高中数学人教A版 (2019)必修 第二册第八章 立体几何初步8.3 简单几何体的表面积与体积课后练习题

8.3　简单几何体的表面积与体积

8.3.1　棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积

基础过关练

题组一　棱柱、棱锥、棱台的面积　　　　　 　　　　　 　　　　　

1.(2020湖南怀化高一上期末)已知正四棱柱的底面边长为3 cm,侧面的对角线长是3 cm,则这个正四棱柱的表面积为(　　)

A.90 cm2 B.36 cm2 C.72 cm2 D.54 cm2

2.(2019江苏南京六校联合体高一下期中)已知一个正三棱台的两个底面的边长分别为4和16,侧棱长为10,则该棱台的侧面积为(　　)

A.80 B.240 C.350 D.640

3.(2020安徽马鞍山二中高二上期末)正三棱锥的底面边长为a,高为a,则此棱锥的侧面积等于　　　　. 

4.(2019福建三明三地三校高一下联考)一个棱柱的侧面展开图是三个全等的矩形,矩形的长和宽分别为5 cm,4 cm,则该棱柱的侧面积为

　　　　cm2. 

5.(2020安徽合肥一中高二上月考)已知一个正四棱台的上、下底面的边长分别为1和2,其侧面积恰好等于两底面面积之和,则该正四棱台的高为　　　　. 

6.如图,在正四棱锥S-ABCD中,SO是这个四棱锥的高,SM是斜高,且SO=8,SM=11.

(1)求这个四棱锥的侧棱长;

(2)求这个四棱锥的表面积.

题组二　棱柱、棱锥、棱台的体积

7.(2019北京高二学业考试)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB⊥AC,如果AB=3,AC=1,AA1=2,那么直三棱柱ABC-A1B1C1的体积为(　　)

A.2 B.3 C.4 D.6

8.(2020辽宁丹东高二上期末)一个正四棱锥的侧面是正三角形,斜高为,那么这个四棱锥的体积为(　　)

A. B. C. D.

9.(2020江西景德镇高一上期末)已知一个正三棱锥的高为3,如图是其底面用斜二测画法所画出的水平放置的直观图,其中O'B'=O'C'=1,则此正三棱锥的体积为(　　)

A. B.3 C. D.

10.(2020江苏徐州高三上期中)在正三棱柱ABC-A1B1C1中,P为棱AA1的中点,若正三棱柱ABC-A1B1C1的体积为9,则三棱锥C1-PBC的体积为　　　　. 

11.(2020豫南九校高一上联考)一个正四棱锥的侧棱长与底面边长相等,体积为,则它的侧面积为　　　　. 

12.已知点P为直三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱AA1上的一个动点,若四棱锥P-BCC1B1的体积为V,则三棱柱ABC-A1B1C1的体积为　　　　. 

13.正三棱台ABC-A1B1C1中,O1,O分别是上底面A1B1C1、下底面ABC的中心,已知A1B1=O1O=,AB=2.

(1)求正三棱台ABC-A1B1C1的体积;

(2)求正三棱台ABC-A1B1C1的侧面积.

14.(2020河北衡水武邑中学高一上月考)已知长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=2,过A1,C1,B三点的平面截去长方体的一个角后,得到如图所示的几何体,这个几何体的体积为,求几何体ABCD-A1C1D1的表面积.

能力提升练

题组一　棱柱、棱锥、棱台的面积　　 　　　　　 　　　　　

1.(2020河南省实验中学高一上月考,)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积是(　　)

A.24 B.28 C.20+4 D.20+4

2.()若正四棱锥的斜高是高的倍,则该正四棱锥的侧面积与底面积之比为　　　　. 

3.(2020陕西榆林高一上期末,)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,底面ABC是正三角形,AA1⊥平面ABC,AB=AA1=a,D是BC边上的一点,且AD为∠BAC的平分线,若在三棱柱ABC-A1B1C1中去掉三棱锥C1-ACD后得到的几何体的表面积为3++18,求a的值.

题组二　棱柱、棱锥、棱台的体积

4.(2020黑龙江哈尔滨第九中学高三上期末,)我国古代名著《张邱建算经》中记载:“今有方锥,下广二丈,高三丈.欲斩末为方亭,令上方六尺.问:斩高几何?”大致意思是:有一个正四棱锥的下底面边长为二丈,高为三丈,现从上面截去一段,使之成为正四棱台,且正四棱台的上底面边长为六尺,则截去的正四棱锥的高是多少?如果我们把求截去的正四棱锥的高改为求剩下的正四棱台的体积,则该正四棱台的体积是(注:1丈=10尺)(　　)

A.1 946立方尺 B.3 892立方尺

C.7 784立方尺 D.11 676立方尺

5.(2019辽宁葫芦岛高一上期末,)如图,直三棱柱ABC-A1B1C1中,点M,N分别为A1B和B1C1的中点,则三棱锥A1-MNC与三棱柱ABC-A1B1C1的体积之比为(　　)

A.1∶4 B.1∶5 C.1∶6 D.1∶7

6.(2020浙江宁波效实中学高二期中,)如图所示,已知三棱台ABC-A1B1C1的体积为V,AB=2A1B1,截去三棱锥A1-ABC后,剩余部分的体积为(　　)

A.V B.V C.V D.V

7.(多选)(2020广东高三一模,)在四面体P-ABC中,PA=PB=PC=BC=1,则该四面体的体积可能是(　　)

A. B.

C. D.

8.(多选)(2020福建厦门高一下期中,)如图,直三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1=2,AB=BC=1,∠ABC=90°,侧面AA1C1C的中心为O,点E是侧棱BB1上的一个动点,下列判断正确的是(　　)

A.直三棱柱的侧面积是4+2

B.直三棱柱的体积是

C.三棱锥E-AA1O的体积为定值

D.AE+EC1的最小值为2

9.(2020安徽合肥一中期末,)正四棱锥P-ABCD中,B1为PB的中点,D1为PD的中点,则三棱锥A-B1CD1和正四棱锥P-ABCD体积的比值是　　　　. 

10.(2020天津静海一中高一下线上检测,)如图,求一个棱长为的正四面体的体积时,可以将正四面体看成是一个棱长为1的正方体截去四个角后得到的,类比这种方法,一个三对棱长相等的四面体A-BCD,其三对棱长分别为AB=CD=,AD=BC=,AC=BD=,则此四面体的体积为　　　　. 

答案全解全析

基础过关练

1.A　由题意得,侧棱长为=6(cm),所以正四棱柱的表面积为4×3×6+2×32=90(cm2).故选A.

2.B　由题意可知,该棱台的侧面为上、下底分别为4和16,腰长为10的等腰梯形,

∴等腰梯形的高为=8,

∴等腰梯形的面积为×(4+16)×8=80,

∴该棱台的侧面积为3×80=240.

3.答案　a2

解析　如图所示,在正三角形ABC中,OB=×a=a.

所以在直角三角形POB中,PB===a,

所以在等腰三角形PAB中,底边AB上的高为=,所以正三棱锥的侧面积为3××a×=a2.

4.答案　60

解析　棱柱的侧面展开图的面积即为棱柱的侧面积,

∴棱柱的侧面积为3×5×4=60(cm2).

5.答案　

解析　设正四棱台的高、斜高分别为h、h'.

由题意得,4××(1+2)×h'=12+22,解得h'=.

根据棱台的高、斜高、边心距构成直角梯形,可得h2+=,解得h=.

6.解析　(1)在Rt△SOM中,OM===.

在Rt△SBM中,SM=11,BM=OM=,

∴侧棱长SB===.

(2)结合(1)得,S侧=4××BC×SM=4××2×11=44,S底=BC2==228,

∴S表=44+228.

7.B　因为AB⊥AC,所以S△ABC==,所以=S△ABC×AA1=×2=3.故选B.

8.B　由题意设正四棱锥的棱长为a,

则其斜高为==,因此a=2,所以正四棱锥的高为=,所以这个四棱锥的体积为××22=.故选B.

9.A　因为O'B'=O'C'=1,所以B'C'=2.根据斜二测画法的知识可知,正三棱锥的底面是边长为2的等边三角形,其面积为×22=,所以正三棱锥的体积为××3=.故选A.

10.答案　3

解析　如图所示.

====C1C·S△ABC==×9=3,故答案为3.

11.答案　4

解析　设正四棱锥的侧棱长与底面边长均为2a,则底面面积为4a2,斜高为a,高为a,所以×4a3=,解得a=1.

所以S侧=×2a×a×4=4.

12.答案　

解析　设三棱柱ABC-A1B1C1的体积为V1.

在三棱柱ABC-A1B1C1中,点P在侧棱AA1上,所以=.

又V1=+=V1+V,

所以V1=,故答案为.

13.解析　(1)由题意得,正三棱台ABC-A1B1C1的上底面面积为×=,下底面面积为×=3,所以正三棱台ABC-A1B1C1的体积为

××=.

(2)设A1B1,AB的中点分别为M1,M,

则O1M1=,OM=1,

所以正三棱台ABC-A1B1C1的斜高M1M==,

所以正三棱台ABC-A1B1C1的侧面积为

3×=.

14.解析　由题意得,=-=2×2×AA1-××2×2×AA1=AA1=,∴AA1=4.

∴A1B=C1B=2,A1C1=2.

设A1C1的中点为H,则BH=3,

∴=×2×3=6,

∴几何体ABCD-A1C1D1的表面积为3×8+4+2+6=36.

能力提升练

1.C　根据三视图知,该几何体是下部为正方体,上部为正四棱锥的组合体,如图所示.

该几何体的表面积为5S正方形ABCD+4S△PAB=5×22+4××2×=20+4.

故选C.

2.答案　2∶1

解析　设正四棱锥的斜高为h',高为h,底面边长为a,

则h'=h,a=2=h.

∴该正四棱锥的侧面积为4×a×h'=h2,底面积为a2=h2,

∴该正四棱锥的侧面积与底面积之比为2∶1.

3.解析　由题意得AD==a,C1D==a,

AC1==a,

∴AD2+C1D2=A,∴AD⊥DC1,

∴=··=,

∴a2-··a+a2+a2+a2+a2+=a2=18+3+,解得a=2(负值舍去).

4.B　如图所示,正四棱锥S-ABCD的底面边长为2丈,即AB=20尺,高3丈,即SO=30尺.

截去一段后,得正四棱台ABCD-A1B1C1D1,且上底面边长A1B1=6尺,

∴=,解得OO1=21,

∴该正四棱台的体积是×21×(202+20×6+62)=3 892(立方尺).故选B.

5.C　因为M是A1B的中点,所以==VC-BMN==.

又=VA-CBN=VN-ABC==,

所以=×=×,所以体积之比为1∶6.故选C.

6.C　设三棱台的高为h,上底面A1B1C1的面积为S上,下底面ABC的面积为S下.

因为AB=2A1B1,所以S下=4S上,

所以三棱台的体积V=(S上+S下+)h=(5S上+)h=S上h.

三棱锥A1-ABC的体积为S下h=S上h,

所以剩余部分的体积为V.

7.BC　由题意得,面PBC是边长为1的正三角形,所以S△PBC=.设三棱锥A-PBC的高为h,则VP-ABC=VA-PBC=S△PBC·h=××h=h.

又h∈(0,1],所以该四面体的体积V∈.故选BC.

8.ACD　由题意得,底面ABC和A1B1C1是等腰直角三角形,侧面全是矩形,所以其侧面积为1×2×2+×2=4+2,故A正确;

直三棱柱的体积为S△ABC·AA1=×1×1×2=1,故B不正确;

∵点E是侧棱BB1上的一个动点,∴以平面AA1O为底面的三棱锥E-AA1O的高为定值,又=××2=,∴=××=,故C正确;

将面BB1C1C展开至与面AA1B1B共面,则四边形AA1C1C为正方形,连接AC1,交BB1于点E,即E为BB1的中点,此时AE+EC1的值最小,为2,故D正确.

9.答案　

解析　如图所示,三棱锥A-B1CD1可由正四棱锥P-ABCD减去四个小三棱锥得到.设正四棱锥P-ABCD的体积为V,

因为B1为PB的中点,D1为PD的中点,

所以=V,=V,

易得=V,=V,

故三棱锥A-B1CD1和正四棱锥P-ABCD的体积的比值是=.故答案为.

10.答案　2

解析　该四面体A-BCD可以看作一个长方体截去四个角之后得到.

设长方体的长、宽、高分别为x,y,z,则解得

则VA-BCD=2×1×3-4×××2×1×3=2.

故答案为2.