高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册5.3 导数在研究函数中的应用课时练习

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册5.3 导数在研究函数中的应用课时练习，共34页。试卷主要包含了设函数f=ex+ae-x，已知函数f=ex-a，已知a∈R，当M最小时,求a的值等内容，欢迎下载使用。
5.1~5.3综合拔高练
五年高考练
考点1　导数的运算法则及其几何意义
1.(2019课标全国Ⅲ,6,5分,)已知曲线y=aex+xln x在点(1,ae)处的切线方程为y=2x+b,则(　　)
A.a=e,b=-1 B.a=e,b=1C.a=e-1,b=1 D.a=e-1,b=-1
2.(2019课标全国Ⅰ,13,5分,)曲线y=3(x2+x)ex在点(0,0)处的切线方程为　　　　. 
3.(2019江苏,11,5分,)在平面直角坐标系xOy中,点A在曲线y=ln x上,且该曲线在点A处的切线经过点(-e,-1)(e为自然对数的底数),则点A的坐标是　　　　. 
4.(2020北京,15,5分,)为满足人民对美好生活的向往,环保部门要求相关企业加强污水治理,排放未达标的企业要限期整改.设企业的污水排放量W与时间t的关系为W=f(t),用- f(b)-f(a)b-a的大小评价在[a,b]这段时间内企业污水治理能力的强弱.已知整改期内,甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如图所示.

给出下列四个结论:
①在[t1,t2]这段时间内,甲企业的污水治理能力比乙企业强;②在t2时刻,甲企业的污水治理能力比乙企业强;③在t3时刻,甲、乙两企业的污水排放都已达标;④甲企业在[0,t1],[t1,t2],[t2,t3]这三段时间中,在[0,t1]的污水治理能力最强.其中所有正确结论的序号是　　　　.深度解析 
考点2　函数的导数与单调性
5.(2018课标全国Ⅲ,7,5分,)函数y=-x4+x2+2的图象大致为(　　)


6.(2019北京,13,5分,)设函数f(x)=ex+ae-x(a为常数).若f(x)为奇函数,则a=　　　;若f(x)是R上的增函数,则a的取值范围是　　　　. 
7.(2020课标全国Ⅰ文,20,12分,)已知函数f(x)=ex-a(x+2).
(1)当a=1时,讨论f(x)的单调性;
(2)若f(x)有两个零点,求a的取值范围.
深度解析






8.(2019课标全国Ⅱ,20,12分,)已知函数f(x)=ln x-x+1x-1.
(1)讨论f(x)的单调性,并证明f(x)有且仅有两个零点;
(2)设x0是f(x)的一个零点,证明曲线y=ln x在点A(x0,ln x0)处的切线也是曲线y=ex的切线.






考点3　函数的导数与极值、最大(小)值
9.(2019天津,8,5分,)已知a∈R.设函数f(x)=x2-2ax+2a,x≤1,x-alnx,x>1.若关于x的不等式f(x)≥0在R上恒成立,则a的取值范围为(　　)
A.[0,1] B.[0,2] C.[0,e] D.[1,e]
10.(2017课标全国Ⅱ,11,5分,)若x=-2是函数f(x)=(x2+ax-1)ex-1的极值点,则f(x)的极小值为(　　)
A.-1 B.-2e-3
C.5e-3 D.1
11.(2018江苏,11,5分,)若函数f(x)=2x3-ax2+1(a∈R)在(0,+∞)内有且只有一个零点,则f(x)在[-1,1]上的最大值与最小值的和为　　　　. 
12.(2018课标全国Ⅰ,16,5分,)已知函数f(x)=2sin x+sin 2x,则f(x)的最小值是　　　　. 
13.(2017课标全国Ⅰ,16,5分,)如图,圆形纸片的圆心为O,半径为5 cm,该纸片上的等边三角形ABC的中心为O.D,E,F为圆O上的点,△DBC,△ECA,△FAB分别是以BC,CA,AB为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后,分别以BC,CA,AB为折痕折起△DBC,△ECA,△FAB,使得D,E,F重合,得到三棱锥.当△ABC的边长变化时,所得三棱锥体积(单位:cm3)的最大值为　　　　. 
14.(2019课标全国Ⅲ,20,12分,)已知函数f(x)=2x3-ax2+b.
(1)讨论f(x)的单调性;
(2)是否存在a,b,使得f(x)在区间[0,1]的最小值为-1且最大值为1?若存在,求出a,b的所有值;若不存在,说明理由.








15.(2020课标全国Ⅲ理,21,12分,)设函数f(x)=x3+bx+c,曲线y=f(x)在点12, f12处的切线与y轴垂直.
(1)求b;
(2)若f(x)有一个绝对值不大于1的零点,证明:f(x)所有零点的绝对值都不大于1.






16.(2020新高考Ⅰ,21,12分,)已知函数f(x)=aex-1-ln x+ln a.
(1)当a=e时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积;
(2)若f(x)≥1,求a的取值范围.
深度解析






17.(2019北京,19,13分,)已知函数f(x)=14x3-x2+x.
(1)求曲线y=f(x)的斜率为1的切线方程;
(2)当x∈[-2,4]时,求证:x-6≤f(x)≤x;
(3)设F(x)=|f(x)-(x+a)|(a∈R),记F(x)在区间[-2,4]上的最大值为M(a).当M(a)最小时,求a的值.






三年模拟练
应用实践
1.(2020重庆九校联盟高二上期末联考,)设三次函数f(x)的导函数为f'(x),函数y=xf'(x)的图象的一部分如图所示,则下列说法正确的是(　易错　)

　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A.f(x)的极大值为f(3),极小值为f(-3)
B.f(x)的极大值为f(3),极小值为f(-3)
C.f(x)的极大值为f(-3),极小值为f(3)
D.f(x)的极大值为f(-3),极小值为f(3)
2.(2020江西南昌二中高二上期末,)若函数f(x)=x2-1与函数g(x)=aln x-1的图象存在公切线,则正实数a的取值范围是(　　)
A.(0,e) B.(0,e]C.(0,2e) D.(0,2e]
3.(2020福建福州高三上期末质量检测,)已知函数f(x)=x2+2ax,g(x)=-1x,若存在点A(x1,f(x1)),B(x2,g(x2)),使得直线AB与两曲线y=f(x)和y=g(x)都相切,则当实数a取最小值时,x1+x2=(　　)
A.232 B.3322 C.32 D.-3324
4.(多选)(2020山东临沂高三上期末,)已知函数f(x)=x+sin x-xcos x的定义域为[-2π,2π),则(　　)
A.f(x)为奇函数
B.f(x)在[0,π)上单调递增
C.f(x)恰有4个极大值点
D.f(x)有且仅有4个极值点
5.(2020辽宁大连高三上双基测试,)若点A(x1,y1),B(x2,y2)(x11图象上的任意两点,且函数f(x)的图象在点A和点B处的切线互相垂直,则下列结论正确的是(　　)
A.x10时,函数y=-x4+x2+2在0,22上单调递增,在22,+∞上单调递减.又函数y=-x4+x2+2为偶函数,所以D选项符合题意.故选D.
6.答案　-1;(-∞,0]
解析　因为f(x)为奇函数,且f(x)的定义域为R,所以f(0)=0,所以e0+ae-0=0,解得a=-1.因为f(x)在R上为增函数,所以f'(x)=ex-aex≥0在R上恒成立,即a≤e2x在R上恒成立,又因为e2x>0,所以a≤0,即a的取值范围为(-∞,0].
7.解析　(1)当a=1时, f(x)=ex-x-2,则f'(x)=ex-1.
当x0.
所以f(x)在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增.
(2)f'(x)=ex-a.
当a≤0时, f'(x)>0,所以f(x)在(-∞,+∞)上单调递增,
故f(x)至多存在1个零点,不合题意.
当a>0时,由f'(x)=0可得x=ln a.当x∈(-∞,ln a)时, f'(x)0,所以f(x)在(0,1),(1,+∞)上单调递增.
因为f(e)=1-e+1e-10,所以f(x)在(1,+∞)上有唯一零点x1,即f(x1)=0.又00,
所以f(x)=x-aln x在(1,+∞)上单调递增,所以f(x)>1-aln 1=1>0.
所以当0≤a≤1时, f(x)≥0在R上恒成立.
当a>1时,若x≤1,则f(x)=(x-a)2+2a-a2在(-∞,1]上单调递减,所以f(x)min=f(1)=1>0.若x>1,则f(x)=x-aln x, f'(x)=1-ax,令f'(x)=0,得x=a.当x∈(1,a)时,f'(x)0,得x=a3,则当x∈0,a3时, f'(x)0,当x∈(0,1)时, f'(x)0;当x∈0,a3时, f'(x)0;
当x>e时,h'(x)h(0)=0恒成立,
当x∈(32,+∞)时,h(x)单调递增,
∴当x=32时,h(x)有最小值,∴x1=32,
则x2=2x12=32,∴x1+x2=232.故选A.
4.BD　∵f(x)的定义域为[-2π,2π),
∴f(x)是非奇非偶函数,A错误.
∵f(x)=x+sin x-xcos x,
∴f'(x)=1+cos x-(cos x-xsin x)
=1+xsin x,
当x∈[0,π)时, f'(x)>0,则f(x)在[0,π)上单调递增,B正确.
显然f'(0)≠0,令f'(x)=0,得sin x=-1x,
分别作出y=sin x,y=-1x在区间[-2π,2π)上的图象,如图.

由图可知,这两个函数的图象在区间[-2π,2π)上共有4个公共点,且两个图象在这些公共点上都不相切,故f(x)在区间[-2π,2π)上的极值点的个数为4,且f(x)只有2个极大值点,C错误,D正确.故选BD.
5.D　因为f(x)=-ex+1,x≤1,lnx,x>1,点A(x1,y1),B(x2,y2)(x10,即g(x)在0,1e上为增函数;当x>1e时,g'(x)ln t.
即不等式2x1x2-1x1x2+1>lnx1x2成立.
综上,得x1+x2>12a.
迁移创新
11.解析　(1)由题意得, f'(x)=ax+b=a+bxx,x>0.
∵函数f(x)=aln x+bx+c(a≠0)有极小值,∴b>0,a0,
则g'(t)=1t-12t3=2t2-12t3.
令g'(t)=0,得t=22(负值舍去),∴g(t)在0,22上单调递减,在22,+∞上单调递增.
∴g(t)≥g22=ln22+12>0.
∵a