人教A版 (2019)选择性必修 第一册第二章 直线和圆的方程本章综合与测试同步达标检测题

这是一份人教A版 (2019)选择性必修 第一册第二章 直线和圆的方程本章综合与测试同步达标检测题，共15页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

本章达标检测
(满分:150分;时间:120分钟)
一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.若直线经过A(1,0),B(4,3)两点,则直线AB的倾斜角为(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.30° B.45° C.60° D.120°
2.过点P(-1,3)且倾斜角为30°的直线方程为(　　)
A.3x-3y+43=0
B.3x-y+23=0
C.3x-3y+23=0
D.3x-y=0
3.已知圆C1:(x+1)2+(y-1)2=1,圆C2与圆C1关于直线x-y-1=0对称,则圆C2的方程为(　　)
A.(x-2)2+(y+2)2=1
B.(x+2)2+(y-2)2=1
C.(x-2)2+(y-2)2=1
D.(x-2)2+(y-1)2=1
4.已知圆C1:x2+y2-6x+4y+12=0与圆C2:x2+y2-14x-2y+a=0,若圆C1与圆C2有且仅有一个公共点,则实数a等于(　　)
A.14 B.34 C.14或45 D.34或14
5.若直线l1:ax+2y+6=0与直线l2:x+(a-1)y+a2-1=0平行,则a=(　　)
A.2或-1 B.-1 C.2 D.23
6.若直线ax+by=ab(a>0,b>0)过点(1,1),则该直线在x轴、y轴上的截距之和的最小值为(　　)
A.1 B.2 C.4 D.8
7.已知圆O:x2+y2=r2,点P(a,b)(ab≠0)是圆O内一点,过点P的圆O的最短弦所在的直线为l1,直线l2的方程为ax+by+r2=0,那么(　　)
A.l1∥l2,且l2与圆O相离
B.l1⊥l2,且l2与圆O相切
C.l1∥l2,且l2与圆O相交
D.l1⊥l2,且l2与圆O相离
8.已知圆C的圆心为原点O,且与直线x+y+42=0相切.点P在直线x=8上,过点P引圆C的两条切线PA,PB,切点分别为A,B,如图所示,则直线AB恒过定点的坐标为(　　)

A.(2,0) B.(0,2)
C.(1,0) D.(0,1)
二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多个选项符合题目要求,全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分)
9.下列说法错误的是(　　)
A.“a=-1”是“直线a2x-y+1=0与直线x-ay-2=0互相垂直”的充要条件
B.直线xsin α+y+2=0的倾斜角θ的取值范围是0,π4∪3π4,π
C.过(x1,y1),(x2,y2)两点的所有直线的方程为y-y1y2-y1=x-x1x2-x1
D.经过点(1,1)且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为x+y-2=0
10.在平面直角坐标系Oxy中,圆C的方程为x2+y2-4x=0.若直线y=k(x+1)上存在一点P,使过P所作的圆的两条切线相互垂直,则实数k的取值可以是(　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
11.已知直线xsin α+ycos α+1=0(α∈R),则下列命题正确的是(　　)
A.直线的倾斜角是π-α
B.无论α如何变化,直线不过原点
C.无论α如何变化,直线总和一个定圆相切
D.当直线和两坐标轴都相交时,它和坐标轴围成的三角形的面积不小于1
12.已知实数x,y满足方程x2+y2-4x+1=0,则下列说法错误的是(　　)
A.y-x的最大值为6-2
B.x2+y2的最大值为7+43
C.yx的最大值为32
D.x+y的最大值为2+3
三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.将答案填在题中横线上)
13.从原点向圆x2+y2-12y+27=0作两条切线,则这两条切线的夹角等于　　　　度. 
14.在平面直角坐标系内,到点A(1,2),B(1,5),C(3,6),D(7,-1)的距离之和最小的点的坐标是　　　　. 
15.已知直线l在两坐标轴上的截距相等,且点P(1,3)到直线l的距离为2,则直线l的条数为　　　　　.  
16.已知直线l:y=k(x+4)与圆(x+2)2+y2=4相交于A、B两点,M是线段AB的中点,则M的轨迹方程为　　　　　　　; M到直线3x-4y-6=0的距离的最小值为　　　　.(本题第一空3分,第二空2分) 

四、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分10分)直线l经过两直线l1:3x+4y-2=0和l2:2x+y+2=0的交点.
(1)若直线l与直线3x+y-1=0平行,求直线l的方程;
(2)若点A(3,1)到直线l的距离为5,求直线l的方程.

















18.(本小题满分12分)等腰直角△ABC的直角为角C,且点C(0,-1),斜边AB所在的直线方程为x+2y-8=0.
(1)求△ABC的面积;
(2)求斜边AB中点D的坐标.









19.(本小题满分12分)已知方程x2+y2-2x-4y+m=0.
(1)若此方程表示圆,求m的取值范围;
(2)若(1)中的圆与直线x+2y-4=0相交于M,N两点,且OM⊥ON(O为坐标原点),求m的值.






20.(本小题满分12分)已知△ABC中,BC边上的高所在的直线方程为x-2y+1=0,∠A的平分线所在的直线方程为y=0,点C的坐标为(1,2).
(1)求点A和点B的坐标;
(2)过点C作直线l与x轴、y轴的正半轴分别交于点M、N,求△MON(O为坐标原点)的面积最小值及此时直线l的方程.


















21.(本小题满分12分)在平面直角坐标系Oxy中,已知圆C1:(x+3)2+(y-1)2=4与圆C2:(x-4)2+(y-5)2=4.
(1)若直线l过点A(4,0),且被圆C1截得的弦长为23,求直线l的方程;
(2)设P为平面上的点,且满足:存在过点P的无穷多对互相垂直的直线l1和l2,它们分别与圆C1和圆C2相交,且直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等,试求所有满足条件的点P的坐标.

















22.(本小题满分12分)在平面直角坐标系Oxy中,直线l:x-3y-4=0交x轴于点M,以O为圆心的圆与直线l相切.
(1)求圆O的方程;
(2)设点N(x0,y0)为直线y=-x+3上一动点,若在圆O上存在点P,使得∠ONP=45°,求x0的取值范围;
(3)是否存在定点S,对于经过点S的直线a,当a与圆O交于A,B两点时,恒有∠AMO=∠BMO?若存在,求出点S的坐标;若不存在,请说明理由.







答案全解全析
一、单项选择题
1.A　由A、B的坐标得kAB=3-04-1=33,因此直线AB的倾斜角为30°,故选A.
2.A　由倾斜角为30°知,直线的斜率k=33,因此,其直线方程为y-3=33(x+1),
化简得,3x-3y+43=0,故选A.
3.A　圆C1的圆心为C1(-1,1),设圆C2的圆心为C2(a,b),依题意得a-12-b+12-1=0,b-1a+1=-1,解得a=2,b=-2,
又圆C2的半径与圆C1的半径相等,
所以圆C2的方程为(x-2)2+(y+2)2=1.
故选A.
4.D　设圆C1、圆C2的半径分别为r1、r2.圆C1的方程可化为(x-3)2+(y+2)2=1,
圆C2的方程可化为(x-7)2+(y-1)2=50-a.
由两圆相切得,|C1C2|=r1+r2或|C1C2|=|r1-r2|,
∵|C1C2|=42+32=5,
∴r2+1=5或|1-r2|=5⇒r2=4或r2=6或r2=-4(舍去).
因此,50-a=16或50-a=36⇒a=34或a=14,故选D.
5.B　依题意得,a(a-1)-2×1=0,①2(a2-1)-6(a-1)≠0,②
解①得,a=-1或a=2,
因为a=-1适合不等式②,a=2不适合②,
所以a=-1,故选B.
6.C　易知直线在x轴、y轴上的截距之和为a+b.∵直线ax+by=ab(a>0,b>0)过点(1,1),
∴a+b=ab,即1a+1b=1,
∴a+b=(a+b)1a+1b=2+ba+ab≥2+2ba·ab=4,当且仅当ba=ab,即a=b=2时取等号,
∴直线在x轴、y轴上的截距之和的最小值为4.
7.A　∵点P(a,b)在圆O内部,∴a2+b2<|r|.由题意知,当l1⊥OP时,过点P的弦最短,此时kl1=-1kOP=-ab.而l2的斜率kl2=-ab,∴l1∥l2.又∵圆心(0,0)到直线l2的距离d=r2a2+b2>r2|r|=|r|,∴l2与圆O相离.
8.A　依题意得圆C的半径r=4212+12=4,所以圆C的方程为x2+y2=16.
因为PA,PB是圆C的两条切线,
所以OA⊥AP,OB⊥BP,所以A,B在以OP为直径的圆上,设点P的坐标为(8,b),b∈R,则线段OP的中点坐标为4,b2,所以以OP为直径的圆的方程为(x-4)2+y-b22=42+b22,b∈R,化简得x2+y2-8x-by=0,b∈R,因为AB为两圆的公共弦,所以直线AB的方程为8x+by=16,b∈R,即8(x-2)+by=0,所以直线AB恒过定点(2,0).
二、多项选择题
9.ACD　当a=0时,两直线方程分别为y=1和x=2,此时也满足直线相互垂直,故A说法错误;直线的斜率k=-sin α,则-1≤k≤1,即-1≤tan θ≤1,则θ∈0,π4∪3π4,π,故B说法正确;当x1=x2或y1=y2时,直线方程为x=x1或y=y1,此时直线方程y-y1y2-y1=x-x1x2-x1不成立,故C说法错误;若直线过原点,则直线方程为y=x,此时也满足条件,故D说法错误,故选ACD.
10.AB　过P点作圆的两条切线,切点分别是A,B,依题意得,四边形PACB是正方形,又C:(x-2)2+y2=4,
∴|PC|=2|AC|=22,
∴P点在以C(2,0)为圆心,22为半径的圆上.
其方程为(x-2)2+y2=8.
依题意得,直线y=k(x+1)与圆(x-2)2+y2=8有公共点,
∴|2k+k|k2+1≤22,解得k2-8≤0⇒-22≤k≤22.
故选项AB正确.
11.BCD　根据直线倾斜角的范围为[0,π),而π-α∈R,所以A不正确;当x=y=0时,xsin α+ycos α+1=1≠0,所以直线必不过原点,B正确;由点到直线的距离公式得原点到直线的距离为1,所以直线总和单位圆相切,C正确;当直线和两坐标轴都相交时,它和坐标轴围成的三角形的面积为S=121-sinα·1-cosα=1|sin2α|≥1,所以D正确,故选BCD.
12.CD　对于A,设z=y-x,则y=x+z,z表示直线y=x+z的纵截距,当直线与圆(x-2)2+y2=3有公共点时,|2+z|2≤3,解得-6-2≤z≤6-2,所以y-x的最大值为6-2,故A说法正确;对于B,x2+y2的几何意义是表示圆上的点到原点距离的平方,易知原点到圆心的距离为2,则原点到圆上的最大距离为2+3,所以x2+y2的最大值为(2+3)2=7+43,故B说法正确;对于C,yx的几何意义是表示圆上的点与原点连线的斜率,则yx的最大值为tan 60°=3,故C说法错误;对于D,设m=x+y,则y=-x+m,m表示直线y=-x+m的纵截距,当直线与圆(x-2)2+y2=3有公共点时,|-2+m|2≤3,解得-6+2≤m≤6+2,所以x+y的最大值为6+2,故D说法错误.故选CD.
三、填空题
13.答案　60
解析　如图,圆的方程可化为x2+(y-6)2=9,圆心为P(0,6),半径为3,过原点O作圆P的两条切线,切点分别为A,B.
在Rt△PAO中,|OP|=6,|PA|=3,
所以∠AOP=30°,故这两条切线的夹角为60°.

14.答案　(2,4)
解析　如图,设平面直角坐标系中任一点P,P到A,B,C,D的距离之和为PA+PB+PC+PD=PB+PD+PA+PC≥BD+AC,故四边形ABCD的对角线的交点Q即为所求距离之和最小的点.

易知直线AC的方程为y=2x,
直线BD的方程为x+y-6=0,
解方程组y=2x,x+y-6=0得x=2,y=4,故填(2,4).
15.答案　4
解析　由题意知,若直线l在两坐标轴上的截距为0,
则设所求直线l的方程为y=kx.
由题意知|k-3|k2+1=2,解得k=1或k=-7,此时直线l的方程为x-y=0或7x+y=0.
若直线l在两坐标轴上的截距不为0,则设所求直线l的方程为x+y-a=0(a≠0).
由题意知|1+3-a|12+12=2,解得a=2或a=6,此时直线l的方程为x+y-2=0或x+y-6=0.
综上,所求直线l的方程为x-y=0或7x+y=0或x+y-2=0或x+y-6=0,故有4条直线.
16.答案　(x+3)2+y2=1(x≠-4);2
解析　圆(x+2)2+y2=4的圆心C(-2,0),半径r=2,则圆心C到直线y=k(x+4)的距离d=|-2k+4k|k2+1=|2k|k2+1<2,
直线l:y=k(x+4)过定点A(-4,0),
设M(x0,y0),B(x1,y1),
则x0=-4+x12,y0=y12,得x1=2x0+4,y1=2y0,
代入(x+2)2+y2=4,可得(x0+3)2+y02=1,
所以M的轨迹是以(-3,0)为圆心,1为半径的圆,故M的轨迹方程为(x+3)2+y2=1(x≠-4).
则M到直线3x-4y-6=0的距离的最小值为|-3×3-6|5-1=2.
四、解答题
17.解析　(1)由3x+4y-2=0,2x+y+2=0得x=-2,y=2,
所以交点坐标为(-2,2),(2分)
设直线l的方程为3x+y+c=0(c≠-1),
把点(-2,2)代入方程得c=4,(4分)
所以直线l的方程为3x+y+4=0.(5分)
(2)由(1)知,当直线l的斜率不存在时,直线l的方程为x=-2,(7分)
此时点A(3,1)到直线l的距离为5,满足题意;
当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y-2=k(x+2),即kx-y+2k+2=0,则点A(3,1)到直线l的距离d=|3k-1+2k+2|k2+(-1)2=|5k+1|k2+1=5,解得k=125,(9分)
所以直线l的方程为12x-5y+34=0.
综上,直线l的方程为x=-2或12x-5y+34=0.(10分)
18.解析　(1)顶点C到斜边AB的距离
d=|0+2×(-1)-8|12+22=105=25,(3分)
所以斜边AB=2d=45,(4分)
故△ABC的面积S=12×AB×d=12×45×25=20.(6分)
(2)由题意知,CD⊥AB,又kAB=-12,所以kCD=2,(7分)
所以直线CD的方程为y=2x-1,即2x-y-1=0,(9分)
由x+2y-8=0,2x-y-1=0,解得x=2,y=3,(11分)
所以点D的坐标为(2,3).(12分)
19.解析　(1)方程x2+y2-2x-4y+m=0可化为(x-1)2+(y-2)2=5-m,(2分)
∵此方程表示圆,∴5-m>0,∴m<5.(5分)
(2)由x2+y2-2x-4y+m=0,x+2y-4=0消去x,得
(4-2y)2+y2-2(4-2y)-4y+m=0,(6分)
化简得5y2-16y+m+8=0.
设M(x1,y1),N(x2,y2),
则y1+y2=165,①y1y2=m+85.②(8分)
由OM⊥ON得y1y2+x1x2=0,
即y1y2+(4-2y1)(4-2y2)=0,
∴16-8(y1+y2)+5y1y2=0,(10分)
将①②代入上式得
16-8×165+5×m+85=0,
解得m=85.(12分)
20.解析　(1)因为点A在BC边上的高所在的直线x-2y+1=0上,且在∠A的平分线所在的直线y=0上,所以解方程组x-2y+1=0,y=0,得A(-1,0).(2分)
因为BC边上的高所在的直线方程为x-2y+1=0,所以kBC=-2,
因为点C的坐标为(1,2),所以直线BC的方程为2x+y-4=0,(4分)
因为kAC=1,kAB=-kAC=-1,所以直线AB的方程为x+y+1=0,
解方程组x+y+1=0,2x+y-4=0,得B(5,-6),
故点A,点B的坐标分别为(-1,0),(5,-6).(6分)
(2)依题意得直线的斜率存在,设直线l的方程为y-2=k(x-1)(k<0),
则Mk-2k,0,N(0,2-k),
所以S△MON=12·k-2k·(2-k)=12·4-k-4k≥124+2-4k·(-k)=4,(10分)
当且仅当-4k=-k,即k=-2时取等号,所以(S△MON)min=4,此时直线l的方程是2x+y-4=0.(12分)
21.解析　(1)由题意可知直线l的斜率存在,设直线l的方程为y=k(x-4),即kx-y-4k=0,所以圆心C1(-3,1)到直线l的距离d=|-3k-1-4k|k2+(-1)2=4-2322=1,(2分)
化简得24k2+7k=0,解得k=0或k=-724.(3分)
所以直线l的方程为y=0或y=-724(x-4),即y=0或7x+24y-28=0.(5分)
(2)设点P的坐标为(m,n),不妨设直线l1,l2的方程分别为y-n=k'(x-m),y-n=-1k'(x-m),即k'x-y+n-k'm=0,-1k'x-y+n+mk'=0.(6分)
因为直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等,两圆的半径也相等,所以圆心C1(-3,1)到直线l1的距离与圆心C2(4,5)到直线l2的距离相等,即|-3k'-1+n-k'm|k'2+(-1)2=-4k'-5+n+mk'-1k'2+(-1)2,(8分)
化简得(2-m-n)k'=m-n-3或(m-n+8)k'=m+n-5,关于k'的方程有无穷多解,则2-m-n=0,m-n-3=0或m-n+8=0,m+n-5=0,(10分)
解得m=52,n=-12或m=-32,n=132,故满足条件的点P的坐标为52,-12或-32,132.(12分)
22.解析　(1)由直线l:x-3y-4=0,得原点到直线的距离d=41+3=2,
故圆O的方程为x2+y2=4.(4分)
(2)过N 作圆O的切线,切点为Q,如图①所示,

图①
则∠ONQ≥∠ONP=45°,∴sin∠ONQ=|OQ||ON|≥sin∠ONP=22,
∴|ON|≤22.(6分)
由点N(x0,y0)为直线y=-x+3上一动点,得x02+y02=x02+(3-x0)2≤8,解得3-72≤x0≤3+72.(8分)
(3)存在定点S(1,0),使得∠AMO=∠BMO恒成立,如图②所示.

图②
设直线AB:y=kx+m(k≠0),直线AB与圆O的交点为A(x1,y1),B(x2,y2),联立方程y=kx+m,x2+y2=4,得(1+k2)x2+2kmx+m2-4=0,则x1+x2=-2km1+k2,x1x2=m2-41+k2,
由∠AMO=∠BMO,得kAM+kBM=0,
由M(4,0),得2kx1x2+(m-4k)(x1+x2)-8m=0,
∴2k×m2-41+k2+(m-4k)-2km1+k2-8m=0,化简得m=-k.
此时直线AB:y=kx-k,恒过定点S(1,0).(10分)
当直线AB的斜率不存在时,由圆的对称性知直线过S(1,0)时也满足∠AMO=∠BMO.
由此存在定点S(1,0),使得∠AMO=∠BMO恒成立.(12分)