高中数学人教A版 (2019)必修 第二册6.3 平面向量基本定理及坐标表示免费当堂达标检测题

6.3　平面向量基本定理及坐标表示

6.3.1　平面向量基本定理

基础过关练　　　　　　 　　　　　 　　　　　

题组一　对平面向量基本定理的理解

1.下面三种说法中正确的是(　　)

①一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面内所有向量的基底;

②一个平面内有无数对不共线向量可作为表示该平面内所有向量的基底;

③零向量不可作为基底中的向量.

A.①② B.②③

C.①③ D.①②③

2.如图,点O为正六边形ABCDEF的中心,其中可作为基底的一对向量是(　　)

A., B.,

C., D.,

3.设e1,e2是不共线的两个向量,给出下列四组向量:①e1与e1+e2;②e1-2e2与e2-2e1;③e1-2e2与4e2-2e1;④e1+e2与e1-e2.

其中不能作为平面内所有向量的一组基底的序号是　　　　. 

4.已知向量e1,e2不共线,a=e1+2e2,b=2e1+λe2,要使向量a,b能作为平面内的一组基底,则实数λ的取值范围为　　　　. 

题组二　用基底表示向量

5.在△ABC中,=c,=b,点D满足=2,若将b与c作为一组基底,则=(　　)

A.b+c B.c-b

C.b-c D.b+c

6.如图,已知AB是圆O的直径,点C,D是半圆弧的两个三等分点,=a,=b,则等于(　　)

A.a-b B.a-b

C.a+b D.a+b

7.(2020山东淄博高一期中)设△ABC中BC边上的中线为AD,点O满足=2,则=(　　)

A.-+ B.-

C.- D.-+

8.(2020山东泰安高一月考)已知e1,e2是平面内两个不共线的向量,a=3e1-2e2,b=-2e1+e2,c=7e1-4e2,若用向量a和b表示c,则c=　　　　. 

题组三　平面向量基本定理的应用

9.(2020辽宁沈阳高一上期末)已知点M是△ABC的边BC的中点,N在线段AM上,且=x+y(x,y∈R),若x+y=,则△NBC的面积与△ABC面积的比值是(　　)

A. B. C. D.

10.(2020安徽六安第一中学高一上期末)在△ABC中,D为AC边的中点,E为线段BD上一点,且满足=-3,若=λ+μ,则+μ=(　　)

A.1 B. C. D.

11.(2020山东日照高一上期末)已知3=+λ,若A,B,C三点共线,则实数λ=　　　　. 

12.在平行四边形ABCD中,E为线段CD的中点,=y,=x,其中x,y∈R,且均不为0.若∥,则=　　　　. 

13.(2020辽宁锦州高一上期末)如图,平行四边形ABCD中,E,F分别是AD,AB的中点,G为BE与DF的交点.若=a,=b.

(1)试以a,b为基底表示,;

(2)求证:A,G,C三点共线.

能力提升练

题组一　对平面向量基本定理的理解

1.(多选)()如果e1,e2是平面α内两个不共线的向量,那么下列说法中正确的是(　　)

A.λe1+μe2(λ,μ∈R)可以表示平面α内的所有向量

B.对于平面α内任一向量a,使a=λe1+μe2的实数对(λ,μ)有无穷多个

C.若向量λ1e1+μ1e2与λ2e1+μ2e2共线,则有且只有一个实数λ,使得λ1e1+μ1e2=λ(λ2e1+μ2e2)

D.若存在实数λ,μ使得λe1+μe2=0,则λ=μ=0

题组二　平面向量基本定理的应用　　　　　 　　　　　 　　　　　

2.(2020河南商丘名校高二期中联考,)如图,已知△ABC与△AMN有一个公共顶点A,且MN与BC的交点O平分BC,若=m,AC=n,则+的最小值为(　　)

A.4 B. C.+ D.6

3.(2020中国人民大学附属中学高三上期中,)正三角形ABC的边长为2,M为AB的中点,=2,Q是AC上一点,=+λ,则△QBC的面积为(　　)

A. B. C. D.

4.(多选)(2020山东济南高一下期末,)设点M是△ABC所在平面内一点,则下列说法正确的是(　　)

A.若=+,则点M是BC边的中点

B.若=2-,则点M在线段BC的延长线上

C.若=--,则点M是△ABC的重心

D.若=x+y,且x+y=,则△MBC的面积是△ABC面积的

5.(2020湖南师范大学附属中学高一上期末,)如图,在平行四边形ABCD中,AE=ED,DF=3FC,AF与BE相交于点G,若=λ,则实数λ=　　　　. 

6.(2020辽宁本溪高一上期末,)如图,已知||=1,||=2,||=,⊥,∠AOC=30°,若=x+y,则x+y=　　　　. 

7.()如图,在△ABC中,AD,BE,CF为△ABC的三条中线,BE,CF交于点O.求证:A,O,D三点共线.深度解析

8.(2020福建泉州一中高一期中,)如图所示,在△ABO中,=,=,AD与BC相交于点M.设=a,=b.

(1)试用向量a,b表示;

(2)在线段AC上取一点E,在线段BD上取一点F,使EF过点M,设=λ,=μ,λ,μ∈R且均不为0,求证:+=7.

答案全解全析

基础过关练

1.B　由于同一个平面内任意两个不共线的向量都可以作为表示这个平面内所有向量的基底,故①是错的,②③是对的,故选B.

2.B　由基底的概念可知,作为基底的一组向量不能共线.由题图可知,与共线,与共线,与共线,均不能作为基底向量,与不共线,可作为基底向量,故选B.

3.答案　③

解析　①设e1+e2=λe1(λ∈R),则无解,

∴e1+e2与e1不共线,即{e1,e1+e2}能作为一个基底.

②设e1-2e2=λ(e2-2e1)(λ∈R),则(1+2λ)e1-(2+λ)e2=0,

∴无解,∴e1-2e2与e2-2e1不共线,即{e1-2e2,e2-2e1}能作为一个基底.

③∵e1-2e2=-(4e2-2e1),

∴e1-2e2与4e2-2e1共线,

即{e1-2e2,4e2-2e1}不能作为一个基底.

④设e1+e2=λ(e1-e2)(λ∈R),则(1-λ)·e1+(1+λ)e2=0,

∴无解,∴e1+e2与e1-e2不共线,即{e1+e2,e1-e2}能作为一个基底.

4.答案　(-∞,4)∪(4,+∞)

解析　若a,b能作为平面内的一组基底,则a与b不共线,即a≠kb(k∈R),又a=e1+2e2,b=2e1+λe2,∴λ≠4,∴实数λ的取值范围为(-∞,4)∪(4,+∞).

5.A　∵=2,∴-=2(-),∴-c=2(b-),∴=c+b,故选A.

6.D　连接OC,OD,CD,如图,由点C,D是半圆弧的两个三等分点,可得∠AOC=∠COD=∠BOD=60°,且△OAC和△OCD均为边长等于圆O半径的等边三角形,所以四边形OACD为菱形,所以=+=+=a+b,故选D.

7.A　如图所示:

∵D为BC的中点,∴=+.

∵=2,∴==+,

∴=-=-=-+.故选A.

8.答案　a-2b

解析　易知a,b不共线,所以设c=xa+yb(x,y∈R),则xa+yb=x(3e1-2e2)+y(-2e1+e2)=(3x-2y)e1+(-2x+y)e2=7e1-4e2.又因为e1,e2不共线,所以解得所以c=a-2b.

9.C　如图.设D、E分别为AB、AC的中点,则=2,=2,

∴=x+y=2x+2y,

∵x+y=,∴2x+2y=1,

∴N、D、E三点共线,

∴=,故选C.

10.B　如图所示,

=+=-=-·(-)=-×+=+.

∵=λ+μ,

∴λ=,μ=,∴+μ=.

11.答案　2

解析　由3=+λ,得=+,∵A,B,C三点共线,∴+=1,∴λ=2.

12.答案　

解析　=-=x-y.

由∥,可设=λ(λ∈R),

所以x-y=λ=λ(-)

=λ=-+λ,

所以则=.

13.解析　(1)=-=-=b-a,=-=-=a-b.

(2)证明:∵D,G,F三点共线,

∴=λ,λ∈(0,1),

∴=+=+λ=b+λ·=λa+(1-λ)b.

∵B,G,E三点共线,

∴=μ,μ∈(0,1),

∴=+=+μ=a+μ·=(1-μ)a+μb.

由平面向量基本定理知

解得λ=μ=,

∴=(a+b)=,

∴A,G,C三点共线.

能力提升练

1.AD　由平面向量基本定理可知A、D正确;

对于B,由平面向量基本定理可知,如果一个平面的基底确定,那么任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的;

对于C,当满足λ1=λ2=μ1=μ2=0时,这样的λ有无数个.故选AD.

2.C　因为O为BC的中点,所以=(+),又=m,=n,所以=+.因为M,O,N三点共线,所以+=1,即m+n=2,易知m>0,n>0,所以+=·=+++1=+≥+2=+,当且仅当即时取等号.故+的最小值为+.故选C.

3.D　=+λ=×+,由A,Q,C三点共线,得+=1⇒λ=,

即=+,

即+=+(+)⇒=,

故S△QBC=S△ABC=××22=.

故选D.

4.ACD　选项A,=+⇒-=-,即=,则点M是BC边的中点.

选项B,=2-⇒-=-,

∴=,则点M在线段CB的延长线上,所以B错误.

选项C,设BC的中点为D,则=--=+=2,由重心性质可知C成立.

选项D,=x+y,且x+y=⇒2=2x+2y,且2x+2y=1,设=2,

则=2x+2y,2x+2y=1,可知B,C,D三点共线,所以△MBC的面积是△ABC面积的.故选ACD.

5.答案　

解析　取=a,=b为平行四边形所在平面的一组基向量.由题知====a+b.因为E,G,B三点共线,所以可设=μ,μ∈(0,1),则=+=+μ(-)=μa+b.所以=μ且=,解得λ=.

6.答案　

解析　过点C作OA的平行线,交OB于点D.

∵∠AOC=30°,∴∠OCD=30°.

在Rt△OCD中,∠COD=90°,|OC|=,

∴||=2,||=1,

又∵||=1,||=2,

∴=2,=,

∴=+=+2.

又=x+y,∴x=2,y=.

∴x+y=2+=.

7.证明　∵AD是△ABC的中线,

∴=(+).

设=λ,=μ,其中λ,μ∈R,

则=+=+λ=+λ(-)=λ+,

=+=+μ=+μ(-)=+μ,

∴解得λ=,

∴=(+)=.

∴∥.∵与有公共点A,

∴A,O,D三点共线.

关键思想

由平面向量基本定理可知,平面中任意向量都可以用某一个基底表示出来,从而减少了未知向量的个数,这实质上应用了消元的思想.

8.解析　(1)不妨设=ma+nb(m,n∈R).由于A,D,M三点共线,所以存在实数α(α≠-1)使得=α,所以+=α(+),

于是=.

又=,所以==a+b,

所以即m+2n=1.①

由于B,C,M三点共线,所以存在实数β(β≠-1)使得=β,即+=β(+),于是=.又=,

所以==a+b,

所以即4m+n=1.②

由①②可得m=,n=,所以=a+b.

(2)证明:由于E,M,F三点共线,所以存在实数η(η≠-1)使得=η,即+=η(+),于是=.

又=λ,=μ,

所以==a+b,所以a+b=a+b,则消去η,得+=7.