数学选择性必修 第二册5.3 导数在研究函数中的应用练习

这是一份数学选择性必修 第二册5.3 导数在研究函数中的应用练习，共28页。试卷主要包含了下列函数中,在内为增函数的是，求下列函数的单调区间，已知函数f=x3-ax2+b等内容，欢迎下载使用。

5.3　导数在研究函数中的应用
5.3.1　函数的单调性
基础过关练
题组一　利用导数研究函数的图象变化
1.如图所示的是导函数y=f'(x)的图象,那么函数y=f(x)的单调递减区间是(　　)

A.(x1,x3) B.(x2,x4)
C.(x4,x6) D.(x5,x6)
2.设函数f(x)的图象如图所示,则导函数f'(x)的图象可能为(　　)



3.若函数y=f(x)的导函数在区间[a,b]上是增函数,则函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象可能是(　　)

4.已知f(x)满足f(4)=f(-2)=1,f'(x)为其导函数,且导函数y=f'(x)的图象如图所示,则f(x)<1的解集是　　　　. 

题组二　利用导数确定函数的单调性与单调区间
5.函数f(x)=x+ln x(　　)
A.在(0,6)上是增函数
B.在(0,6)上是减函数
C.在0,1e上是减函数,在1e,6上是增函数
D.在0,1e上是增函数,在1e,6上是减函数
6.下列函数中,在(0,+∞)内为增函数的是(　　)
A.y=sin x B.y=xex
C.y=x3-x D.y=ln x-x
7.(2020河南开封五县高二上期末联考)函数y=1x+3ln x的单调递增区间为(　　)
A.(0,1) B.0,13
C.(1,+∞) D.13,+∞
8.(2020广西来宾高二下期末)函数f(x)=x2ln x的单调递减区间为(　　)
A.(0,e) B.ee,+∞
C.(e,+∞) D.0,ee

9.求下列函数的单调区间.
(1)f(x)=3x2-2ln x;
(2)f(x)=x2·e-x;
(3)f(x)=x+1x.







10.(2020天津部分区高二上期末)已知函数f(x)=x3-ax2+b(a,b∈R).
(1)若曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为x+y-1=0,求a,b的值;
(2)若a>0,求f(x)的单调区间.








11.(2020浙江金华江南中学月考)已知函数f(x)=ax2+2x-43ln x的导函数f'(x)的一个零点为x=1.
(1)求a的值;
(2)求函数f(x)的单调区间.









题组三　利用导数解决含参函数的单调性问题
12.已知函数f(x)=-x3+ax2-x-1在R上是单调函数,则实数a的取值范围是(　　)
A.(-∞,-3]∪[3,+∞) B.[-3,3]
C.(-∞,-3)∪(3,+∞) D.(-3,3)
13.若函数f(x)=ax3+3x2+x+b(a>0,b∈R)恰好有三个不同的单调区间,则实数a的取值范围是(　　)
A.(0,3)∪(3,+∞) B.[3,+∞)
C.(0,3] D.(0,3)
14.若函数y=x2-2bx+6在(2,8)内是增函数,则实数b的取值范围是　　　　. 
15.若f(x)=-12x2+bln(x+2)在(-1,+∞)上是减函数,则b的取值范围是　　　　. 
16.试求函数f(x)=kx-ln x的单调区间.







17.已知函数f(x)=x3+ax2+(2a-3)x-1.
(1)若f(x)的单调递减区间为(-1,1),求实数a的值;
(2)若f(x)在区间(-1,1)内单调递减,求实数a的取值范围.







能力提升练
题组一　利用导数研究函数的图象变化
1.(2020浙江杭州六校高二下期中,)若函数y=f(x)的导函数y=f'(x)的图象如图所示,则函数y=f(x)的图象可能是(　　)


2.(2020河北冀州中学高三上期末,)在R上可导的函数f(x)的图象如图所示,则关于x的不等式xf'(x)<0的解集为(　　)

A.(-∞,-1)∪(0,1)B.(-1,0)∪(1,+∞)
C.(-2,-1)∪(1,2)D.(-∞,-2)∪(2,+∞)
3.(2020浙江绍兴高三上期末,)函数f(x)=x2+xex的大致图象是(　　)


4.()已知函数f(x)与f'(x)的图象如图所示,则函数g(x)=f(x)ex的单调递减区间为　　　　　　　. 


题组二　利用导数研究函数的单调性及其应用
5.(2020福建三明高二上期末质量检测,)若x,y∈-π2,π2,且xsin x-ysin y>0,则下列不等式一定成立的是(　　)
A.x B.x>y
C.|x|<|y|
D.|x|>|y|
6.(2019山东聊城一中高三上期中,)函数f(x)=sin x+2xf'π3,f'(x)为f(x)的导函数,令a=12,b=log32,则下列关系正确的是(　　)
A.f(a) B.f(a)>f(b)
C.f(a)=f(b)
D.f(a)≤f(b)
7.(2020湖南长沙长郡中学高二上期末,)函数f(x)的定义域为R,f(-1)=2,对任意x∈R,f'(x)>2,则f(x)>2x+4的解集为(深度解析)
A.(-1,1) B.(-1,+∞)
C.(-∞,-1) D.(-∞,+∞)
8.(多选)()若函数g(x)=exf(x)(e=2.718 28…是自然对数的底数)在f(x)的定义域上单调递增,则称函数f(x)具有M性质.下列函数中具有M性质的为(　　)
A.f(x)=2-x
B.f(x)=3-x
C.f(x)=x3
D.f(x)=x2+2
9.(多选)()素数分布问题是研究素数性质的重要课题,德国数学家高斯提出了一个猜想:π(x)≈xlnx,其中π(x)表示不大于x的素数的个数,即随着x的增大,π(x)的值近似接近xlnx的值.从猜想出发,下列推断正确的是(　　)
A.当x很大时,随着x的增大,π(x)的增长速度变慢
B.当x很大时,随着x的增大,π(x)减小
C.当x很大时,在区间(x,x+n)(n是一个较大常数)内,素数的个数随x的增大而减少
D.因为π(4)=2,所以π(4)>4ln4
10.(2020江西上饶高二中、高三上第三次段考,)已知函数f(x)=x+sin x,若正实数a,b满足f(4a)+f(b-9)=0,则1a+1b的最小值为　　　　. 
11.()已知函数f(x)=ln x-ax+1-ax-1(a∈R).
(1)当a=-1时,求曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程;
(2)当a≤12时,讨论f(x)的单调性.

12.(2020河南濮阳高二上期末,)已知函数f(x)=ln x-ax(a∈R).
(1)求函数f(x)的单调区间;
(2)若a>0,求不等式f(x)-f2a-x>0的解集.









题组三　利用导数解决含参函数的单调性问题
13.(2020河南新乡高二上期末,)已知函数f(x)=ex(a-cos x)在R上单调递增,则a的取值范围为(　　)
A.[1,+∞) B.(-∞,-2]C.[2,+∞) D.(-∞,-1]
14.(2020河北保定高二上期末,)已知函数f(x)=x2-9ln x+3x在其定义域内的子区间(m-1,m+1)上不单调,则实数m的取值范围是(　　)
A.12,32 B.1,32C.1,52 D.1,52
15.(2020山西吕梁高二上期末,)已知f(x)=aln x+12x2(a>0),若对任意两个不等的正实数x1,x2,都有f(x1)-f(x2)x1-x2>2成立,则a的取值范围是(深度解析)
A.(0,1] B.(1,+∞)C.(0,1) D.[1,+∞)
16.(2019河北张家口高三上期末,)函数f(x)=sin x-aln x在0,π4上单调递增,则实数a的取值范围是　　　　.深度解析 
17.()已知函数f(x)=ax2+ln(x+1).
(1)当a=-14时,求函数f(x)的单调区间;
(2)若函数f(x)在区间[1,+∞)上是减函数,求实数a的取值范围.






18.(2020辽宁省实验中学高三上期末,)已知a∈R,函数f(x)=ex+ax2.
(1)已知f'(x)是函数f(x)的导函数,记g(x)=f'(x),若g(x)在区间(-∞,1]上为单调函数,求实数a的取值范围;
(2)设实数a>0,求证:对任意实数x1,x2(x1≠x2),总有fx1+x22




答案全解全析
基础过关练
1.B　函数的单调递减区间就是使其导函数的值小于零的区间.故选B.
2.C　∵f(x)在(-∞,1),(4,+∞)上为减函数,在(1,4)上为增函数,∴当x<1或x>4时,f'(x)<0;当10.故选C.
3.A　因为y=f(x)的导函数在区间[a,b]上是增函数,所以函数f(x)图象上的点的切线斜率是递增的.故选A.
4.答案　(-2,4)
解析　由f(x)的导函数f'(x)的图象知,f(x)在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增.当x≤0时,由f(x)<1=f(-2),得-20时,由f(x)<1=f(4),得0 5.A　f'(x)=1+1x=x+1x(x>0),
当00,
∴f(x)在(0,6)上是增函数.
6.B　A中,y'=cos x,在(0,+∞)内不恒大于0,故A不满足题意;B中,y'=ex+xex=ex(1+x),当x∈(0,+∞)时,y'>0,故B满足题意;
C中,y'=3x2-1,在(0,+∞)内不恒大于0,故C不满足题意;D中,y'=1x-1=1-xx,在(0,+∞)内不恒大于0,故D不满足题意.故选B.
7.D　易知函数y=1x+3ln x的定义域为(0,+∞),y'=-1x2+3x=3x-1x2,
令y'=3x-1x2>0,解得x>13.故选D.
8.D　由题意得,函数f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=2x·ln x+x2·1x=2xln x+x=x(2ln x+1).
令f'(x)<0,得2ln x+1<0,解得0 故函数f(x)=x2ln x的单调递减区间为0,ee.
9.解析　(1)易知函数的定义域为(0,+∞).
f'(x)=6x-2x,令f'(x)=0,解得x1=33,x2=-33(舍去),用x1分割定义域,得下表:
x
0,33
33,+∞
f'(x)
-
+
f(x)
↘
↗

∴函数f(x)的单调递减区间为0,33,单调递增区间为33,+∞.
(2)易知函数的定义域为(-∞,+∞).
f'(x)=(x2)'e-x+x2(e-x)'=2xe-x-x2e-x=e-x·(2x-x2),令f'(x)=0,得x=0或x=2,当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:
x
(-∞,0)
(0,2)
(2,+∞)
f'(x)
-
+
-
f(x)
↘
↗
↘

∴f(x)的单调递减区间为(-∞,0)和(2,+∞),单调递增区间为(0,2).
(3)易知函数的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞).
f'(x)=1-1x2,令f'(x)=0,得x=-1或x=1,当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:
x
(-∞,-1)
(-1,0)
(0,1)
(1,+∞)
f'(x)
+
-
-
+
f(x)
↗
↘
↘
↗

∴函数f(x)的单调递减区间为(-1,0)和(0,1),单调递增区间为(-∞,-1)和(1,+∞).
10.解析　(1)∵f(x)=x3-ax2+b(a,b∈R),∴f'(x)=3x2-2ax.
∵函数y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为x+y-1=0,
∴f'(1)=3-2a=-1,f(1)=1-a+b=0, 解得a=2,b=1.
(2)由(1)得f'(x)=3x2-2ax=3xx-2a3,
令f'(x)=0,得x=0或x=2a3.
∵a>0,∴当f'(x)>0时,x∈(-∞,0)∪2a3,+∞;当f'(x)<0时,x∈0,2a3.
∴f(x)的单调递增区间为(-∞,0),2a3,+∞,单调递减区间为0,2a3.
11.解析　(1)f'(x)=2ax+2-43x,
由f'(1)=2a+23=0,得a=-13.
(2)由(1)得f(x)=-13x2+2x-43ln x,
则f'(x)=-23x+2-43x=-2(x-1)(x-2)3x.
令f'(x)=0,得x=1或x=2.
当f'(x)>0时,1 当f'(x)<0时,02.
因此f(x)的单调递增区间是(1,2),单调递减区间是(0,1),(2,+∞).
12.B　由题意知,f'(x)=-3x2+2ax-1,因为y=f(x)在R上是单调函数,且y=f'(x)的图象开口向下,所以f'(x)≤0在R上恒成立,故Δ=4a2-12≤0,即-3≤a≤3.
13.D　由题意得f'(x)=3ax2+6x+1(a>0),
∵函数f(x)恰好有三个不同的单调区间,
∴f'(x)有两个不同的零点,
∴Δ=36-12a>0,解得0 ∴实数a的取值范围是(0,3).故选D.
14.答案　(-∞,2]
解析　由题意得y'=2x-2b≥0在(2,8)内恒成立,即b≤x在(2,8)内恒成立,所以b≤2.
15.答案　(-∞,-1]
解析　∵f(x)在(-1,+∞)上是减函数,
∴f'(x)≤0在(-1,+∞)上恒成立.
∵f'(x)=-x+bx+2,∴-x+bx+2≤0在(-1,+∞)上恒成立,
即b≤x(x+2)在(-1,+∞)上恒成立.
令g(x)=x(x+2)=(x+1)2-1,
则当x>-1时,g(x)>-1,∴b≤-1.
16.解析　易知函数f(x)=kx-ln x的定义域为(0,+∞),f'(x)=k-1x=kx-1x.
当k≤0时,kx-1<0,∴f'(x)<0,
则f(x)在(0,+∞)上单调递减.
当k>0时,令f'(x)<0,得0 令f'(x)>0,得x>1k.
∴当k>0时,f(x)的单调递减区间为0,1k,单调递增区间为1k,+∞.
综上所述,当k≤0时,f(x)的单调递减区间为(0,+∞),无单调递增区间;
当k>0时,f(x)的单调递减区间为0,1k,单调递增区间为1k,+∞.
17.解析　由题意得f'(x)=3x2+2ax+2a-3=(x+1)(3x+2a-3).
(1)∵f(x)的单调递减区间为(-1,1),
∴-1和1是方程f'(x)=0的两个根,
∴3-2a3=1,∴a=0.
(2)∵f(x)在区间(-1,1)内单调递减,
∴f'(x)≤0在(-1,1)内恒成立.
又二次函数y=f'(x)的图象开口向上,方程f'(x)=0的一根为-1,
∴3-2a3≥1,∴a≤0.
∴实数a的取值范围是{a|a≤0}.

能力提升练
1.D　设导函数y=f'(x)的图象与x轴交点的横坐标从左到右依次为x1,x2,x3,其中x1<0,x3>x2>0,故y=f(x)在(-∞,x1)上单调递减,在(x1,x2)上单调递增,在(x2,x3)上单调递减,在(x3,+∞)上单调递增.故选D.
2.A　由f(x)的图象得,f(x)在(-∞,-1)上单调递增,在(-1,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,因此,当x∈(-∞,-1)∪(1,+∞)时,f'(x)>0,当x∈(-1,1)时,f'(x)<0.
则xf'(x)<0⇔x>0,f'(x)<0或x<0,f'(x)>0,
解得0 3.A　函数y=x2+xex的导数为y'=-x2+x+1ex,
令y'=0,得x=1±52,
当x∈-∞,1-52时,y'<0,
当x∈1-52,1+52时,y'>0,
当x∈1+52,+∞时,y'<0.
∴函数在-∞,1-52和1+52,+∞上单调递减,在1-52,1+52上单调递增,排除D.
当x=0时,y=0,排除B.当x=-1时,y=0,当x=-2时,y>0,排除C.故选A.
4.答案　(0,1),(4,+∞)
解析　g'(x)=f'(x)ex-f(x)(ex)'(ex)2
=f'(x)-f(x)ex,
由题中图象可知,当x∈(0,1)时,f'(x)-f(x)<0,此时g'(x)<0;
当x∈(4,+∞)时,f'(x)-f(x)<0,此时g'(x)<0,
故函数g(x)=f(x)ex的单调递减区间为(0,1),(4,+∞).
5.D　构造函数f(x)=xsin x,x∈-π2,π2,则f(x)是偶函数,且f'(x)=sin x+xcos x.
当0≤x≤π2时,f'(x)≥0,因此f(x)在0,π2上是增函数,从而xsin x-ysin y>0⇔xsin x>ysin y⇔f(x)>f(y)⇔f(|x|)>f(|y|)⇔|x|>|y|,故选D.
6.B　由题意得,f'(x)=cos x+2f'π3,
f'π3=cos π3+2f'π3,
解得f'π3=-12,所以f(x)=sin x-x.
所以f'(x)=cos x-1≤0,
所以f(x)为减函数.
因为b=log32>log33=12=a,
所以f(a)>f(b),故选B.
7.B　令g(x)=f(x)-2x-4,则g'(x)=f'(x)-2.因为f'(x)>2,所以f'(x)-2>0,即g'(x)>0,所以g(x)=f(x)-2x-4在R上单调递增.又因为f(-1)=2,所以g(-1)=f(-1)-2=0,所以g(x)>0⇔g(x)>g(-1)⇔x>-1,所以f(x)>2x+4的解集是(-1,+∞),故选B.
易错警示　构造函数解不等式是利用导数解决函数单调性问题的一个重要题型,构造函数时,要结合导数与不等式,如本题中构造函数g(x)=f(x)-2x-4,根据g'(x)=f'(x)-2和f'(x)>2得到单调性.
8.AD　对于A,f(x)=2-x,则g(x)=exf(x)=ex·2-x=e2x为R上的增函数,符合题意;
对于B,f(x)=3-x,则g(x)=exf(x)=ex·3-x=e3x为R上的减函数,不符合题意;
对于C,f(x)=x3,则g(x)=exf(x)=ex·x3,
g'(x)=ex·x3+3ex·x2=ex(x3+3x2)=ex·x2(x+3),
当x<-3时,g'(x)<0,当x>-3时,g'(x)>0,∴g(x)=exf(x)在定义域R上先减后增,不符合题意;
对于D,f(x)=x2+2,则g(x)=exf(x)=ex(x2+2),
g'(x)=ex(x2+2)+2xex=ex(x2+2x+2)>0在R上恒成立,符合题意.故选AD.
9.AC　设函数f(x)=xlnx,x>0且x≠1,
则f'(x)=lnx-1ln2x=1lnx-1ln2x,x>0且x≠1,
f″(x)=2-lnxx(lnx)3,x>0且x≠1,
当x→+∞时,f″(x)<0,故当x很大时,随着x的增大,π(x)的增长速度变慢,故A正确;函数f(x)=xlnx的图象如图所示:

由图象可得随着x的增大,π(x)并不减小,故B错误;当x很大时,在区间(x,x+n)(n是一个较大常数)内,函数增长得慢,素数的个数随x的增大而减少,故C正确;4ln4≈2.89>2,故D错误.故选AC.
10.答案　1
解析　因为f(-x)=-x-sin x=-f(x),所以f(x)是奇函数.又f'(x)=1+cos x≥0在R上恒成立,∴f(x)在R上是增函数.于是f(4a)+f(b-9)=0⇔f(4a)=f(9-b)⇔4a=9-b⇔4a+b=9,又a>0,b>0,
∴1a+1b=191a+1b(4a+b)=195+ba+4ab≥195+2ba·4ab=1,当且仅当b=2a=3时取等号,即1a+1b的最小值为1.
11.解析　(1)当a=-1时,f(x)=ln x+x+2x-1(x>0),f'(x)=1x+1-2x2,f(2)=ln 2+2,f'(2)=1,
故所求切线方程为y=x+ln 2.
(2)因为f(x)=ln x-ax+1-ax-1x>0,a≤12,
所以f'(x)=1x-a+a-1x2=-ax2-x+1-ax2(x>0),令g(x)=ax2-x+1-a=(x-1)(ax-1+a)(x>0).
(i)当a=0时,g(x)=-x+1(x>0),
所以当x∈(0,1)时,g(x)>0,f'(x)<0,此时函数f(x)单调递减;
当x∈(1,+∞)时,g(x)<0,f'(x)>0,此时函数f(x)单调递增.
(ii)当a≠0时,令g(x)=0,
解得x=1或x=1a-1.
①若a=12,则函数f(x)在(0,+∞)上单调递减;
②若0 ③当a<0时,1a-1<0,
若x∈(0,1),则g(x)>0,f'(x)<0,此时函数f(x)单调递减;
若x∈(1,+∞),则g(x)<0,f'(x)>0,此时函数f(x)单调递增.
综上所述,当a≤0时,函数f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增;当a=12时,函数f(x)在(0,+∞)上单调递减;当0 12.解析　(1)易知f(x)的定义域为(0,+∞), f'(x)=1x-a=1-axx,
①若a≤0,则f'(x)>0恒成立,故f(x)在(0,+∞)上单调递增;
②若a>0,则当00,当x>1a时,f'(x)<0,
综上,当a≤0时,f(x)的单调递增区间为(0,+∞),当a>0时,f(x)的单调递增区间为0,1a,单调递减区间为1a,+∞.
(2)∵f(x)的定义域为(0,+∞),
∴x>0,2a-x>0,a>0,∴0 设F(x)=f(x)-f2a-x
=ln x-ax-ln2a-x+a2a-x
=ln x-ln2a-x-2ax+2,x∈0,2a,
则F'(x)=1x+12a-x-2a=2ax-1a2x2a-x≥0,∴F(x)在0,2a上单调递增,
又F1a=0,∴当x∈0,1a时,F(x)<0,当x∈1a,2a时,F(x)>0,
∴f(x)-f2a-x>0的解集为1a,2a.
13.C　因为f(x)=ex(a-cos x)在R上单调递增,所以f'(x)=ex(a-cos x+sin x)≥0恒成立,即a≥cos x-sin x恒成立.
令g(x)=cos x-sin x,
则g(x)=cos x-sin x=2cosx+π4,
即g(x)∈[-2,2],所以a≥2.故选C.
14.D　因为f(x)=x2-9ln x+3x,
所以f'(x)=2x-9x+3,
令f'(x)=0,即2x-9x+3=0,
解得x=32或x=-3(舍去).
所以当x∈0,32时,f'(x)<0,f(x)单调递减,当x∈32,+∞时,f'(x)>0,f(x)单调递增.
因为f(x)在区间(m-1,m+1)上不单调,
所以m-1<32 因为(m-1,m+1)是函数f(x)定义域内的子区间,所以m-1≥0,即m≥1,
所以m的取值范围是1,52.故选D.
15.D　由f(x1)-f(x2)x1-x2>2,
得f(x1)-2x1-[f(x2)-2x2]x1-x2>0,
令g(x)=f(x)-2x=aln x+12x2-2x(a>0),则g(x)为增函数,
所以g'(x)=ax+x-2≥0(x>0,a>0)恒成立,即a≥x(2-x)恒成立,又当x>0时,x(2-x)的最大值为1,所以a≥1.
方法技巧　解决不等式恒成立问题,常见的解题技巧是分离变量,这样可以避免分类讨论,如本题中将不等式ax+x-2≥0恒成立中的a分离出来,即为a≥x(2-x)恒成立.
16.答案　(-∞,0]
解析　函数f(x)=sin x-aln x在0,π4上单调递增,即f'(x)=cos x-ax≥0在0,π4上恒成立,即a≤xcos x在0,π4上恒成立.令g(x)=xcos x,则g'(x)=cos x-xsin x,令h(x)=cos x-x·sin x,则h'(x)=-2sin x-xcos x<0在0,π4上恒成立,
所以g'(x)在0,π4上单调递减,
又g'π4>0,所以g'(x)>0恒成立,
所以函数g(x)在0,π4上单调递增,
可得g(x)>g(0)=0,所以a≤0.
方法技巧　利用导数解决函数的单调性问题时,经常会遇到f(x)=0(或f(x)>0)这样的方程(或不等式)不易求解的情况,可采用二次求导来解决问题,如本题中,g'(x)=cos x-xsin x=0,不易求解,令h(x)=cos x-x·sin x,再求一次导数h'(x)=-2sin x-xcos x,即二次求导.
17.解析　(1)当a=-14时,f(x)=-14x2+ln(x+1)(x>-1),
则f'(x)=-12x+1x+1=-(x+2)(x-1)2(x+1)(x>-1).
令f'(x)>0,解得-1 令f'(x)<0,解得x>1.
故函数f(x)的单调递增区间是(-1,1),单调递减区间是(1,+∞).
(2)因为函数f(x)在区间[1,+∞)上是减函数,所以f'(x)=2ax+1x+1≤0对任意x∈[1,+∞)恒成立,
即a≤-12x(x+1)对任意x∈[1,+∞)恒成立.
令g(x)=-12x(x+1),x∈[1,+∞),
易求得g'(x)>0在[1,+∞)上恒成立,
所以g(x)在[1,+∞)上单调递增,
因此g(x)min=g(1)=-14,故a≤-14.
即实数a的取值范围是-∞,-14.
18.解析　(1)由已知得f'(x)=ex+2ax,
则g(x)=f'(x)=ex+2ax,则g'(x)=ex+2a.
①若a≥0,则g'(x)>0,g(x)在区间(-∞,1]上单调递增,符合题意;
②若a<0,令g'(x)=0,解得x=ln(-2a),∵g'(x)是单调递增函数,
∴要使g(x)在区间(-∞,1]上为单调函数,只需ln(-2a)≥1,解得a≤-e2,
此时g(x)在区间(-∞,1]上为单调递减函数.
由①②可得,使导函数f'(x)在区间(-∞,1]上为单调函数的a的取值范围是-∞,-e2∪[0,+∞).
(2)证明:∵x1≠x2,∴不妨设x1 取x1为自变量构造函数F(x1)=fx1+x22-f(x1)+f(x2)2,
则F'(x1)=12f'x1+x22-f'(x1)2
=12f'x1+x22-f'(x1),
∵a>0,∴f'(x)=ex+2ax在R上单调递增,
又x1+x22-x1=x2-x12>0,∴f'x1+x22>f'(x1),即F'(x1)>0.
∴关于x1的函数F(x1)单调递增,
∴F(x1) ∴fx1+x22