数学选择性必修 第二册5.2 导数的运算同步练习题

5.2　导数的运算

5.2.1　基本初等函数的导数

基础过关练

题组一　利用导数公式求函数的导数

1.(2020浙江绍兴稽山中学高二下期中)已知f(x)=cos 30°,则f'(x)的值为(　　)

A.- B. C.- D.0

2.已知函数f(x)=,则f'=(　　)

A.- B.- C.-8 D.-16

3.函数y=在x=4处的导数是(　　)

A. B.- C. D.-

4.下列求导运算正确的是(　　)

A.(cos x)'=sin x B.(3x)'=3xlog3e

C.(lg x)'= D.(x-2)'=-2x-1

5.设f0(x)=sin x,f1(x)=f0'(x),f2(x)=f1'(x),……,fn+1(x)=fn'(x),n∈N,则f2 019(x)=(　　)

A.sin x B.-sin x

C.cos x D.-cos x

6.(多选)下列求导运算正确的是(　　)

A.'=

B.()'=

C.(xa)'=axa-1

D.(logax)'='=

7.求下列函数的导数.

(1)y=;(2)y=;(3)y=lg x;

(4)y=5x;(5)y=cos.

题组二　导数公式的应用

8.(2020黑龙江佳木斯一中高二上期末)曲线y=在点A(-1,-1)处的切线方程是(　　)

A.x+y-2=0 B.x-y+2=0

C.x+y+2=0 D.x-y-2=0

9.若曲线y=x4的一条切线l与直线x+4y-8=0垂直,则l的方程为(　　)

A.4x-y-3=0 B.x+4y-5=0

C.4x-y+3=0 D.x+4y+3=0

10.(2020福建三明第一中学月考)以正弦曲线y=sin x上一点P为切点作切线l,则切线l的倾斜角的范围是(　　)

A.∪ B.[0,π)

C. D.∪

11.已知函数f(x)=ln x,则函数g(x)=f(x)-f'(x)的零点所在的区间是(　　)

A.(0,1) B.(1,2)

C.(2,3) D.(3,4)

12.若曲线y=在点(m,)处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18,则m=(　　)

A.64 B.32 

C.16 D.8

13.(多选)已知函数f(x)及其导数f'(x),若存在x0,使得f(x0)=f'(x0),则称x0是f(x)的一个“巧值点”.下列函数中,有“巧值点”的是(　　)

A.f(x)=x2 B.f(x)=e-x

C.f(x)=ln x D.f(x)=

14.(2019广东东莞高二上期末)设曲线y=xn+1(n∈N*)在点(1,1)处的切线与x轴交点的横坐标为xn,令an=lg,计算a1+a2+a3+…+a2 019.

答案全解全析

基础过关练

1.D　∵f(x)=cos 30°=,∴f'(x)=0.

2.D　f'(x)=-2x-3=-,

则f'=-=-16,故选D.

3.B　y'=-,∴y'x=4=-×=-,故选B.

4.C　(cos x)'=-sin x,故A不正确;

(3x)'=3x·ln 3,故B不正确;

(lg x)'=,故C正确;

(x-2)'=-2x-2-1=-2x-3,故D不正确.故选C.

5.D　f0(x)=sin x,f1(x)=f0'(x)=(sin x)'=cos x,f2(x)=f1'(x)=(cos x)'=-sin x,f3(x)=f2'(x)=(-sin x)'=-cos x,f4(x)=f3'(x)=(-cos x)'=sin x,所以4为最小正周期,故f2 019(x)=f3(x)=-cos x.

6.BCD　在A中,'=(x-1)'=-,故A错误;在B中,()'=()'=×=,故B正确;在C中,(xa)'=axa-1,故C正确;在D中,(logax)'='=,故D正确.故选BCD.

7.解析　(1)∵y==x-5,∴y'=-5x-6.

(2)∵y===,∴y'=.

(3)∵y=lg x,∴y'=.

(4)∵y=5x,∴y'=5xln 5.

(5)∵y=cos=sin x,∴y'=cos x.

8.C　由y=得y'=-x-2,因此切线的斜率为k=-(-1)-2=-1,∴切线方程为y+1=-(x+1),即x+y+2=0,故选C.

9.A　∵直线x+4y-8=0的斜率为-,

∴直线l的斜率为4,

又y'=4x3,∴4x3=4,得x=1,

又当x=1时,y=x4=1,

∴直线l的方程为y-1=4(x-1),

即4x-y-3=0.

10.A　∵y=sin x,∴y'=cos x,

∵cos x∈[-1,1],

∴切线斜率的范围是[-1,1],

∴倾斜角的范围是∪,故选A.

11.B　由f(x)=ln x,得f'(x)=,

则g(x)=f(x)-f'(x)=ln x-.

易知函数g(x)的定义域为(0,+∞),且函数g(x)在(0,+∞)上为增函数,

又g(1)=ln 1-1=-1<0,g(2)=ln 2-=ln 2-ln >0,

所以函数g(x)在区间(1,2)上有唯一零点.

12.A　因为y'=-,所以曲线y=在点(m,)处的切线方程为y-=-·(x-m),令x=0,得y=,令y=0,得x=3m,

由题意可得,××3m=18,解得m=64.

13.ACD　在A中,若f(x)=x2,则f'(x)=2x,则x2=2x,这个方程显然有解,故A符合要求;在B中,若f(x)=e-x,则f'(x)='=ln =-e-x,即e-x=-e-x,此方程无解,故B不符合要求;在C中,若f(x)=ln x,则f'(x)=,由ln x=,数形结合可知该方程存在实数解,故C符合要求;在D中,若f(x)=,则f'(x)=-,由=-,可得x=-1,故D符合要求.故选ACD.

14.解析　因为y=xn+1,所以y'=(n+1)xn,所以曲线y=xn+1(n∈N*)在(1,1)处的切线斜率为k=n+1,

切线方程为y-1=(n+1)(x-1).

令y=0,得x=,即xn=,

所以an=lg=lg(n+1)-lg n,

所以a1+a2+a3+…+a2 019

=lg 2-lg 1+lg 3-lg 2+lg 4-lg 3+…+lg 2 020-lg 2 019=lg 2 020-lg 1=1+lg 202.