人教A版 (2019)必修 第二册7.2 复数的四则运算巩固练习

7.2　复数的四则运算

7.2.1　复数的加、减运算及其几何意义

基础过关练

题组一　复数的加、减运算　　　　　 　　　　　 　　　　　

1.已知复数z1=3+4i,z2=3-4i,则z1+z2=(　　)

A.8i B.6

C.6+8i D.6-8i

2.若复数z满足z+i-3=3-i,则z等于(　　)

A.0 B.2i

C.6 D.6-2i

3.已知|z|=3,且z+3i是纯虚数,则z等于(　　)

A.-3i B.3i

C.±3i D.4i

4.设m∈R,复数z=(2m2+3i)+(m-m2i)+(-1+2mi),若z为纯虚数,则m等于(　　)

A.-1 B.3 C. D.-1或3

5.若复数z1=1+3i,z2=-2+ai,且z1+z2=b+8i,z2-z1=-3+ci,则实数a=　　　　,b=　　　　,c=　　　　. 

6.已知z1=(3x-4y)+(y-2x)i,z2=(-2x+y)+(x-3y)i,x,y为实数,若z1-z2=5-3i,求|z1+z2|.

7.已知i为虚数单位,计算:

(1)(1+2i)+(3-4i)-(5+6i);

(2)5i-[(3+4i)-(-1+3i)];

(3)(a+bi)-(2a-3bi)-3i(a,b∈R).深度解析

题组二　复数加、减运算的几何意义

8.已知复数z对应的向量如图所示,则复数z+1所对应的向量正确的是(　　)

9.(2020河南名校联盟高二期末)已知为复数z的共轭复数,z+1=i+2,则z在复平面内对应的点位于(　　)

A.第一象限 B.第二象限

C.第三象限 D.第四象限

10.已知=(5,-1),=(3,2),对应的复数为z,则=(　　)

A.5-i B.3+2i C.-2+3i D.-2-3i

11.A,B分别是复数z1,z2在复平面内对应的点,O是坐标原点,若|z1+z2|=|z1-z2|,则△AOB一定是(　　)

A.等腰三角形 B.直角三角形

C.等边三角形 D.等腰直角三角形

12.已知z为复数,若|z-2|=|z+2|,则|z-1|的最小值是　　　　. 

13.复数z1,z2满足|z1|=|z2|=1,|z1+z2|=,则|z1-z2|=　　　　.深度解析 

14.如图所示,平行四边形OABC的顶点O,A,C对应的复数分别为0,3+2i,-2+4i,试求:

(1)所对应的复数,所对应的复数;

(2)所对应的复数;

(3)所对应的复数及的长度.

能力提升练

题组　复数的加、减运算及其几何意义的综合应用　　　　　　 　　　　　 　　　　　

1.()在复平面内,O是原点,,,对应的复数分别为-2+i,3+2i,1+5i,则对应的复数为(　　)

A.2+8i B.-6-6i

C.4-4i D.-4+2i

2.()△ABC的三个顶点对应的复数分别为z1,z2,z3,若复数z满足|z-z1|=|z-z2|=|z-z3|,则z对应的点Z为△ABC的(　　)

A.内心 B.垂心

C.重心 D.外心

3.()如果复数z满足|z+i|+|z-i|=2,那么|z+i+1|的最小值是(深度解析)

A.1 B. C.2 D.

4.()若复数z=x+yi(x,y∈R)满足|z-4i|=|z+2|,则2x+4y的最小值为(　　)

A.2 B.4 C.4 D.16

5.(多选)()已知i为虚数单位,下列说法中正确的是(　　)

A.若复数z满足|z|=,则复数z对应的点在以原点为圆心,为半径的圆上

B.若复数z满足z+|z|=2+8i,则复数z=15+8i

C.复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离,也就是复数对应的向量的模

D.复数z1对应的向量为,复数z2对应的向量为,若|z1+z2|=|z1-z2|,则⊥

6.(多选)()已知复数z0=1+2i(i为虚数单位)在复平面内对应的点为P0,复数z满足|z-1|=|z-i|,下列结论正确的是(　　)

A.点P0的坐标为(1,2)

B.复数z0的共轭复数对应的点与点P0关于虚轴对称

C.复数z对应的点Z在一条直线上

D.P0与z对应的点Z间的距离的最小值为

7.()若复数z满足z-1=cos θ+isin θ,θ∈R,则|z|的最大值为　　　　. 

8.()已知x∈R,y∈R,(xi+x)+(yi+4)=(y-i)-(1-3xi),则x=　　　　,y=　　　　. 

9.(2020湖南怀化高二期末,)若z∈C,且z+2=3+4i,则|z|=　　　　. 

10.()已知复数z1=-1+2i,z2=1-i,z3=3-4i在复平面内对应的点分别为A,B,C,若=λ+μ(λ,μ∈R),则λ+μ的值是　　　　. 

11.(2019安徽合肥八中高二期末,)已知复数z的模为1,则|z+2|的最大值为　　　　. 

12.()在复平面内,A,B,C三点分别对应复数1,2+i,-1+2i.

(1)求,,对应的复数;

(2)判断△ABC的形状.

13.(2020北京通州高一月考,)已知O为坐标原点,向量、分别对应复数z1、z2,且z1=+(10-a2)i,z2=+(2a-5)i(a∈R).若+z2是实数.

(1)求实数a的值;

(2)求以、为邻边的平行四边形的面积.

答案全解全析

基础过关练

1.B　z1+z2=3+4i+3-4i=(3+3)+(4-4)i=6.

2.D　z=3-i-(i-3)=6-2i.

3.B　设z=a+bi(a,b∈R),

则z+3i=a+bi+3i=a+(b+3)i为纯虚数,

∴a=0,b+3≠0,又|z|=3,∴|b|=3,∴b=3,∴z=3i.

4.C　z=(2m2+m-1)+(3-m2+2m)i.

由题意,得解得m=.

5. 答案　5;-1;2

解析　z1+z2=(1-2)+(3+a)i=-1+(3+a)i=b+8i,z2-z1=(-2-1)+(a-3)i=-3+(a-3)i=-3+ci,所以解得

6.解析　z1-z2=[(3x-4y)+(y-2x)i]-[(-2x+y)+(x-3y)i]=[(3x-4y)-(-2x+y)]+[(y-2x)-(x-3y)]i=(5x-5y)+(-3x+4y)i=5-3i,

所以解得

所以z1=3-2i,z2=-2+i,则z1+z2=1-i,

所以|z1+z2|=.

7.解析　(1)(1+2i)+(3-4i)-(5+6i)=(4-2i)-(5+6i)=-1-8i.

(2)5i-[(3+4i)-(-1+3i)]=5i-(4+i)=-4+4i.

(3)(a+bi)-(2a-3bi)-3i=(a-2a)+[b-(-3b)-3]i=-a+(4b-3)i.

方法技巧

把复数的代数形式看成关于“i”的多项式,则复数的加、减法类似于多项式的加、减法,只需“合并同类项”就可以了.

8.A　由题图知z=-2+i,则z+1=-1+i,由复数的几何意义可知,A正确.

9.A　设z=a+bi(a,b∈R),则=a-bi,代入z+1=i+2可得a+1+bi=2a+(1-2b)i,所以解得故z=1+,所以z在复平面内对应的点为,位于第一象限.故选A.

10.D　因为=(5,-1),=(3,2),所以=-=(-2,3),所以z=-2+3i,所以=-2-3i.

11.B　复数z1对应向量,复数z2对应向量,|z1+z2|=|+|,|z1-z2|=|-|,依题意有|+|=|-|,

所以以,为邻边的平行四边形是矩形,又||与||不一定相等,

所以△AOB一定是直角三角形.故选B.

12.答案　1

解析　由|z-2|=|z+2|,即|z-2|=|z-(-2)|,知z对应的点在以(2,0)和(-2,0)为端点的线段的垂直平分线上,即虚轴上.

|z-1|表示z对应的点与(1,0)的距离,

∴|z-1|min=1.

13.答案　

解析　解法一:由|z1|=|z2|=1,|z1+z2|=,知z1,z2,z1+z2对应的点是边长为1的正方形的三个顶点,

所以|z1-z2|是这个正方形的一条对角线长,所以|z1-z2|=.

解法二:设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),则z1+z2=(a+c)+(b+d)i,z1-z2=(a-c)+(b-d)i,由题意可得a2+b2=1,c2+d2=1,(a+c)2+(b+d)2=2,即(a+c)2+(b+d)2=a2+c2+2ac+b2+d2+2bd=2,所以2ac+2bd=0,所以(a-c)2+(b-d)2=a2+c2+b2+d2-2ac-2bd=2,所以|z1-z2|==.

解法三:易知|z1+z2|2+|z1-z2|2=2(|z1|2+|z2|2),

将已知数值代入,可得|z1-z2|2=2,

所以|z1-z2|=.

深度剖析

设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),则|z1+z2|2+|z1-z2|2=(a+c)2+(b+d)2+(a-c)2+(b-d)2=2(a2+c2+b2+d2)=2(|z1|2+|z2|2).

14.解析　(1)∵=-,

∴所对应的复数为-3-2i.

∵=,∴所对应的复数为-3-2i.

(2)∵=-,

∴所对应的复数为(3+2i)-(-2+4i)=5-2i.

(3)=+,

∴所对应的复数为(3+2i)+(-2+4i)=1+6i, ||==.

能力提升练

1.C　∵=-=-(+),∴对应的复数为3+2i -(-2+i+1+5i)=4-4i.

2.D　由题意知,点Z到△ABC的三个顶点的距离相等,故z对应的点Z是△ABC的外心.

3.A　设复数-i,i,-1-i在复平面内对应的点分别为Z1,Z2,Z3,复数z在复平面内对应的点为Z,则Z1(0,-1),Z2(0,1),Z3(-1,-1).

根据|z-z0|的几何意义,可知|z+i|+|z-i|=2表示点Z到点Z1(0,-1)和Z2(0,1)的距离之和为2,又因为|Z1Z2|=2,所以点Z在线段Z1Z2上.

问题转化为动点Z在线段Z1Z2上移动,求|ZZ3|的最小值,

因为Z3Z1⊥Z1Z2,且|Z3Z1|=1,

所以|z+i+1|min=1.

知识拓展

设复数z,z0在复平面内对应的点分别为A,B,则|z-z0|(z,z0∈C)的几何意义是点A到点B的距离.

4.C　由|z-4i|=|z+2|,得|x+(y-4)i|=|x+2+yi|,所以x2+(y-4)2=(x+2)2+y2,即x+2y=3,所以2x+4y=2x+22y≥2=2=4,当且仅当x=2y=时,2x+4y取得最小值4.

5.ACD　满足|z|=的复数z对应的点在以原点为圆心,为半径的圆上,A正确;设z=a+bi(a,b∈R),则|z|=,由z+|z|=2+8i,得a+bi+=2+8i,

∴解得∴z=-15+8i,B错误;由复数的模的定义知C正确;由|z1+z2|=|z1-z2|的几何意义知,以,为邻边的平行四边形为矩形,从而两邻边垂直,D正确.故选ACD.

6.ACD　复数z0=1+2i在复平面内对应的点为P0(1,2),A正确;复数z0的共轭复数对应的点与点P0关于实轴对称,B错误;设z=x+yi(x,y∈R),代入|z-1|=|z-i|,得|(x-1)+yi|=|x+(y-1)i|,即=,整理得y=x,即点Z在直线y=x上,C正确;易知点P0到直线y=x的垂线段的长度即为P0、Z之间距离的最小值,结合平面几何知识知D正确.故选ACD.

7.答案　2

解析　因为z-1=cos θ+isin θ,

所以z=(1+cos θ)+isin θ,

故|z|==≤2,即|z|的最大值为2.

8.答案　6;11

解析　原式整理得x+4+(x+y)i=(y-1)+(3x-1)i,

∴解得

9.答案　

解析　设z=x+yi(x,y∈R),则=x-yi,z+2=3x-yi=3+4i,所以x=1,y=-4,所以z=1-4i,所以|z|==.

10.答案　1

解析　由题意得=(3,-4),=(-1,2),=(1,-1).由=λ+μ,

得(3,-4)=λ(-1,2)+μ(1,-1)=(-λ+μ,2λ-μ),所以

解得所以λ+μ=1.

11.答案　3

解析　设复数z对应的点为Z(x,y),因为复数z的模为1,所以点Z的轨迹是以原点O为圆心,1为半径的圆,由于|z+2|的几何意义是圆上的点(x,y)到点P(-2,0)的距离,

因此|z+2|的最大值为|OP|+1=2+1=3.

12.解析　(1)因为A,B,C三点对应的复数分别为1,2+i,-1+2i,

所以,,对应的复数分别为1,2+i,-1+2i(O为坐标原点),

所以=(1,0),=(2,1),=(-1,2).

所以=-=(1,1),=-=(-2,2),=-=(-3,1),

所以对应的复数为1+i,对应的复数为-2+2i,对应的复数为-3+i.

(2)因为||==,||==2,||==,

所以||2+||2=10=||2,

又因为||≠||,

所以△ABC是以角A为直角的直角三角形.

13.解析　(1)由题意可得=-(10-a2)i,

又因为z2=+(2a-5)i,

所以+z2=-(10-a2)i++(2a-5)i

=+(a2+2a-15)i.

因为+z2是实数,

所以解得a=3.

(2)由(1)可得z1=+i,z2=-1+i,

则点Z1,Z2(-1,1),

因此,以,为邻边的平行四边形的面积为|Z1Z2|×1=.