以75海里/小时的速度继续航行多少小时即可到达？(结果保留根号)【解析】过点P作PQ⊥AB交AB的延长线于点Q．过点M作MN⊥AB交AB的延长线于点N，在直角△AQP中．∠PAQ＝45°，则AQ＝PQ＝60×1．5＋BQ＝90＋BQ，所以BQ＝PQ－90．在直角△BPQ中，∠BPQ＝30°，则BQ＝PQ·tan30°＝PQ，所以PQ－90＝PQ，所以PQ＝45(3＋)，所以MN＝PQ＝45(3＋)，在直角△BMN 中．∠MBN＝30°，所以BM＝2MN＝90(3＋)，所以t＝＝(小时)．【占评】1．将实际问题转化为数学模型，再将数学模型转化为解直角三角形问题；2．当图中无直角三角形时，通过作垂线，可把问题转化为解直角三角形．【例5】某数学兴趣小组同学进行测量大树CD高度的综合实践活动，如图，在点A处调得真立于地面的大树顶端C的仰角为36°，然后沿同一副面的斜坡AB行走13米至放顶B处，然后两沿水平方向行走6米至大树脚底店D处，涂料面AB的城度(或坡比)＝1：2：4，那么大树CD的高度约为多少？(结果保留小数点后一位，参考数据：sin36°≈0．59，cos36°≈0．81，tan36°≈0．73)【解析】过点B作BF⊥AE于点F，则FE＝BD＝6米，∴DE＝BF，∵鞋面AB的放度i＝1：2：4，∴AE＝2．4BF．设BF＝x米，则AF＝2．4x米，在RT△ABF中，由勾股定理得x2＋(2．4x)2＝132，解得x＝5，∴DE＝BF＝5米，AF＝12米．∴AE＝AF＋FE＝18米，在Rt△ACE中，CE＝AE·tan36°＝18×0．73＝13．14米．CD＝CE－DE＝13．14－5≈8．1米． 针对练习11．如图，一般海轮位于灯塔P的北偏东30°方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45°方向上的B处，这时，海轮所在的B处与灯塔P的距离为  40   海里．  2．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A的平分线AD＝4，∠DAC＝30°，解Rt△ABC．解：∵AD平分∠CAB，∠DAC＝30°，∴∠BAD＝30°，∠CAB＝60°，∵∠C＝90°，∴∠B＝30°，∴∠B＝∠BAD，∴BD＝AD＝4，∴在Rt△ACD中，CD＝AD＝2，∴AC＝ADcos30°＝2，∴AB＝2AC＝4，BC＝BD＋CD＝6．   3．如图，在△ABC中，AB＝AC，tan∠ACB＝2，点D在△ABC内部，且AD＝CD，∠ADC＝90°，连接BD，若△BCD的面积为10，求AD的长．解：过点D作DH⊥BC于点H，过点A作AM⊥BC于点M，过点D作DG⊥AM于点G，设CM＝a，∵AB＝AC，∴BC＝2CM＝2a，∵tan∠ACB＝＝2，∴AM＝2a，AC＝a，S△BDC＝BC·DH＝·2a·DH＝10，∴DH＝，易证四边形DHMG为矩形，△ADC≌△CDH，∴DG＝DH＝MG＝，∴AG＝CH＝a＋，∴AG＝CH＝a＋，∴AM＝AG＋MG，即2a＝a＋＋，∴a2＝20，在Rt△ADC中，AD2＋CD2＝AC2，又AD＝CD，∴2AD2＝5a2＝100，AD＝5．   4．如图，甲、乙两座建筑物的水平距离BC为78m，从甲的顶部A处测得乙的顶部D处的俯角为48°，测得底部C处的俯角为58°，求甲、乙两座建筑物的高度AB和DC．(结果取整数)(参考数据：tan48°≈1．11，tan58≈1．60)解：过点D作DE⊥AB，垂足为点E，则∠AED＝∠BED＝90°，由题意可知BC＝78m，∠ADE＝48°，∠ACB＝58°，∠ABC＝90°，∠DCB＝90°，可得四边形BCDE为矩形，∴ED＝BC＝78m，DC＝EB．在Rt△ABC中，tan∠ACB＝，∴AB＝BC·tan58≈78×1．60≈125(m)．在Rt△AED中，tan∠ADE＝，∴AE＝ED·tan48°≈78×1．11≈87(m)．∴EB＝AB－AE＝125－87＝38(m)，∴DC＝EB＝38m答：甲建筑物的高度约为125m，乙建筑物的高度约为38m．   5．为了测量竖直旗杆的高度，某综合实践小组在地面D处竖直放置标杆CD，并在地面上水平放置一个平面镜E，使得点B，E，D在同一水平线上，如图所示。该小组在标杆的F处，通过平面镜E恰好观测到旗相顶点A(此时∠AEB＝∠FED)，在F处测得旗杆顶A的仰角为39．3°，平面镜E的俯角为45°，FD＝1．8米．问旗杆的高度约为多少米？(结果保留整数)(参考数据：tan39．3°≈0．82，tan84．3°≈10．02)解：作FG⊥AB于点G，AG＝AB－GB＝AB－FD＝AB－1．8，由题意，知△ABE和△FDE均为等腰直角三角形，∴AB＝BE，DE＝FD＝1．8．∴FG＝DB－DE＋EB＝AB＋1．8．在Rt△AFG中，＝tan∠AFG＝tan39．3°，即≈0．82，解得AB＝18．2≈18．答：旗杆的高度AB约为18米．方法技巧与锐角三角函数相关的问题，一般将锐角转化到直角三角形中，根据定义用线段比表示锐角三角函数，再运用相似比进行转换。题型一   与三角函数、相似等相关的计算【例1】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，tan∠ABC＝，BN是△ABC的中线，CH⊥BN于点I，交AB于点H，求的值【解析】过点A作AE∥BC交CH延长线于点E，∵tan∠ABC＝＝，∴设AC＝2x，BC＝3x，CN＝x，tan∠ACE＝tan∠NBC＝＝．∴AE＝AC＝x．易证△AEH∽△BCH．∴＝＝＝．【例2】如图，在矩形ABCD中，点E是BC的中点，且AE⊥BD于点F，则sin∠EFC的值为     ．【解析】连接AC，设BE＝EC＝a．则AD＝BC＝2a，易证△ABE∽△DAB，∴AB＝＝a;∴AC＝a，∵BF2＝EF·EA＝EC2，∴△EFC∽△ECA．∴∠EFC＝∠ACB．∴sin∠EFC＝sin∠ACB＝＝．(或证E，C，D，F在以DE为直径的圆上，∠EFC＝∠EDC)．题型二    与三角函数，相似等相关的证明【例3】如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，点E是BC边的中点，EF⊥AC，垂足为点F，EF与CD交于点G，tan∠ABC＝2，求证：AC＝4EG．【解析】过点B作BK⊥AC于点K，交CD于点M，∵EF⊥AC，∴BK∥EF，∵E是BC的中点，∴BM＝2EG，易证Rt△BDM∽Rt△CDA．∴＝，又tan∠ABC＝＝2，∴＝2，∴AC＝2BM＝4EG．【例4】如图，在正方形ABCD中，点G在边BC上(不与点B，C重合)，连接AG，作DE⊥AG于点E，BF⊥AG于点F，设＝k．(1)求证：△BFG∽△DEA；(2)连接BE，DF，设∠EDF＝，∠EBF＝，求证：tan＝ktan．【解析】(1)根据已如，易证∠AGB＝∠DAE，又∠DEA＝∠BFG＝90°，∴△BFG∽△DEA；(2)由(1)可得＝ ，在Rt△DEF中，tan＝，在Rt△BEF中，tan＝，∴ktan．＝ ·＝·＝·＝ tan．∴tan＝ktan． 针对练习21．如图，在△ABC中． ＝ ，cos∠BAC＝ ，求证：AB＝BC．证明：过点B作BH⊥AC于点H，∵＝ ，∴设AB＝3x，AC＝2x，在Rt△ABH 中．cos∠BAC＝＝＝，∴AH＝x，又AC＝2x．∴AH＝HC，又BH⊥AC，∴AB＝BC．2．如图，在△ABC中，∠C＝90°，D是BC边上的一点，且tan∠BAD＝，若AC＝6，BD＝，求CD的长．解：过点D作DE⊥AD交AB于点E，过点E作EF⊥BC于点F，易证△EDF∽△DAC．∴＝＝＝tan∠BAD＝号∴DF＝3．设EF＝x．则DC＝2x，∴BF＝，BC＝＋2x，∵△BEF∽△BAC，∴＝，∴x1＝2，x2＝－(舍)，∴CD＝2x＝4．3．如图，在口ABCD中，点E是BC上一点，点F是CD上一点，∠AFE＝∠ADC，∠AEF＝90°．求证：cos∠AFE＝．证明：∵∠AFC＝∠DAF＋∠ADC，又∠AFC＝∠AFE＋∠EFC，∠AFE＝∠ADC，∴∠EFC＝∠FAD，在AD上取点G，使FG＝FD．∴∠FGD＝∠D，∵∠D＋∠C＝∠FGD＋∠AGF＝180°．∴∠C＝∠AGF，∴△ECF∽△FGA．∴＝，又∠AEF＝90°，∴cos∠AFE＝，∴cos∠AFE＝＝．4．如图，在△ABC中，∠ABC＝135°，点P为边AC上一点，且∠PBA＝90°，＝，(1)求tan∠APB的值；(2)若PB＝2，求AC的长．解：(1)过点P作PD∥AB交BC于点D，∵∠ABC＝135°，∠PBA＝90°，∴∠PBC＝45°，∵＝，∴＝，∵PD∥AB，∴＝＝，在Rt△BPD中，∠PBD＝45°，∴PB＝PD，∴＝，∴tan∠APB＝＝3．(2)在Rt△PBA 中，AB＝PB·tan∠APB＝2×3＝6，∴PA＝＝2，∵＝，∴CP＝PA＝，故AC＝CP＋PA＝3．5．如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，BC＝BA，点E是BC上一点，线段CE的垂直平分线交BD于点F，连接AF，EF，且EF＝BE，FD＝14，tan∠ABD＝2，求AF的长．解：连接CF，可证Rt△BDA≌Rt△BDC，过点E作EH⊥BD于点H，∵tan∠EBH＝＝tan∠ABD＝，设EH＝3a，BH＝4a，由对称可知BE＝EF＝FC＝AF＝5a，BF＝8a，过点F作FG⊥EC于点G，∴tan∠GBF＝，∴FG＝a，EG＝CG＝a，∴BG＝a，BC＝a，由＝得BD＝a，∴FD＝a－8a＝a＝14，∴a＝8，∴AF＝5a＝10．