高中数学人教A版 (2019)必修 第二册第八章 立体几何初步本章综合与测试课后练习题

专题强化练7　空间角和距离

一、选择题　　　　　 　　　　　 　　　　　

1.(2020四川资阳高二上期末,)一个正方体的平面展开图如图所示,在该正方体中,给出如下3个命题:

①AF⊥CG;②AG与MN是异面直线且夹角为60°;③BG与平面ABCD所成的角为45°.其中真命题的个数是(　　)

A.0 B.1 C.2 D.3

2.(2020四川成都七中高三二模,)如图所示,三棱锥P-ABC的底面ABC是等腰直角三角形,∠ACB=90°,且PA=PB=AB=,PC=,则点C到平面PAB的距离等于(　　)

A. B. C. D.

3.(2020湖南长沙明德中学高一上月考,)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E是棱CC1的中点,F是侧面BCC1B1内的动点,且A1F∥平面D1AE,则A1F与平面BCC1B1所成角的正切值t构成的集合是(　　)

A. B.

C.{t|2≤t≤2} D.{t|2≤t≤2}

4.(多选)(2020海南海口高三模拟,)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1=AC=AB=2,AB⊥AC,D,E分别是线段BC,B1C上的动点(不含端点),且=.则下列说法正确的是(　　)

A.ED∥平面ACC1

B.该三棱柱的外接球的表面积为68π

C.异面直线B1C与AA1所成角的正切值为

D.二面角A-EC-D的余弦值为

二、填空题

5.(2020浙江杭州学军中学高二上期中,)如图,已知三棱锥A-BCD的所有棱长均相等,点E满足=3,点P在棱AB上运动,设EP与平面BCD所成的角为θ,则sin θ的最大值为　　　　. 

6.(2020浙江宁波九校高二上期末联考,)边长为2的等边△ABC和直角△ABC1所在半平面构成60°的二面角,当∠AC1B=90°,∠C1AB=30°时,线段CC1的长度为　　　　. 

三、解答题

7.(2020黑龙江哈尔滨三中高三上期末,)如图,直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=90°,AB=AC,D、E分别为AA1、B1C的中点.

(1)证明:DE⊥平面BCC1B1;

(2)若AB=2,直线B1B与直线CD所成的角为45°,求点B到平面B1CD的距离.

8.(2020福建宁德高三上期末,)如图,平面ABCD⊥平面EBC,四边形ABCD为矩形,AB=1,∠EBC=,且M、N分别为AB、CE的中点.

(1)证明:MN∥平面AED;

(2)若BC=BE=2,求二面角E-AD-B的大小.

9.(2020天津实验中学高一上期末,)如图,在四棱锥P-ABCD中,AD⊥平面PDC,AD∥BC,PD⊥PB,AD=1,BC=3,CD=4,PD=2,

(1)求证:PD⊥平面PBC;

(2)求直线AB与平面PBC所成角的正弦值.

10.(2020湖北武汉武昌高二月考,)如图,直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面是边长为2的正三角形,侧棱长为a,E为AB的中点.

(1)若a=1,证明B1E⊥平面A1EC;

(2)若a=2,求直线B1E与平面A1EC所成角的正弦值.

答案全解全析

一、选择题

1.C　将平面展开图还原成正方体,如图所示:

对于①,连接MB,易知MB∥CG,MB⊥AF,∴AF⊥CG,①正确;

对于②,连接AC,易知MN∥AC,∴∠GAC是异面直线AG与MN所成的角,

易知△GAC为等边三角形,∴∠GAC=60°,②正确;

对于③,连接BD,易知∠GBD为BG与平面ABCD所成的角,∠GBD≠45°,③错误.

故选C.

2.C　取AB的中点G,连接PG、CG,作CH⊥PG,垂足为H,如图所示,

∵PA=PB=AB=,

∴△PAB为等边三角形.

∵G为AB的中点,∴PG⊥AB,

∵△ABC为等腰直角三角形,∠ACB=90°,∴CG⊥AB,

又PG∩CG=G,

∴AB⊥平面PCG,

又CH⊂平面PCG,∴AB⊥CH.

又CH⊥PG,PG∩AB=G,∴CH⊥平面PAB,

即CH就是点C到平面PAB的距离.

在等边三角形PAB中,PG=×=,

在Rt△ABC中,CG==,

在△PCG中,由余弦定理的推论可得

cos∠PGC===-,

∴sin∠PGC===,

在Rt△CHG中,CH=CG·sin(π-∠PGC)=×=,

∴点C到平面PAB的距离为.

故选C.

3.D　设平面AD1E与直线BC交于点G,则G为BC的中点,连接AG、EG,

分别取B1B、B1C1的中点M、N,连接A1M、MN、A1N,则A1M∥D1E,MN∥EG.

∵A1M⊄平面D1AE,D1E⊂平面D1AE,

∴A1M∥平面D1AE,同理可得MN∥平面D1AE.

∵A1M、MN是平面A1MN内的两条相交直线,

∴平面A1MN∥平面D1AE.

∵A1F∥平面D1AE,

∴F是线段MN上的动点.

连接B1F,设直线A1F与平面BCC1B1所成的角为θ,

当点F与点M(或N)重合时,A1F与平面BCC1B1所成角等于∠A1MB1,此时所成角θ达到最小值,满足tan θ==2.

当点F为MN的中点时,A1F与平面BCC1B1所成角达到最大值,

此时tan θ===2.

∴t构成的集合为{t|2≤t≤2}.

4.AD　在直三棱柱ABC-A1B1C1中,四边形BCC1B1是矩形,

因为=,所以ED∥BB1∥CC1,

因为ED⊄平面ACC1,CC1⊂平面ACC1,

所以ED∥平面ACC1,A项正确;

因为AA1=AC=AB=2,所以AB=3,

因为AB⊥AC,所以BC==,所以B1C==,

易知B1C是三棱柱外接球的直径,所以外接球的表面积为4π×=17π,故B错误;

AA1∥BB1,所以∠BB1C为异面直线B1C与AA1所成的角.

在Rt△B1BC中,BB1=2,BC=,所以tan∠BB1C==,所以C错误;

过A作AF⊥BC于F,由直三棱柱的定义可知AF⊥CC1,因为CC1∩BC=C,所以AF⊥平面BCC1B1,

过F作FG⊥B1C于G,连接AG,则AG⊥B1C,所以∠AGF是二面角A-EC-D的平面角.

在Rt△BAC中,可得AF=,CF=,因为sin∠B1CB=,所以FG=×,

所以AG=,所以cos∠AGF===,所以D正确.

故选AD.

二、填空题

5.答案　

解析　依题意可知,该几何体为正四面体,设顶点A在底面内的射影是O,则O为△BCD的中心,连接OB,过P作PH⊥OB,交OB于H,连接HE,如图.

易知∠PEH是直线EP与平面BCD所成的角,设为θ,

设正四面体的棱长为4a,PB=x(0≤x≤4a),在三角形PBE中,∠PBE=,

由余弦定理得PE=,

在△AOB中,AO==a,

∴=,解得PH=x,

∴sin θ==

=,

∴当x=2a时,sin θ取得最大值,最大值为.

6.答案　

解析　如图1,作C1D⊥AB于D,C1O⊥平面ABC于O,连接DO,

∵AB⊂平面ABC,∴C1O⊥AB,又C1O∩C1D=C1,∴AB⊥平面C1DO,又DO⊂平面C1DO,∴AB⊥DO,∴∠C1DO为等边△ABC和直角△ABC1所在半平面构成的二面角,即∠C1DO=60°,

又∠AC1B=90°,∠C1AB=30°,

∴C1B=AB·sin 30°=1,C1D=C1B·sin 60°=,C1O=C1D·sin 60°=,

DO=C1D·cos 60°=,BD=C1B·cos 60°=,画出底面△ABC如图2,分析可知:

CO===,

∴CC1===.

图1

图2

三、解答题

7.解析　(1)证明:如图,取BC的中点G,连接EG、AG,则EG∥DA,且EG=DA,

∴四边形ADEG为平行四边形,

∴DE∥AG.

∵B1B⊥平面ABC,AG⊂平面ABC,

∴B1B⊥AG,

∵AB=AC,且G为BC的中点,∴BC⊥AG,又B1B∩BC=B,∴AG⊥平面BCC1B1,

又DE∥AG,∴DE⊥平面BCC1B1.

(2)∵B1B∥AD,∴∠ADC就是直线B1B与直线CD所成的角,∴∠ADC=45°,

∴AD=AC=2.

设点B到平面B1CD的距离为d,由=,可得×d×××2=×2××4×2,解得d=,

故点B到平面B1CD的距离d=.

8.解析　(1)证明:取DE的中点F,连接AF、FN,又N为BC的中点,

∴FN∥CD,FN=CD.

∵矩形ABCD中,M为AB的中点,

∴AM∥CD,AM=CD,

∴AM∥FN,AM=FN,

∴四边形AMNF为平行四边形,

∴AF∥MN.

又AF⊂平面AED,MN⊄平面AED,

∴MN∥平面AED.

(2)过点E作EH⊥BC于H,∵平面ABCD⊥平面EBC,平面ABCD∩平面EBC=BC,

∴EH⊥平面ABCD,过H作HG⊥AD于G,连接EG.

∵AD⊂平面ABCD,∴EH⊥AD,又EH∩HG=H,

∴AD⊥平面EHG,EG⊂平面EHG,∴AD⊥EG,

∴∠EGH即为二面角E-AD-B的平面角.

在Rt△EHB中,EH=EB×sin =2×=,又HG=AB=1,

∴tan∠EGH==,∴∠EGH=,

∴二面角E-AD-B的大小为.

9.解析　(1)证明:∵AD⊥平面PDC,PD⊂平面PDC,∴AD⊥PD,

∵BC∥AD,∴PD⊥BC,

又PD⊥PB,PB∩BC=B,

∴PD⊥平面PBC.

(2)过点D作AB的平行线交BC于点F,连接PF,则DF与平面PBC所成的角等于AB与平面PBC所成的角.

∵PD⊥平面PBC,∴PF为DF在平面PBC上的射影,∴∠DFP为直线DF与平面PBC所成的角.

∵AD∥BC,DF∥AB,∴四边形DABF为平行四边形,∴BF=AD=1.

∴CF=BC-BF=2.

∵AD⊥DC,∴BC⊥DC.

在Rt△DCF中,可得DF==2.

在Rt△DPF中,可得sin∠DFP==,

∴直线AB与平面PBC所成角的正弦值为.

10.解析　(1)证明:∵△ABC是正三角形,E为AB的中点,∴CE⊥AB.

∵三棱柱ABC-A1B1C1是直棱柱,平面ABB1A1∩平面ABC=AB,

∴CE⊥平面A1ABB1,

∴CE⊥B1E.

∵四边形A1ABB1是矩形,且AA1=1,AB=2,

∴A1E2+B1E2=AE2+A+EB2+B=4=A1,∴A1E⊥B1E.

∵CE⊥B1E,A1E⊥B1E,CE∩A1E=E,

∴B1E⊥平面A1EC.

(2)如图所示,过点B1作B1H⊥平面A1EC,垂足为H,连接B1C,EH,则∠B1EH为直线B1E与平面A1EC所成的角,

在△A1B1E中,A1B1=2,A1E=B1E=,

∴=2,

在△A1CE中,A1C=2,CE=,A1E=,∴=.

∵=,

∴·CE=·B1H,

∴×2×=××B1H,

解得B1H=,

∴sin∠B1EH==.