数学必修 第二册6.2 平面向量的运算免费同步训练题

6.2.3　向量的数乘运算

基础过关练

题组一　向量数乘运算的定义及运算法则

1.若a=-b(b≠0),则(　　)　　　　　 　　　　　

A.a和b方向相同,|a|=2|b|

B.a和b方向相同,|b|=2|a|

C.a和b方向相反,|a|=2|b|

D.a和b方向相反,|b|=2|a|

2.已知向量a与b方向相反,且|a|=r,|b|=R,b=λa,则λ的值等于(　　)

A.     B.-     C.-  D.

3.已知λ∈R,则下列命题正确的是(　　)

A.|λa|=λ|a| B.|λa|=|λ|a

C.|λa|=|λ||a|  D.|λa|>0

4.设m是非零向量,μ是非零实数,下列结论中正确的是(　　)

A.m与μm的方向相反

B.m与μ2m的方向相同

C.|-μm|≥|m|

D.|-μm|≥|μ|m

题组二　向量的线性运算

5.化简的结果是(　　)

A.2a-b B.2b-a

C.b-a D.a-b

6.(2019吉林高一月考)在△ABC中,D是AB边上的一点,若=2,=+λ,则λ=(　　)

A. B. C. D.

7.(多选)(2020山东临沂高一上期末)若点D,E,F分别为△ABC的边BC,CA,AB的中点,且=a,=b,则下列结论正确的是(　　)

A.=a-b B.=-a+b

C.=-a-b D.=a+b

8.如图所示,在▱ABCD中,=a,=b,=3,M为BC的中点,则=　　　　.(用a,b表示) 

题组三　共线向量定理及应用

9.设P是△ABC所在平面内一点,+=2,则(　　)

A.P,A,C三点共线 B.P,A,B三点共线

C.P,B,C三点共线 D.以上均不正确

10.(2020广东珠海高一月考)若=3e,=-5e,且||=||,则四边形ABCD是(　　)

A.平行四边形 B.菱形

C.等腰梯形 D.不等腰的梯形

11.(2020河北石家庄二中高一上期末)已知A,B,C三点共线,且=3,若=λ,则λ=　　　　. 

12.(2020安徽六安第一中学高一上期末)已知e1,e2是平面内两个不共线的向量,且=ke1-4e2,=-e1+ke2,=e1+2e2.

(1)若,方向相反,求k的值;

(2)若A,C,D三点共线,求k的值.

13.(2020辽宁丹东高一上期末)已知a,b为不共线的平面向量,=a+b,=2a+8b,=3(a-b).

(1)求证:A,B,D三点共线;

(2)设E是线段BC的中点,用a,b表示.

能力提升练

题组一　向量的数乘运算法则及线性运算　　　　 　　　　　 　　　　　

1.(2020辽宁省实验中学、哈师大附中、东北师大附中高三联考,)如图,在△ABC中,点Q为线段AC上靠近点A的三等分点,点P为线段BQ上靠近点B的三等分点,则+=(　　)

A.+ B.+

C.+ D.+

2.(2020山东青岛高三上期末,)在△ABC中,+=2,+2=0,若=x+y,则(　　)

A.y=2x B.y=-2x

C.x=2y D.x=-2y

3.(2019河南安阳一中高考模拟,)正五角星是一个非常优美的几何图形,且与黄金分割有着密切的联系.在如图所示的正五角星中,=,则下列关系中正确的是(　　)

A.-= B.+=

C.-= D.+=

4.(2020安徽滁州九校高一上期末,)如图,在平行四边形ABCD中,E,F分别为边CD,AD的中点,连接AE,BF交于点G.若=λ+μ(λ,μ∈R),则λ+μ=　　　　. 

题组二　共线向量定理及其应用

5.()在△ABC中,若x+2+y=0,x,y∈R,则x+y=(　　)

A.-2 B.1

C.2 D.4

6.(2020辽宁铁岭一高高一上期末,)已知点O,A,B不在同一条直线上,点P为同一平面上一点,且2=2+,则(　　)

A.点P在线段AB上

B.点P在线段AB的反向延长线上

C.点P在线段AB的延长线上

D.点P不在直线AB上

7.(2020福建师范大学附属中学高一上期末,)已知a,b是不共线的向量,=λa-2b,=2a+μb,λ,μ∈R,若A,B,C三点共线,则λ,μ满足(　　)

A.λ+μ=2 B.λμ=-1

C.λ+μ=4 D.λμ=-4

8.(2020山西大同一中高一月考,)若点M是△ABC所在平面内一点,且=+,则△ABM与△ABC的面积之比等于　　　　. 

9.()如图,点C是点B关于点A的对称点,点D是线段OB的一个靠近点B的三等分点,设=a,=b.

(1)用向量a与b表示向量,;

(2)若=,求证:C,D,E三点共线.

答案全解全析

基础过关练

1.D　∵a=-b(b≠0),-<0,∴a和b方向相反,且|a|==|b|,∴|b|=2|a|.故选D.

2.C　∵b=λa,∴|b|=|λ||a|.

又a与b方向相反,|a|=r,|b|=R,∴λ=-.

3.C　当λ<0时,|λa|=λ|a|不成立,A错误;|λa|是一个非负实数,而|λ|a是一个向量,B错误;当λ=0或a=0时,|λa|=0,D错误.故选C.

4.B　当μ>0时,m与μm的方向相同,当μ<0时,m与μm的方向相反,A错误;由于μ2>0,故m与μ2m的方向相同,B正确;|-μm|=|-μ||m|,由于|-μ|与1的大小关系不确定,故|-μm|与|m|的大小关系不确定,C错误;|μ|m是向量,而|-μm|表示长度,两者不能比较大小,D错误.

5.B　

=(a+4b-4a+2b)

=(-3a+6b)=2b-a,故选B.

6.B　由=2,得-=2(-),即=+,所以λ=.

7.BC　如图所示:

=+=-b-a,A错误;

=+=+=+(-)=-=-a+b,B正确;

=+=--=-a-b,C正确;

=+=--=-a-b,D错误.故选BC.

8.答案　(b-a)

解析　=++=-++(+)=-b-a+(a+b)=b-a=(b-a).

9.A　在△ABC中,取AC的中点D,则+=2,∴2=2,∴D和P重合,

∴P,A,C三点共线.故选A.

10.C　由=3e,=-5e得=-,所以AB∥CD,且||≠||,又||=||,所以四边形ABCD为等腰梯形.

11.答案　-2

解析　∵=3,

∴+=3,

∴=2=-2,∴λ=-2.

12.解析　(1)由题意知,∥,则存在λ∈R,使得=λ,即ke1-4e2=λ(-e1+ke2),整理,得(k+λ)e1=(kλ+4)e2,又e1,e2是不共线向量,所以解得或因为,方向相反,所以故k的值为2.

(2)=+=(k+1)e1-2e2,由A,C,D三点共线,得存在μ∈R,使得=μ,即(k+1)e1-2e2=μ(-e1+ke2),整理,得(k+μ+1)e1=(kμ+2)e2,又e1,e2是不共线向量,所以解得或故k的值为1或-2.

13.解析　(1)证明:∵=+=2a+8b+3(a-b)=5a+5b=5,

∴与共线,又∵与有公共点B,∴A,B,D三点共线.

(2)由=a+b,=2a+8b,易知A,B,C三点不共线.

∵E是线段BC的中点,∴=(+)=(++)=(2+)=(2a+2b+2a+8b)=2a+5b.

能力提升练

1.B　+=-+-=+-=+-(+)=+-×=+-(-)=+.

2.D　由+2=0,得=2,

∴+=3,即=3,=,又+=2,∴=+=+(-)=-+=-(+)+=-,

∵=x+y,∴x=,y=-,

∴x=-2y.故选D.

3.A　在A中,-=-==,故A正确; 在B中,+=+==,故B错误;在C中,-=-==,故C错误;在D中,+=+,==-,若+=,则=0,不合题意,故D错误.故选A.

4.答案　

解析　如图,延长CD,BF交于点H.

易证△HFD≌△BFA,所以DH=AB.

又易证△ABG∽△EHG,

所以===.

所以==(+)==+.

所以λ=,μ=,λ+μ=.

5.D　∵x+2+y=0,

∴x+2(-)+y=0,

即(x-2)=(y-2).

∵与不共线,∴x-2=y-2=0,

∴x=y=2,∴x+y=4,故选D.

6.B　∵2=2+,

∴2(-)=,即2=,

∴∥,∴A,B,P三点共线,且P在线段AB的反向延长线上.故选B.

7.D　由A,B,C三点共线,得,共线,

所以存在不为零的实数m,使得=m,即λa-2b=m(2a+μb),整理,得(λ-2m)a=(2+mμ)b,又因为a,b是不共线的向量,

所以消去m,得λμ=-4.故选D.

8.答案　

解析　∵=+,

∴-=-,

∴=,即3=,

∴B,M,C三点共线,且||=||.

如图所示,过A作AD⊥BC于D,

==.

9.解析　(1)∵=a,=b,

∴=+=-b-a,

=+=+=+(+)=2a+(-a+b)=a+b.

(2)证明:∵=-=(-b)+a+b=a+b=,∴与平行,

又∵与有共同点C,

∴C,D,E三点共线.