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选择性必修第一册综合测评
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这是一份高中数学全册综合随堂练习题，共17页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
全书综合测评
(满分:150分;时间:120分钟)
一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.直线3x-y-2 018=0的倾斜角等于( )
A.π6 B.π3 C.π4 D.不存在
2.已知向量a=(0,1,1),b=(1,-2,1).若向量a+b与向量c=(-2,m,-4)平行,则实数m的值是( )
A.2 B.-2 C.10 D.-10
3.若P,Q分别为直线3x+4y-12=0与6x+8y+5=0上任意一点,则|PQ|的最小值为( )
A.95 B.185 C.2910 D.295
4.已知点A(2,-1,2)在平面α内,n=(3,1,2)是平面α的一个法向量,则下列各点在平面α内的是( )
A.(1,-1,1) B.1,3,32
C.1,-3,32 D.-1,3,-32
5.已知椭圆C的中心在原点,焦点F1,F2在x轴上,C上的点到左焦点F1的距离的最大值为6,过F1的直线交C于A,B两点,且△ABF2的周长为16,则椭圆C的方程为( )
A.x216+y212=1 B.x216+y24=1
C.x212+y24=1 D.x24+y22=1
6.已知圆C:(x+2)2+(y+2)2=10,若直线l:y=kx-2与圆交于P、Q两点,则弦长|PQ|的最小值是( )
A.5 B.4 C.25 D.26
7.已知抛物线C:y2=8x,圆F:(x-2)2+y2=4(点F为其圆心),直线l:y=k(x-2)(k≠0)自上而下顺次与上述两曲线交于M1,M2,M3,M4四点,则下列各式结果为定值的是( )
A.|M1M3|·|M2M4| B.|FM1|·|FM4|
C.|M1M2|·|M3M4| D.|FM1|·|M1M2|
8.如图,已知F1,F2是椭圆T:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点,P是椭圆T上一点,且不与x轴重合,过F2作∠F1PF2的外角的平分线的垂线,垂足为Q,则点Q在 上运动.( )
A.直线 B.圆 C.椭圆 D.抛物线
二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多个选项符合题目要求,全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分)
9.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是A1D1,C1D1的中点,则下列结论正确的是( )
A.A1C1∥平面CEF
B.B1D⊥平面CEF
C.CE=12DA+DD1-DC
D.点D与点B1到平面CEF的距离相等
10.对于两条平行直线和圆的位置关系定义如下:若两直线中至少有一条与圆相切,则称该位置关系为“平行相切”;若两直线都与圆相离,则称该位置关系为“平行相离”;否则称为“平行相交”.已知直线l1:ax+3y+6=0,l2:2x+(a+1)y+6=0与圆C:x2+y2+2x=b2-1(b>0)的位置关系是“平行相交”,则实数b的取值可以是( )
A.1 B.2
C.3 D.4
11.已知P是椭圆E:x28+y24=1上一点,F1,F2为其左、右焦点,且△F1PF2的面积为3,则下列说法正确的是( )
A.点P的纵坐标为3
B.∠F1PF2>π2
C.△F1PF2的周长为4(2+1)
D.△F1PF2的内切圆半径为32(2-1)
12.在平面直角坐标系中,有两个圆C1:(x+2)2+y2=r12和C2:(x-2)2+y2=r22,其中常数r1,r2为正数,满足r1+r2<4,一个动圆P与两圆都相切,则动圆圆心的轨迹可以是( )
A.两个椭圆
B.两个双曲线
C.一个双曲线和一条直线
D.一个椭圆和一个双曲线
三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.将答案填在题中横线上)
13.与a=(2,-1,2)共线且满足a·b=-9的向量b= .
14.已知圆C:x2+y2-2x-1=0,以点12,1为中点的弦所在的直线l的方程是 .
15.已知双曲线E:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0),若矩形ABCD的四个顶点在E上,AB,CD的中点分别为E的两个焦点,且2|AB|=3|BC|,则E的离心率是 .
16.《九章算术》中,将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑.在如图所示的鳖臑P-ABC中,PA⊥平面ABC,∠ACB=90°,AC=4,PA=2,D为AB的中点,E为△PAC内的动点(含边界),且PC⊥DE.当E在AC上时,AE= ,点E的轨迹的长度为 .(本题第一空2分,第二空3分)
四、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分10分)已知直线l的斜率为-34,且直线l经过直线kx-y+2k+5=0所过的定点P.
(1)求直线l的方程;
(2)若直线m平行于直线l,且点P到直线m的距离为3,求直线m的方程.
18.(本小题满分12分)求满足下列条件的圆锥曲线的标准方程:
(1)短轴长等于23,离心率等于12的椭圆;
(2)与椭圆x216+y225=1共焦点,且过点(4,5)的双曲线.
19.(本小题满分12分)已知圆C:(x-6)2+y2=20,直线l:y=kx与圆C交于不同的两点A,B.
(1)求实数k的取值范围;
(2)若OB=2OA,求直线l的方程.
20.(本小题满分12分)如图所示,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是AB,A1C的中点,AD=AA1=2,AB=2.
(1)求证:EF∥平面ADD1A1;
(2)求平面EFD与平面DEC的夹角的余弦值;
(3)在线段A1D1上是否存在点M,使得BM⊥平面EFD?若存在,求出A1MA1D1的值;若不存在,请说明理由.
21.(本小题满分12分)已知抛物线C:x2=2py(0
(2)直线l交C于A、B两点,kOA·kOB=-2,且△OAB的面积为16,求直线l的方程.
22.(本小题满分12分)已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右顶点为A,上顶点为B,离心率e=32,O为坐标原点,圆O:x2+y2=45与直线AB相切.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)已知四边形ABCD内接于椭圆E,AB∥DC.记直线AC,BD的斜率分别为k1,k2,试问k1·k2是不是定值?证明你的结论.
答案全解全析
一、单项选择题
1.B 直线3x-y-2 018=0化为y=3x-2 018,则直线的斜率为3,所以直线的倾斜角等于π3.故选B.
2.A a+b=(1,-1,2),
由(a+b)∥c得-21=m-1=-42,解得m=2,故选A.
3.C 因为直线3x+4y-12=0与直线6x+8y+5=0平行,所以|PQ|的最小值就是两直线间的距离,即d=|-24-5|62+82=2910,故选C.
4.B 设平面α内的一点为P(x,y,z)(不与点A重合),则AP=(x-2,y+1,z-2),∵n是平面α的一个法向量,∴AP⊥n,∴3(x-2)+(y+1)+2(z-2)=0,即3x+y+2z=9.
将选项代入检验知B正确,故选B.
5.A 设椭圆的标准方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0).依题意得,a+c=6,且4a=16,∴a=4,c=2,∴b2=a2-c2=16-4=12,故选A.
6.D 由题意得,直线y=kx-2过定点(0,-2),设为A,要想弦长|PQ|最短,则点A应为弦PQ的中点,易知圆C:(x+2)2+(y+2)2=10的圆心坐标为(-2,-2),半径r=10,
则点A到圆心的距离d=(0+2)2+(-2+2)2=2,
由圆的弦长公式,可得|PQ|=2r2-d2=210-22=26,即弦长|PQ|的最小值为26,故选D.
7.C 设M1,M2,M3,M4四点的横坐标分别为x1,x2,x3,x4,
由题意知y2=8x的焦点坐标与圆F的圆心(2,0)相同,准线l0:x=-2.
由定义得|M1F|=x1+2,
又∵|M1F|=|M1M2|+2,
∴|M1M2|=x1,同理,|M3M4|=x4,
将y=k(x-2)代入抛物线方程,得k2x2-(4k2+8)x+4k2=0,
∴x1x4=4,∴|M1M2|·|M3M4|=4,故选C.
8.B 作F2Q与F1P的延长线交于点M,连接OQ.因为PQ是∠F1PF2的外角的平分线,且PQ⊥F2M,所以在△PF2M中,|PF2|=|PM|,且Q为线段F2M的中点.又O为线段F1F2的中点,由三角形的中位线定理,得|OQ|=12|F1M|=12(|PF1|+|PF2|).由椭圆的定义,得|PF1|+|PF2|=2a,所以|OQ|=a,所以点Q在以原点为圆心,a为半径的圆上运动.
二、多项选择题
9.AC 建立空间直角坐标系,如图所示,设AB=2,平面CEF的法向量为n=(x,y,z).
∵E,F分别是A1D1,C1D1的中点,∴EF∥A1C1,
又EF⊂平面CEF,A1C1⊄平面CEF,∴A1C1∥平面CEF,故选项A正确;
C(0,2,0),E(1,0,2),F(0,1,2),B1(2,2,2),D(0,0,0).
DB1=(2,2,2),EF=(-1,1,0),CF=(0,-1,2),
∴n·EF=0,n·CF=0,即-x+y=0,-y+2z=0,
令x=2,则y=2,z=1,∴n=(2,2,1),
∵DB1=(2,2,2),∴DB1与n不平行,
∴B1D不垂直于平面CEF,故选项B错误;
CE=CD+DD1+D1E=CD+DD1+12D1A1
=12DA+DD1-DC,故选项C正确;
DC=(0,2,0),设点D到平面CEF的距离为d1,
则d1=|DC·n||n|=44+4+1=43,
B1C=(-2,0,-2),设B1到平面CEF的距离为d2,
则d2=|B1C·n||n|=|-4+0-2|3=2≠43,故选项D错误.故选AC.
10.BCD 由已知得直线l1:ax+3y+6=0与l2:2x+(a+1)y+6=0平行,∴a×(a+1)=3×2,解得a=2或a=-3,
当a=2时,两直线方程相同,两直线重合,不合题意,当a=-3时,检验符合题意,∴a=-3.
此时两直线方程分别为x-y-2=0,x-y+3=0,
将x2+y2+2x=b2-1(b>0)配方整理得(x+1)2+y2=b2,∴圆心坐标为(-1,0),半径为b.
当两条平行直线与圆“平行相切”时,b=|-1-0-2|2=322或b=|-1-0+3|2=2,
当两条平行直线与圆“平行相离”时,b<322且b<2,即b<2,
当两条平行直线与圆“平行相交”时,b>2且b≠322,故选BCD.
11.CD 由x28+y24=1得,a2=8,b2=4,∴c2=4.
设P(x,y),则S△F1PF2=12|F1F2|·|y|=12×4×|y|=3,解得|y|=32,选项A错误;
设椭圆的上顶点为B,
∵b=c=2,∴∠F1PF2≤∠F1BF2=π2,选项B错误;
△F1PF2的周长为2a+2c=42+4,选项C正确;
设△F1PF2的内切圆半径为r,
则S△F1PF2=12|F1P|·r+12|F2P|·r+12·|F1F2|·r
=12(|F1P|+|F2P|+|F1F2|)·r=12×4(2+1)×r=3,解得r=32(2-1),选项D正确.故选CD.
12.BC 由题意得,圆C1的圆心为C1(-2,0),半径为r1,圆C2的圆心为C2(2,0),半径为r2,所以|C1C2|=4,设动圆P的半径为r.
当r1+r2<4时,两圆相离,动圆P可能与两圆均内切或均外切或一个内切,一个外切.
①若均内切,则|PC1|=r-r1,|PC2|=r-r2,此时||PC1|-|PC2||=|r1-r2|,
当r1≠r2时,点P的轨迹是以C1,C2为焦点的双曲线,
当r1=r2时,点P在线段C1C2的垂直平分线上.
②若均外切,则|PC1|=r+r1,|PC2|=r+r2,此时||PC1|-|PC2||=|r1-r2|,则点P的轨迹与①相同.
③若一个外切,一个内切,不妨设与圆C1内切,与圆C2外切,则|PC1|=r-r1,|PC2|=r+r2,|PC2|-|PC1|=r1+r2.同理,当与圆C2内切,与圆C1外切时,|PC1|-|PC2|=r1+r2.
此时点P的轨迹是以C1,C2为焦点的双曲线,与①中双曲线不一样.故选BC.
三、填空题
13.答案 (-2,1,-2)
解析 依题意设b=λa=(2λ,-λ,2λ)(λ∈R),所以a·b=4λ+λ+4λ=-9,解得λ=-1.故b=(-2,1,-2).
14.答案 2x-4y+3=0
解析 圆的方程可化为(x-1)2+y2=2,可知圆心为C(1,0).
设A12,1,则以A为中点的弦所在的直线l即为经过点A且垂直于AC的直线.又知kAC=0-11-12=-2,所以kl=12,所以直线l的方程为y-1=12x-12,即2x-4y+3=0.
15.答案 2
解析 由题意不妨设|AB|=3,则|BC|=2.设AB,CD的中点分别为M,N,则在Rt△BMN中,|MN|=2c=2,故|BN|=|BM|2+|MN|2=322+22=52.由双曲线的定义可得2a=|BN|-|BM|=52-32=1,所以双曲线E的离心率e=ca=2.
16.答案 2;255
解析 建立空间直角坐标系,如图所示.
设CB=2m,则P(0,0,2),C(0,4,0),D(m,2,0).
当E在AC上时,设E(0,t,0)(0≤t≤4),则DE=(-m,t-2,0),
又PC=(0,4,-2),所以由PC⊥DE,可得PC·DE=0,即4(t-2)=0,解得t=2,因此AE=2,此时E为AC的中点,可得E(0,2,0).
当E在AC的中点时,作EE'⊥PC于点E',由PC⊥DE,PC⊥EE',DE∩EE'=E,得PC⊥平面DEE',所以点E在△PAC内的轨迹为线段EE',因此求出EE'的长度即可.
解法一:设PE'=λPC=(0,4λ,-2λ),则E'(0,4λ,2-2λ),所以EE'=(0,4λ-2,2-2λ),由EE'⊥PC得,4(4λ-2)-2(2-2λ)=0,解得λ=35,所以E'0,125,45,所以|EE'|=125-22+452=255.
解法二:过点A作AF⊥PC,则|EE'|=12·|AF|.
又|AF|=|PA|·|AC||PC|=2×422+42=455,所以|EE'|=255.
四、解答题
17.解析 (1)kx-y+2k+5=0整理得k(x+2)+(5-y)=0,所以直线kx-y+2k+5=0过定点P(-2,5),(2分)
因此l:y-5=-34(x+2),即3x+4y-14=0.(5分)
(2)设直线m的方程为y=-34x+b,b≠72,则3=34×(-2)+5-b916+1,解得b=-14或b=294.(8分)
∴直线m的方程为y=-34x-14或y=-34x+294.(10分)
18.解析 (1)由题意可知,短半轴长b=3,离心率e=ca=12,(2分)
因为a2=b2+c2,所以a=2.(5分)
若焦点在x轴上,则椭圆的标准方程为x24+y23=1;(6分)
若焦点在y轴上,则椭圆的标准方程为y24+x23=1.(7分)
(2)由椭圆x216+y225=1的焦点为(0,±3),可设双曲线方程为y2m-x29-m=1(0
解得m=5或m=45(舍去),(11分)
所以双曲线的标准方程为y25-x24=1.(12分)
19.解析 (1)将直线l的方程y=kx代入圆C的方程(x-6)2+y2=20,整理得(1+k2)x2-12x+16=0,∵直线l与圆C交于不同的两点,∴1+k2≠0,且Δ=(-12)2-4(1+k2)×16>0,∴k的取值范围为-52
由①②可得x1=2,y1=2或x1=2,y1=-2,
∴直线l的方程为y=±x.(12分)
20.解析 (1)证明:连接AD1,A1D,交于点O,所以点O是A1D的中点,连接FO.
因为F是A1C的中点,
所以OF∥CD,OF=12CD.
因为AE∥CD,AE=12CD,
所以OF∥AE,OF=AE.
所以四边形AEFO是平行四边形.
所以EF∥AO.
因为EF⊄平面ADD1A1,AO⊂平面ADD1A1,
所以EF∥平面ADD1A1.(4分)
(2)以点A为坐标原点,直线AB,AD,AA1分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,(5分)
因为点E,F分别是AB,A1C的中点,AD=AA1=2,AB=2,
所以B(2,0,0),D(0,2,0) ,E22,0,0,F22,1,1.
所以DE=22,-2,0, EF=(0,1,1).
设平面EFD的法向量为n=(x,y,z),
则n·DE=0,n·EF=0,即22x-2y=0,y+z=0.
令y=1,则z=-1,x=22.
所以n=(22,1,-1).(7分)
由题知,平面DEC的一个法向量为m=(0,0,1),
所以cos=-110×1=-1010.
所以平面EFD与平面DEC的夹角的余弦值是1010.(9分)
(3)假设在线段A1D1上存在一点M,使得BM⊥平面EFD.
设点M的坐标为(0,t,2)(0≤t≤2),则BM=(-2,t,2).
因为平面EFD的一个法向量为n=(22,1,-1),而BM与n不平行,
所以在线段A1D1上不存在点M,使得BM⊥平面EFD.(12分)
21.解析 (1)将M(2,y0)代入x2=2py(0
(2)直线l的斜率显然存在,设直线l:y=kx+b(k≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),
由y=kx+b,x2=2y,得x2-2kx-2b=0,(7分)
∴x1+x2=2k,x1x2=-2b,
由kOA·kOB=y1x1·y2x2=x1x24=-b2=-2,
∴b=4,(9分)
∴直线l的方程为y=kx+4,
∴直线恒过定点(0,4),
原点O到直线l的距离d=41+k2,
∴S△OAB=12·d·|AB|=12·41+k2·1+k2·(x1+x2)2-4x1x2
=21+k2·1+k2·4k2+32
=24k2+32=16,(11分)
∴4k2+32=64,解得k=±22,
所以直线l的方程为y=±22x+4.(12分)
22.解析 (1)直线AB的方程为xa+yb=1,即bx+ay-ab=0,
由圆O与直线AB相切,得aba2+b2=45,
即a2b2a2+b2=45,①(2分)
设椭圆的半焦距为c,则e=ca=32,
∴b2a2=1-e2=14,②(4分)
由①②得a2=4,b2=1.
故椭圆的标准方程为x24+y2=1.(5分)
(2)k1·k2=14,为定值,证明过程如下:
由(1)得直线AB的方程为y=-12x+1,
故可设直线DC的方程为y=-12x+m,显然m≠±1.(7分)
设C(x1,y1),D(x2,y2).
联立x24+y2=1,y=-12x+m,消去y,得
x2-2mx+2m2-2=0,
则Δ=8-4m2>0,解得-2
由k1=y1x1-2,k2=y2-1x2,(10分)
得k1k2=y1x1-2·y2-1x2=-12x1+mx1-2·-12x2+m-1x2
=14x1x2-m2(x1+x2)+m2+12x1-mx1x2-2x2
=14·(2m2-2)-m2·2m+m2+2m-x22-m(2m2-2)-2x2
=m22-12-x222m2-2-2x2=14.(12分)
全书综合测评
(满分:150分;时间:120分钟)
一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.直线3x-y-2 018=0的倾斜角等于( )
A.π6 B.π3 C.π4 D.不存在
2.已知向量a=(0,1,1),b=(1,-2,1).若向量a+b与向量c=(-2,m,-4)平行,则实数m的值是( )
A.2 B.-2 C.10 D.-10
3.若P,Q分别为直线3x+4y-12=0与6x+8y+5=0上任意一点,则|PQ|的最小值为( )
A.95 B.185 C.2910 D.295
4.已知点A(2,-1,2)在平面α内,n=(3,1,2)是平面α的一个法向量,则下列各点在平面α内的是( )
A.(1,-1,1) B.1,3,32
C.1,-3,32 D.-1,3,-32
5.已知椭圆C的中心在原点,焦点F1,F2在x轴上,C上的点到左焦点F1的距离的最大值为6,过F1的直线交C于A,B两点,且△ABF2的周长为16,则椭圆C的方程为( )
A.x216+y212=1 B.x216+y24=1
C.x212+y24=1 D.x24+y22=1
6.已知圆C:(x+2)2+(y+2)2=10,若直线l:y=kx-2与圆交于P、Q两点,则弦长|PQ|的最小值是( )
A.5 B.4 C.25 D.26
7.已知抛物线C:y2=8x,圆F:(x-2)2+y2=4(点F为其圆心),直线l:y=k(x-2)(k≠0)自上而下顺次与上述两曲线交于M1,M2,M3,M4四点,则下列各式结果为定值的是( )
A.|M1M3|·|M2M4| B.|FM1|·|FM4|
C.|M1M2|·|M3M4| D.|FM1|·|M1M2|
8.如图,已知F1,F2是椭圆T:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点,P是椭圆T上一点,且不与x轴重合,过F2作∠F1PF2的外角的平分线的垂线,垂足为Q,则点Q在 上运动.( )
A.直线 B.圆 C.椭圆 D.抛物线
二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多个选项符合题目要求,全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分)
9.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是A1D1,C1D1的中点,则下列结论正确的是( )
A.A1C1∥平面CEF
B.B1D⊥平面CEF
C.CE=12DA+DD1-DC
D.点D与点B1到平面CEF的距离相等
10.对于两条平行直线和圆的位置关系定义如下:若两直线中至少有一条与圆相切,则称该位置关系为“平行相切”;若两直线都与圆相离,则称该位置关系为“平行相离”;否则称为“平行相交”.已知直线l1:ax+3y+6=0,l2:2x+(a+1)y+6=0与圆C:x2+y2+2x=b2-1(b>0)的位置关系是“平行相交”,则实数b的取值可以是( )
A.1 B.2
C.3 D.4
11.已知P是椭圆E:x28+y24=1上一点,F1,F2为其左、右焦点,且△F1PF2的面积为3,则下列说法正确的是( )
A.点P的纵坐标为3
B.∠F1PF2>π2
C.△F1PF2的周长为4(2+1)
D.△F1PF2的内切圆半径为32(2-1)
12.在平面直角坐标系中,有两个圆C1:(x+2)2+y2=r12和C2:(x-2)2+y2=r22,其中常数r1,r2为正数,满足r1+r2<4,一个动圆P与两圆都相切,则动圆圆心的轨迹可以是( )
A.两个椭圆
B.两个双曲线
C.一个双曲线和一条直线
D.一个椭圆和一个双曲线
三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.将答案填在题中横线上)
13.与a=(2,-1,2)共线且满足a·b=-9的向量b= .
14.已知圆C:x2+y2-2x-1=0,以点12,1为中点的弦所在的直线l的方程是 .
15.已知双曲线E:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0),若矩形ABCD的四个顶点在E上,AB,CD的中点分别为E的两个焦点,且2|AB|=3|BC|,则E的离心率是 .
16.《九章算术》中,将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑.在如图所示的鳖臑P-ABC中,PA⊥平面ABC,∠ACB=90°,AC=4,PA=2,D为AB的中点,E为△PAC内的动点(含边界),且PC⊥DE.当E在AC上时,AE= ,点E的轨迹的长度为 .(本题第一空2分,第二空3分)
四、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分10分)已知直线l的斜率为-34,且直线l经过直线kx-y+2k+5=0所过的定点P.
(1)求直线l的方程;
(2)若直线m平行于直线l,且点P到直线m的距离为3,求直线m的方程.
18.(本小题满分12分)求满足下列条件的圆锥曲线的标准方程:
(1)短轴长等于23,离心率等于12的椭圆;
(2)与椭圆x216+y225=1共焦点,且过点(4,5)的双曲线.
19.(本小题满分12分)已知圆C:(x-6)2+y2=20,直线l:y=kx与圆C交于不同的两点A,B.
(1)求实数k的取值范围;
(2)若OB=2OA,求直线l的方程.
20.(本小题满分12分)如图所示,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是AB,A1C的中点,AD=AA1=2,AB=2.
(1)求证:EF∥平面ADD1A1;
(2)求平面EFD与平面DEC的夹角的余弦值;
(3)在线段A1D1上是否存在点M,使得BM⊥平面EFD?若存在,求出A1MA1D1的值;若不存在,请说明理由.
21.(本小题满分12分)已知抛物线C:x2=2py(0
(2)直线l交C于A、B两点,kOA·kOB=-2,且△OAB的面积为16,求直线l的方程.
22.(本小题满分12分)已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右顶点为A,上顶点为B,离心率e=32,O为坐标原点,圆O:x2+y2=45与直线AB相切.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)已知四边形ABCD内接于椭圆E,AB∥DC.记直线AC,BD的斜率分别为k1,k2,试问k1·k2是不是定值?证明你的结论.
答案全解全析
一、单项选择题
1.B 直线3x-y-2 018=0化为y=3x-2 018,则直线的斜率为3,所以直线的倾斜角等于π3.故选B.
2.A a+b=(1,-1,2),
由(a+b)∥c得-21=m-1=-42,解得m=2,故选A.
3.C 因为直线3x+4y-12=0与直线6x+8y+5=0平行,所以|PQ|的最小值就是两直线间的距离,即d=|-24-5|62+82=2910,故选C.
4.B 设平面α内的一点为P(x,y,z)(不与点A重合),则AP=(x-2,y+1,z-2),∵n是平面α的一个法向量,∴AP⊥n,∴3(x-2)+(y+1)+2(z-2)=0,即3x+y+2z=9.
将选项代入检验知B正确,故选B.
5.A 设椭圆的标准方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0).依题意得,a+c=6,且4a=16,∴a=4,c=2,∴b2=a2-c2=16-4=12,故选A.
6.D 由题意得,直线y=kx-2过定点(0,-2),设为A,要想弦长|PQ|最短,则点A应为弦PQ的中点,易知圆C:(x+2)2+(y+2)2=10的圆心坐标为(-2,-2),半径r=10,
则点A到圆心的距离d=(0+2)2+(-2+2)2=2,
由圆的弦长公式,可得|PQ|=2r2-d2=210-22=26,即弦长|PQ|的最小值为26,故选D.
7.C 设M1,M2,M3,M4四点的横坐标分别为x1,x2,x3,x4,
由题意知y2=8x的焦点坐标与圆F的圆心(2,0)相同,准线l0:x=-2.
由定义得|M1F|=x1+2,
又∵|M1F|=|M1M2|+2,
∴|M1M2|=x1,同理,|M3M4|=x4,
将y=k(x-2)代入抛物线方程,得k2x2-(4k2+8)x+4k2=0,
∴x1x4=4,∴|M1M2|·|M3M4|=4,故选C.
8.B 作F2Q与F1P的延长线交于点M,连接OQ.因为PQ是∠F1PF2的外角的平分线,且PQ⊥F2M,所以在△PF2M中,|PF2|=|PM|,且Q为线段F2M的中点.又O为线段F1F2的中点,由三角形的中位线定理,得|OQ|=12|F1M|=12(|PF1|+|PF2|).由椭圆的定义,得|PF1|+|PF2|=2a,所以|OQ|=a,所以点Q在以原点为圆心,a为半径的圆上运动.
二、多项选择题
9.AC 建立空间直角坐标系,如图所示,设AB=2,平面CEF的法向量为n=(x,y,z).
∵E,F分别是A1D1,C1D1的中点,∴EF∥A1C1,
又EF⊂平面CEF,A1C1⊄平面CEF,∴A1C1∥平面CEF,故选项A正确;
C(0,2,0),E(1,0,2),F(0,1,2),B1(2,2,2),D(0,0,0).
DB1=(2,2,2),EF=(-1,1,0),CF=(0,-1,2),
∴n·EF=0,n·CF=0,即-x+y=0,-y+2z=0,
令x=2,则y=2,z=1,∴n=(2,2,1),
∵DB1=(2,2,2),∴DB1与n不平行,
∴B1D不垂直于平面CEF,故选项B错误;
CE=CD+DD1+D1E=CD+DD1+12D1A1
=12DA+DD1-DC,故选项C正确;
DC=(0,2,0),设点D到平面CEF的距离为d1,
则d1=|DC·n||n|=44+4+1=43,
B1C=(-2,0,-2),设B1到平面CEF的距离为d2,
则d2=|B1C·n||n|=|-4+0-2|3=2≠43,故选项D错误.故选AC.
10.BCD 由已知得直线l1:ax+3y+6=0与l2:2x+(a+1)y+6=0平行,∴a×(a+1)=3×2,解得a=2或a=-3,
当a=2时,两直线方程相同,两直线重合,不合题意,当a=-3时,检验符合题意,∴a=-3.
此时两直线方程分别为x-y-2=0,x-y+3=0,
将x2+y2+2x=b2-1(b>0)配方整理得(x+1)2+y2=b2,∴圆心坐标为(-1,0),半径为b.
当两条平行直线与圆“平行相切”时,b=|-1-0-2|2=322或b=|-1-0+3|2=2,
当两条平行直线与圆“平行相离”时,b<322且b<2,即b<2,
当两条平行直线与圆“平行相交”时,b>2且b≠322,故选BCD.
11.CD 由x28+y24=1得,a2=8,b2=4,∴c2=4.
设P(x,y),则S△F1PF2=12|F1F2|·|y|=12×4×|y|=3,解得|y|=32,选项A错误;
设椭圆的上顶点为B,
∵b=c=2,∴∠F1PF2≤∠F1BF2=π2,选项B错误;
△F1PF2的周长为2a+2c=42+4,选项C正确;
设△F1PF2的内切圆半径为r,
则S△F1PF2=12|F1P|·r+12|F2P|·r+12·|F1F2|·r
=12(|F1P|+|F2P|+|F1F2|)·r=12×4(2+1)×r=3,解得r=32(2-1),选项D正确.故选CD.
12.BC 由题意得,圆C1的圆心为C1(-2,0),半径为r1,圆C2的圆心为C2(2,0),半径为r2,所以|C1C2|=4,设动圆P的半径为r.
当r1+r2<4时,两圆相离,动圆P可能与两圆均内切或均外切或一个内切,一个外切.
①若均内切,则|PC1|=r-r1,|PC2|=r-r2,此时||PC1|-|PC2||=|r1-r2|,
当r1≠r2时,点P的轨迹是以C1,C2为焦点的双曲线,
当r1=r2时,点P在线段C1C2的垂直平分线上.
②若均外切,则|PC1|=r+r1,|PC2|=r+r2,此时||PC1|-|PC2||=|r1-r2|,则点P的轨迹与①相同.
③若一个外切,一个内切,不妨设与圆C1内切,与圆C2外切,则|PC1|=r-r1,|PC2|=r+r2,|PC2|-|PC1|=r1+r2.同理,当与圆C2内切,与圆C1外切时,|PC1|-|PC2|=r1+r2.
此时点P的轨迹是以C1,C2为焦点的双曲线,与①中双曲线不一样.故选BC.
三、填空题
13.答案 (-2,1,-2)
解析 依题意设b=λa=(2λ,-λ,2λ)(λ∈R),所以a·b=4λ+λ+4λ=-9,解得λ=-1.故b=(-2,1,-2).
14.答案 2x-4y+3=0
解析 圆的方程可化为(x-1)2+y2=2,可知圆心为C(1,0).
设A12,1,则以A为中点的弦所在的直线l即为经过点A且垂直于AC的直线.又知kAC=0-11-12=-2,所以kl=12,所以直线l的方程为y-1=12x-12,即2x-4y+3=0.
15.答案 2
解析 由题意不妨设|AB|=3,则|BC|=2.设AB,CD的中点分别为M,N,则在Rt△BMN中,|MN|=2c=2,故|BN|=|BM|2+|MN|2=322+22=52.由双曲线的定义可得2a=|BN|-|BM|=52-32=1,所以双曲线E的离心率e=ca=2.
16.答案 2;255
解析 建立空间直角坐标系,如图所示.
设CB=2m,则P(0,0,2),C(0,4,0),D(m,2,0).
当E在AC上时,设E(0,t,0)(0≤t≤4),则DE=(-m,t-2,0),
又PC=(0,4,-2),所以由PC⊥DE,可得PC·DE=0,即4(t-2)=0,解得t=2,因此AE=2,此时E为AC的中点,可得E(0,2,0).
当E在AC的中点时,作EE'⊥PC于点E',由PC⊥DE,PC⊥EE',DE∩EE'=E,得PC⊥平面DEE',所以点E在△PAC内的轨迹为线段EE',因此求出EE'的长度即可.
解法一:设PE'=λPC=(0,4λ,-2λ),则E'(0,4λ,2-2λ),所以EE'=(0,4λ-2,2-2λ),由EE'⊥PC得,4(4λ-2)-2(2-2λ)=0,解得λ=35,所以E'0,125,45,所以|EE'|=125-22+452=255.
解法二:过点A作AF⊥PC,则|EE'|=12·|AF|.
又|AF|=|PA|·|AC||PC|=2×422+42=455,所以|EE'|=255.
四、解答题
17.解析 (1)kx-y+2k+5=0整理得k(x+2)+(5-y)=0,所以直线kx-y+2k+5=0过定点P(-2,5),(2分)
因此l:y-5=-34(x+2),即3x+4y-14=0.(5分)
(2)设直线m的方程为y=-34x+b,b≠72,则3=34×(-2)+5-b916+1,解得b=-14或b=294.(8分)
∴直线m的方程为y=-34x-14或y=-34x+294.(10分)
18.解析 (1)由题意可知,短半轴长b=3,离心率e=ca=12,(2分)
因为a2=b2+c2,所以a=2.(5分)
若焦点在x轴上,则椭圆的标准方程为x24+y23=1;(6分)
若焦点在y轴上,则椭圆的标准方程为y24+x23=1.(7分)
(2)由椭圆x216+y225=1的焦点为(0,±3),可设双曲线方程为y2m-x29-m=1(0
解得m=5或m=45(舍去),(11分)
所以双曲线的标准方程为y25-x24=1.(12分)
19.解析 (1)将直线l的方程y=kx代入圆C的方程(x-6)2+y2=20,整理得(1+k2)x2-12x+16=0,∵直线l与圆C交于不同的两点,∴1+k2≠0,且Δ=(-12)2-4(1+k2)×16>0,∴k的取值范围为-52
由①②可得x1=2,y1=2或x1=2,y1=-2,
∴直线l的方程为y=±x.(12分)
20.解析 (1)证明:连接AD1,A1D,交于点O,所以点O是A1D的中点,连接FO.
因为F是A1C的中点,
所以OF∥CD,OF=12CD.
因为AE∥CD,AE=12CD,
所以OF∥AE,OF=AE.
所以四边形AEFO是平行四边形.
所以EF∥AO.
因为EF⊄平面ADD1A1,AO⊂平面ADD1A1,
所以EF∥平面ADD1A1.(4分)
(2)以点A为坐标原点,直线AB,AD,AA1分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,(5分)
因为点E,F分别是AB,A1C的中点,AD=AA1=2,AB=2,
所以B(2,0,0),D(0,2,0) ,E22,0,0,F22,1,1.
所以DE=22,-2,0, EF=(0,1,1).
设平面EFD的法向量为n=(x,y,z),
则n·DE=0,n·EF=0,即22x-2y=0,y+z=0.
令y=1,则z=-1,x=22.
所以n=(22,1,-1).(7分)
由题知,平面DEC的一个法向量为m=(0,0,1),
所以cos
所以平面EFD与平面DEC的夹角的余弦值是1010.(9分)
(3)假设在线段A1D1上存在一点M,使得BM⊥平面EFD.
设点M的坐标为(0,t,2)(0≤t≤2),则BM=(-2,t,2).
因为平面EFD的一个法向量为n=(22,1,-1),而BM与n不平行,
所以在线段A1D1上不存在点M,使得BM⊥平面EFD.(12分)
21.解析 (1)将M(2,y0)代入x2=2py(0
(2)直线l的斜率显然存在,设直线l:y=kx+b(k≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),
由y=kx+b,x2=2y,得x2-2kx-2b=0,(7分)
∴x1+x2=2k,x1x2=-2b,
由kOA·kOB=y1x1·y2x2=x1x24=-b2=-2,
∴b=4,(9分)
∴直线l的方程为y=kx+4,
∴直线恒过定点(0,4),
原点O到直线l的距离d=41+k2,
∴S△OAB=12·d·|AB|=12·41+k2·1+k2·(x1+x2)2-4x1x2
=21+k2·1+k2·4k2+32
=24k2+32=16,(11分)
∴4k2+32=64,解得k=±22,
所以直线l的方程为y=±22x+4.(12分)
22.解析 (1)直线AB的方程为xa+yb=1,即bx+ay-ab=0,
由圆O与直线AB相切,得aba2+b2=45,
即a2b2a2+b2=45,①(2分)
设椭圆的半焦距为c,则e=ca=32,
∴b2a2=1-e2=14,②(4分)
由①②得a2=4,b2=1.
故椭圆的标准方程为x24+y2=1.(5分)
(2)k1·k2=14,为定值,证明过程如下:
由(1)得直线AB的方程为y=-12x+1,
故可设直线DC的方程为y=-12x+m,显然m≠±1.(7分)
设C(x1,y1),D(x2,y2).
联立x24+y2=1,y=-12x+m,消去y,得
x2-2mx+2m2-2=0,
则Δ=8-4m2>0,解得-2
由k1=y1x1-2,k2=y2-1x2,(10分)
得k1k2=y1x1-2·y2-1x2=-12x1+mx1-2·-12x2+m-1x2
=14x1x2-m2(x1+x2)+m2+12x1-mx1x2-2x2
=14·(2m2-2)-m2·2m+m2+2m-x22-m(2m2-2)-2x2
=m22-12-x222m2-2-2x2=14.(12分)
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