人教A版 (2019)选择性必修 第二册第五章 一元函数的导数及其应用本章综合与测试课时训练

专题强化练6　导数运算法则的简单应用

一、选择题

1.(2020河南濮阳高二上期末,)设曲线y=a(x-1)-ln x在点(1,0)处的切线方程为y=3x-3,则a=(　　)

A.1 B.2 C.3 D.4

2.(2020江西上饶中学高二上期中,)已知函数f(x)=xln x+a在点(1,f(1))处的切线经过原点,则实数a=(　　)

A.-1 B.0 C. D.1

3.(2019辽宁沈阳高二上期末,)偶函数f(x)=x(ex-ae-x)的图象在x=1处的切线斜率为(　　)

A.2e B.e 

C. D.e+

4.(2019广东佛山高三月考,)若曲线y=ex在x=0处的切线,也是y=ln x+b的切线,则b=(　　)

A.-1 B.1 C.2 D.e

5.(2020广东中山期末,)设a∈R,函数f(x)=ex+a·e-x的导函数是f'(x),且f'(x)是奇函数.若曲线y=f(x)的一条切线的斜率是,则切点的横坐标为(　　)

A.- B.-ln 2

C. D.ln 2

6.(多选)()已知f'(x)为函数f(x)的导函数,且f(x)=x2-f(0)x+f'(1)ex-1,若g(x)=f(x)-x2+x,方程g(x)-ax=0有且只有一个根,则a的取值可能是(　　)

A.e B.1 C.-1 D.-

二、填空题

7.(2020天津六校高三上期末联考,)曲线f(x)=2sin x+cos x在点(π,f(π))处的切线方程为　　　　. 

8.(2020广东清远高三上期末,)对于三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a,b,c,d∈R,a≠0)有如下定义:设f'(x)是函数f(x)的导函数,f″(x)是函数f'(x)的导函数,若方程f″(x)=0有实数解m,则称点(m,f(m))为函数y=f(x)的“拐点”.若点(1,-3)是函数g(x)=x3-ax2+bx-5(a,b∈R)的“拐点”,也是函数g(x)图象上的点,则函数h(x)=asin x+bcos2x的最大值是　　　　.三、解答题 

9.(2019陕西西安中学高二上期末,)已知曲线f(x)=x+ln x.

(1)求曲线f(x)在(e,f(e))处的切线方程;

(2)若曲线f(x)在点(1,1)处的切线与曲线g(x)=ax2+(a+2)x+1相切,求实数a的值.

10.()已知在曲线f(x)=x3-2x2+ax(a∈R)的所有切线中,有且仅有一条切线l与直线y=x垂直.

(1)求a的值和切线l的方程;

(2)设曲线y=f(x)上任意一点处的切线的倾斜角为α,求α的取值范围.

11.()已知函数f(x)=exsin x+excos x,x∈,过点M作函数f(x)的图象的所有切线,令各切点的横坐标按从小到大的顺序形成数列{xn},求数列{xn}的所有项之和.

答案全解全析

一、选择题

1.D　由题意得,y'=a-,因为曲线y=a(x-1)-ln x在点(1,0)处的切线的斜率为3,所以a-1=3,所以a=4.故选D.

2.D　由f(x)=xln x+a得f'(x)=ln x+1,

∴切线斜率为k=f'(1)=1.

又f(1)=a,∴切线方程为y-a=1×(x-1),

由切线过原点知-a=0-1,解得a=1.

故选D.

3.A　因为函数f(x)为偶函数,

所以f(-x)=f(x),

即-x(e-x-aex)=x(ex-ae-x),

解得a=1,故f(x)=x(ex-e-x),

所以f'(x)=ex-e-x+(ex+e-x)x,

所以f'(1)=e1-e-1+e1+e-1=2e,

故函数f(x)=x(ex-ae-x)的图象在x=1处的切线斜率为2e.故选A.

4.C　y=ex的导数为y'=ex,

曲线y=ex在x=0处的切线斜率为k=e0=1,当x=0时,y=e0=1,即切点坐标为(0,1).

则曲线y=ex在x=0处的切线方程为y-1=x,即y=x+1.

y=ln x+b的导数为y'=,

设切点为(m,n),则=1,

解得m=1,则n=2,

则有2=ln 1+b,解得b=2,故选C.

5.D　由题可知x∈R,∵函数f(x)=ex+a·e-x,∴f'(x)=ex-.

又∵f'(x)是奇函数,∴f'(0)=1-a=0,

∴a=1,∴f(x)=ex+,f'(x)=ex-.

∵曲线y=f(x)的一条切线的斜率是,

∴=ex-,解方程可得x=ln 2.

故选D.

6.ACD　∵f(x)=x2-f(0)x+f'(1)ex-1,

∴f(0)=f'(1)e-1,

f'(x)=x-f(0)+f'(1)ex-1,

∴f'(1)=1-f'(1)e-1+f'(1)e1-1,

解得f'(1)=e,∴f(0)=f'(1)e-1=1,

∴f(x)=x2-x+ex,

∴g(x)=f(x)-x2+x

=x2-x+ex-x2+x=ex,

∵g(x)-ax=0,∴ex-ax=0,即ex=ax.

当a=0时,y=ex与y=0的图象没有交点,关于x的方程ex-ax=0无解,不满足条件;

当a<0时,y=ex与y=ax的图象只有一个交点,关于x的方程ex-ax=0有唯一解,满足条件;

当a=e时,y=ex与y=ax的图象相切于一点(1,e),关于x的方程ex-ax=0有唯一解,满足条件;

当a>0且a≠e时,y=ex与y=ax的图象无交点或有两个交点,关于x的方程ex-ax=0无解或有两个解,不满足条件.

故a的取值范围是a=e或a<0,故选ACD.

二、填空题

7.答案　2x+y+1-2π=0

解析　由f(x)=2sin x+cos x,

得f'(x)=2cos x-sin x,

∴f'(π)=2cos π-sin π=-2,

又当x=π时,f(π)=2sin π+cos π=-1,

∴切点坐标为(π,-1).

∴曲线f(x)=2sin x+cos x在点(π,-1)处的切线方程为y+1=-2(x-π),

即2x+y-2π+1=0.

8.答案　

解析　由题可得,g'(x)=3x2-2ax+b,g″(x)=6x-2a,因为点(1,-3)是g(x)的拐点,所以g″(1)=0,

解得a=3,由g(1)=-3,得b=4,

所以h(x)=sin x+2cos2x=sin x-2sin2x+2,令sin x=t,则t∈[-1,1],

即求y=-2t2+t+2在t∈[-1,1]时的最大值,由二次函数开口向下及对称轴t=∈[-1,1]可知,

当t=时,y有最大值,且最大值为.

故函数h(x)的最大值为.

三、解答题

9.解析　由题可得f'(x)=1+.

(1)f(e)=e+1,k=f'(e)=1+,

所以曲线在点(e,f(e))处的切线方程为

y-(e+1)=(x-e),

即y=x.

(2)函数f(x)=x+ln x在点(1,1)处的导数为f'(1)=1+1=2,设切线为l,则l的方程为y=2x-1,

曲线g(x)=ax2+(a+2)x+1的导数为g'(x)=2ax+a+2,因为l与该曲线相切,

所以g'(x)=2ax+a+2=2,所以x=-,

代入曲线g(x)的方程可求得切点为,代入切线方程得a=8.

10.解析　(1)由题意知,f'(x)=x2-4x+a,且方程x2-4x+a=-1有两个相等的实数根,

∴Δ=(-4)2-4(a+1)=0,∴a=3,

此时方程x2-4x+a=-1化为x2-4x+4=0,得x1=x2=2,

∴切点的纵坐标为f(2)=,

∴切线l的方程为y-=-(x-2),

即3x+3y-8=0.

(2)设曲线y=f(x)上任意一点(x,y)处的切线斜率为k(由题意知k存在),

则由(1)知k=x2-4x+3=(x-2)2-1≥-1,

即tan α≥-1,

∴α的取值范围为0≤α<或≤α<π.

11.解析　f(x)=ex(sin x+cos x),

∴f'(x)=2excos x,

设切点坐标为(x0,(sin x0+cos x0)),则该点处的切线斜率为f'(x0)=2cos x0,

从而切线方程为y-(sin x0+cos x0)=2·cos x0(x-x0),

∵切线过点M,

∴-(sin x0+cos x0)=2cos x0·,解得tan x0=2.

令y1=tan x,y2=2,这两个函数的图象均关于点对称,则它们交点的横坐标也关于x=对称,从而各切线切点的横坐标所构成的数列{xn}的项也关于x=成对出现,又x∈,∴共有1 008对,每对横坐标之和均为π,

故所有项之和为1 008π.