高中数学人教A版 (2019)必修 第二册6.2 平面向量的运算图文课件ppt

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一只猴子捡到一把钝刀,连小树也砍不断.于是它向砍柴人请教,砍柴人说“把刀放到石上磨一磨”.于是猴子高兴地飞奔回去,立刻把刀放在一块石头上拼命地磨.直到它发现刀口和刀背差不多厚了,便停下来……结果当然是失败的.难道猴子没有做功吗?不!难道猴子没有用心吗?不!但是做功≠成功.物理学当中的做功在数学中叫做什么,是如何表示的呢?
知识点一、向量数量积的定义1.向量a与向量b的夹角(1)夹角的定义:已知两个非零向量a,b,O是平面上的任意一点,作
2.向量的数量积(1)定义:已知两个非零向量a与b,它们的夹角为θ,我们把数量|a||b|cs θ叫做向量a与b的数量积(或内积),记作a·b,即a·b=|a||b|cs θ.(2)零向量与任一向量的数量积为0.(3)向量数量积的大小与两个向量的长度及其夹角有关.名师点析 两个向量的数量积是两个向量之间的一种运算,与实数乘实数、数乘向量的乘法有着本质的区别,书写时一定要注意用a·b表示,不能用a×b或ab表示.
微思考 两个向量的数量积结果是向量还是数量?提示:是数量.微练习
答案:(1)-2　(2)8
知识点二、向量a在向量b上的投影向量
微练习(1)若|a|=3,|b|=4,a与b的夹角是120°,与b方向相同的单位向量为e,则向量a在向量b上的投影向量为　　　　　. (2)若a·b=-6,|a|=8,与a方向相同的单位向量为e,则向量b在向量a上的投影向量为　　　　　. 
知识点三、平面向量数量积的性质设a,b是非零向量,它们的夹角是θ,e是与b方向相同的单位向量,则(1)a·e=e·a=|a|cs θ.(2)a⊥b⇔a·b=0.(3)当a与b同向时,a·b=|a||b|;当a与b反向时,a·b=-|a||b|.特别
微练习已知|a|=7,则a·a=　　　　　. 解析:a·a=|a|2=72=49.答案:49
知识点四、平面向量数量积的运算律
名师点析 (1)向量数量积的运算不适合约分,即a·b=a·c b=c.(2)向量数量积运算也不适合结合律,即(a·b)·c不一定等于a·(b·c),这是由于(a·b)·c表示一个与c共线的向量,而a·(b·c)表示一个与a共线的向量.
答案:(1)A　(2)A
求平面向量的数量积角度1　数量积的简单计算例1已知|a|=2,|b|=3,a与b的夹角为120°,求:(1)a·b;(2)a2-b2;(3)(2a-b)·(a+3b).分析依据数量积、模、夹角的定义→逐一进行计算即可(2)a2-b2=|a|2-|b|2=4-9=-5.(3)(2a-b)·(a+3b)=2a2+5a·b-3b2=2|a|2+5|a||b|cs 120°-3|b|2=8-15-27=-34.反思感悟 求向量的数量积时,需明确两个关键点:相关向量的模和夹角.若相关向量是两个或两个以上向量的线性运算,则需先利用向量数量积的运算律及多项式乘法的相关公式进行化简.
角度2　几何图形中向量数量积的计算例2(2019天津高考)在四边形ABCD中,
反思感悟 平面向量的数量积在平面几何中的应用(1)解决几何图形中的向量的数量积运算问题,要充分利用图形特点及其含有的特殊向量,这里的特殊向量主要指具有特殊夹角或已知长度的向量.
求向量的投影向量例3如图,在△ABC中,AB=AC=4,∠BAC=90°,D是边BC的中点,求:
反思感悟 投影向量的求解策略求投影向量要搞清是求哪一个向量在哪一个向量上的投影向量,在正确理解其定义的同时,找准两向量之间的夹角是关键.确定两向量的夹角时,一定要注意“共始点”.
向量模的相关问题角度1　利用数量积求向量的模例4(1)已知向量a,b满足|a|=|b|=5,且a与b的夹角为60°,则|2a+b|=　　　　　. 
反思感悟 向量模的求解方法根据数量积的定义a·a=|a||a|cs 0°=|a|2,得 这是求向量的模的一种方法.即要求一个向量的模,先求这个向量与自身的数量积(一定非负),再求它的算术平方根.对于复杂的向量也是如此.例如,求|a+b|,可先求(a+b)2=(a+b)·(a+b),再取其算术平方根即为|a+b|.
变式训练3已知向量a,b满足|a|=2,|b|=3,|a+b|=4,求|a-b|.解:因为|a+b|=4,所以|a+b|2=42,所以a2+2a·b+b2=16.①因为|a|=2,|b|=3,所以a2=|a|2=4,b2=|b|2=9,代入①式得4+2a·b+9=16,得2a·b=3.又因为(a-b)2=a2-2a·b+b2=4-3+9=10,
角度2　与模有关的最值问题例5(1)若平面向量a,b,c满足:|a|=|c|=1,|b|=2,且c·(a-b)=0,则|b-c|的取值范围是(　　)(2)若a,b,c均为单位向量,且a·b=0,则|a+b-c|的最小值为(　　)
答案:(1)B　(2)A
反思感悟 向量模的最值问题的求法涉及向量模的最值问题,一般是把模平方,利用平面向量的数量积运算,把问题转化为关于某个量的函数,进而求出最值.需要掌握向量模的一些简单几何意义:①|a|为正值,则说明当表示向量的有向线段的起点确定后,其终点在以起点为圆心,以|a|为半径的圆上运动;②若|a+b|=|a-b|,则有a⊥b;③若(a+b)·(a-b)=0,则|a|=|b|.
变式训练4若两个单位向量a,b的夹角为120°,k∈R,则|a-kb|的最小值为(　　)
利用数量积解决向量的夹角与垂直问题例6(1)若非零向量a,b满足|a|=|b|,且(2a+b)⊥b,则a与b的夹角为(　　)A.30°B.60°C.120°D.150°(2)已知非零向量a,b满足|a|=|b|=|a+b|,求a与a+b的夹角及a与a-b的夹角.分析(1)将已知条件展开变形后利用数量积的定义求解.(2)可采用数形结合的方法构造平面图形求解.
(1)解析:因为(2a+b)⊥b,所以(2a+b)·b=0,所以2a·b+|b|2=0.设a,b的夹角为θ,则2|a||b|cs θ+|b|2=0.又|a|=|b|,所以2|b|2cs θ+|b|2=0,因此cs θ=- ,从而θ=120°.选C.答案:C
反思感悟 求平面向量夹角的方法(1)求向量的夹角,主要是利用公式cs θ= 求出夹角的余弦值,从而求得夹角.可以直接求出a·b的值及|a|,|b|的值,然后代入求解,也可以寻找|a|,|b|,a·b三者之间的关系,然后代入求解.(2)求向量的夹角,还可结合向量线性运算、模的几何意义,利用数形结合的方法求解.
延伸探究 本例(1)中,若非零向量a,b的夹角为60°,且|a|=|b|,当(a+2b)⊥(ka-b)时,求实数k的值.解:因为(a+2b)⊥(ka-b),所以(a+2b)·(ka-b)=0,即k|a|2+(2k-1)a·b-2|b|2=0,
利用向量的数量积判断几何图形的形状A.等腰直角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等边三角形ABC的形状是(　　)A.等腰三角形B.等边三角形C.直角三角形D.以上都不对
反思感悟 能够将 ,并熟练地运用向量的减法,是本题获解的关键.依据向量的数量积的有关知识判断平面图形的形状的关键是由已知条件建立向量的数量积、模、夹角等之间的关系,其中移项、平方是常用手段,可以出现向量的数量积及模等信息.
2.若|a|=4,|b|=2,a和b的夹角为30°,则a在b上的投影向量的模为(　　)
4.若向量a与b的夹角为60°,|b|=4,(a+2b)·(a-3b)=-72,则|a|=(　　)A.2B.4C.6D.12解析:因为(a+2b)·(a-3b)=-72,所以a2-a·b-6b2=-72,即|a|2-|a||b|cs 60°-6|b|2=-72,所以|a|2-2|a|-24=0.又|a|≥0,故|a|=6.答案:C
5.已知两个单位向量a,b的夹角为60°,若(2a+b)⊥(a+λb),则λ=　　　　. 解析:∵(2a+b)⊥(a+λb),∴(2a+b)·(a+λb)=0,∴2a2+2λa·b+a·b+λb2=0.∵|a|=|b|=1,且a与b的夹角为60°,