人教A版 (2019)必修 第二册6.2 平面向量的运算免费同步练习题

6.2　平面向量的运算

6.2.1　向量的加法运算

6.2.2　向量的减法运算

基础过关练

题组一　向量的加法运算　　　　　　 　　　　　 　　　　　

1.已知a,b,c是非零向量,则向量(a+c)+b,b+(a+c),b+(c+a),c+(a+b),c+b+a中,与向量a+b+c相等的个数是(　　)

A.5 B.4 C.3 D.2

2.△ABC的三边长分别是3,4,5,则++等于(　易错　)　　　 　　　　　 　　　　　

A.12 B.2  C.0 D.0

3.++++化简后等于(　　)

A. B. C. D.

4.如图,已知向量a,b,c,则下列结论正确的是(　　)

A.a+b=c B.a+b=-c C.a+c=b D.b+c=a

5.如图所示,中心为O的正八边形A1A2…A7A8中,ai=(i=1,2,…,7),bj=(j=1,2,…,8),则a2+a5+b2+b5+b7=　　　　.(结果用ai,bj表示) 

6.一架执行任务的飞机从A地按北偏西30°的方向飞行300 km后到达B地,然后向C地飞行,已知C地在A地北偏东60°的方向处,且A,C两地相距300 km,求飞机从B地到C地飞行的方向及B,C间的距离.

题组二　向量的减法运算

7.如图,D,E,F分别是△ABC的边AB,BC,CA的中点,则-等于(　　)

A. B. C. D.

8.已知两个不相等的向量a-b与b-a,则下列说法正确的是(　　)

A.a-b与b-a是相反向量

B.a-b与b-a是相等向量

C.a-b与b-a方向相反,模不相等

D.a-b与b-a不是共线向量,但模相等

9.可以写成①+;②-;③-;④-.其中正确的是(　　)

A.①② B.②③ C.③④ D.①④

10.若||=8,||=5,则||的取值范围是(　　)

A.[3,8] B.(3,8) C.[3,13] D.(3,13)

题组三　向量加、减法的综合运算及应用

11.下列各式中不能化简为的是(　　)

A.(+)- B.(+)-(+)

C.(+)- D.(-)+

12.(多选)化简以下各式,结果一定为0的有(　　)

A.+- B.-+-

C.-+ D.++-

13.梯形ABCD中,AB∥DC,AC与BD交于点O,则-+-+=　　　　. 

14.在边长为1的正方形ABCD中,设=a, =b, =c,则|a+b+c|=　　　　,|a+c-b|=　　　　,|c-a-b|=　　　　. 

15.如图,点O在▱ABCD外,已知=a,=b,=c,请用a,b,c表示.

能力提升练

题组一　向量加、减法的综合运算　　　　　 　　　　　 　　　　　

1.()如图,A,B,C,D是平面上的任意四点,下列式子中正确的是(　　)

A.+=+ B.+=+

C.+=+ D.+=+

2.(2020北京西城高三上期末,)设三个向量a,b,c互不共线,则“a+b+c=0”是“以|a|,|b|,|c|为边长的三角形存在”的(　　)

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

3.(2020安徽六安第一中学高一上期末,)已知四边形ABCD中,AB=AD=2,∠BAD=120°,O为平面上一点,且满足+=+,则四边形ABCD的面积为(　　)

A. B.2 C.4 D.4

4.()向量a,b,c,d,e如图所示,根据图解答下列问题:

(1)用a,d,e表示;

(2)用b,c表示;

(3)用a,b,e表示;

(4)用d,c表示.

5.()用向量法证明对角线互相平分的四边形是平行四边形.

6.()如图,已知D,E,F分别为△ABC的三边BC,AC,AB的中点.求证:++=0.

题组二　向量和与差的模及应用

7.(2020山东济宁高三上期末,)已知A,B,C为不共线的三点,则“|+|=|-|”是“△ABC为直角三角形”的(　　)

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

8. (多选)()已知a,b为非零向量,则下列命题中正确的是(　　)

A.若|a|+|b|=|a+b|,则a与b方向相同

B.若|a|+|b|=|a-b|,则a与b方向相反

C.若|a|+|b|=|a-b|,则a与b有相等的模

D.若||a|-|b||=|a-b|,则a与b方向相同

9.(2020山东淄博淄川中学高一上月考,)在菱形ABCD中,∠DAB=60°,||=1,则|+|=　　　　,|-|=　　　　. 

10.()若平面向量a,b满足|a|=1,|a+b|=|a-b|=,则|b|=　　　　. 

11.()已知长度相等的三个非零向量,,满足++=0,则△ABC的形状是　　　　三角形. 

12.()河水流速的大小为2 m/s,一艘快艇以10 m/s的速度向垂直于河岸的方向行驶,则快艇在静水中的速度的大小为　　　　m/s. 

13.(2019北京石景山高三一模,)设W是由一平面内的n(n≥3,n∈N*)个向量组成的集合.若a∈W,且a的模不小于W中除a外的所有向量和的模,则称a是W的极大向量.有下列命题:

①若W中每个向量的方向都相同,则W中必存在一个极大向量;

②给定平面内两个不共线向量a,b,在该平面内总存在唯一的平面向量c=-a-b,使得W={a,b,c}中的每个元素都是极大向量;

③若W1={a1,a2,a3},W2={b1,b2,b3}中的每个元素都是极大向量,且W1,W2中无公共元素,则W1∪W2中的每一个元素也都是极大向量.

其中真命题的序号是　　　　. 

答案全解全析

基础过关练

1.A　由向量加法的运算律可知5个向量均与a+b+c相等,故选A.

2.D　++=+=0,故选D.

易错警示

++=0中,等式的右边是零向量,不是实数0.

3.C　++++=++++=+++=++=+=.故选C.

4.B　根据题图可知,a+b与c反向且模相等,所以a+b=-c.同理,c+a=-b,b+c=-a.

故选B.

5.答案　b6

解析　由题图可知,a2+a5+b2+b5+b7

=++++

=(+)+(+)+

=++

=++==b6.

6.解析　如图所示,=+,∠BAC=90°,||=||=300 km,所以∠ABC=45°,

||==300 km,θ=15°,故飞机从B地到C地飞行的方向是东偏南15°,B,C两地间的距离为300 km.

7.D　-=-==,故选D.

8.A　设a=,b=,则a-b=-=,b-a=-==-,因为a-b≠b-a,

所以a-b与b-a互为相反向量,故选A.

9.D　①+=,②-=+≠,③-=,④-=.故选D.

10.C　=-,

当,同向共线时,||=||-||=3;

当,反向共线时,||=||+||=13;

当,不共线时,由|||-|||<|-|<||+||,可得3<||<13.

综上,||的取值范围是[3,13].

11.C　对于A,(+)-=+(-)=+=;对于B,(+)-(+)=+-=;对于C,(+)-=++;对于D,(-)+=+=.故选C.

12.BCD　+-=-=+;

-+-=(+)-(+)=-=0;

-+=(+)-=-=0;

++-=++=+=0.故选BCD.

13.答案　0

解析　-+-+=++++=0.

14.答案　2;2;0

解析　|a+b+c|=|++|=|+|=2||=2,

|a+c-b|=|+-|=|++|=|+|=2||=2,

|c-a-b|=|--|=|++|=|+|=|0|=0.

15.解析　由题意可得=+=+,

因为=-,

所以=+-=a+c-b.

能力提升练

1.B　∵=-,=-,∴-=-,∴+=+.故选B.

2.A　充分性:a,b,c互不共线且a+b+c=0,则|a|,|b|,|c|可以作为一个三角形的三边边长,即充分性成立.

必要性:如图,在△ABC中,令=a,=b,=c,满足a,b,c互不共线,且|a|,|b|,|c|为三角形的三边长,但a+b+c=++=+≠0,∴必要性不成立.故选A.

3.B　∵+=+,

∴-=-,即=,∴四边形ABCD是平行四边形,

又||=||=2,∴四边形ABCD为菱形.

连接AC,BD,易得AC=2,BD=2,

∴四边形ABCD的面积为×AC×BD=×2×2=2,故选B.

4.解析　由题图知=a,=b,=c,=d,=e.

(1)=++=d+e+a.

(2)=-=--=-b-c.

(3)=++=e+a+b.

(4)=-=-(+)=-c-d.

5.证明　如图,在四边形ABCD中,已知=,=,所以=+=-+=-+=,故BA与CD平行且长度相等.所以四边形ABCD是平行四边形.

所以对角线互相平分的四边形是平行四边形.

6.证明　由题意知,=+,=+,=+.连接EF.

由平面几何知识可知,=,=.

∴++=(+)+(+)+(+)=(+++)+(+)

=++=++=0.

7.A　以AB,AC为邻边作平行四边形ABDC.

∵+=,-=,∴||=||,

∴四边形ABDC为矩形,AB⊥AC,

∴△ABC是以∠A为直角的直角三角形,充分性成立.而△ABC是直角三角形时,∠A,∠B,∠C均有可能为直角,所以必要性不成立,所以“|+|=|-|”是“△ABC为直角三角形”的充分不必要条件,故选A.

8.ABD　当a,b方向相同时,有|a|+|b|=|a+b|,||a|-|b||=|a-b|,反之亦成立;当a,b方向相反时,有||a|-|b||=|a+b|,|a|+|b|=|a-b|,反之亦成立.因此A,B,D正确.

9.答案　1;

解析　如图所示,作出菱形ABCD,连接BD,AC,交于点O.

由题意知,在△ABD中,AD=AB=1,∠DAB=60°,所以△ABD为等边三角形,BD=1.

所以|+|=||=1.

|-|=|-|=||.

由四边形ABCD为菱形可知,O为BD的中点,也是AC的中点,

又△ABD是边长为1的等边三角形,

所以||=,所以||=2||=.

所以|-|=.

10.答案　

解析　设=a,=b,以OA,OB为邻边作平行四边形OACB,则a+b=,a-b=,∴||=||=,∴四边形OACB为矩形,∴|b|=||==.

11.答案　等边

解析　如图,以OA,OB为邻边作平行四边形OAFB,则+=,

∴+=0,∴=-,

∴与互为相反向量,

∴O,F,C三点共线.

∵,的长度相等,

∴四边形OAFB是菱形,

∴CE垂直平分AB,∴CA=CB.

同理,AB=AC.∴△ABC为等边三角形.

12.答案　2

解析　设河水的流速为v1,快艇在静水中的速度为v2,快艇的实际速度为v,则|v1|=2 m/s,|v|=10 m/s,v所在直线与v1所在直线垂直,∴v2=v-v1,

∴|v2|==2(m/s).

13.答案　②③

解析　①若W中每个向量的方向都相同,且模相等,则W中无极大向量,故不正确;②由题意得a+b+c=0,即a,b,c围成三角形,则任意向量的模等于除它本身外所有向量和的模,故正确;③3个向量都是极大向量等价于3个向量之和为0,故W1={a1,a2,a3},W2={b1,b2,b3}中的每个元素都是极大向量时,W1∪W2中的每一个元素也都是极大向量,故正确.