数学选择性必修 第三册7.4 二项分布与超几何分布课时训练

这是一份数学选择性必修 第三册7.4 二项分布与超几何分布课时训练，共19页。试卷主要包含了n重伯努利试验应满足的条件，假设某种人寿保险规定等内容，欢迎下载使用。

基础过关练
题组一 伯努利试验及其概率计算
1.n重伯努利试验应满足的条件:
①各次试验之间是相互独立的;
②每次试验只有两种结果;
③各次试验成功的概率是相同的;
④每次试验发生的事件是互斥的.
其中正确的是( )

A.①②B.②③
C.①②③D.①②④
2.(2020天津河北区高三下模拟)某同学通过普通话二级测试的概率是14,若该同学连续测试3次(各次测试互不影响),则只有第3次通过的概率是( )
A.164B.116C.964D.34
3.(2020辽宁抚顺六校协作体高一上期末)已知袋中有3个红球,n个白球,有放回地摸球2次,则恰好第1次摸到红球且第2次摸到白球的概率是625,则n=( )
A.1B.2C.6D.7
4.甲、乙两人各射击一次,击中目标的概率分别是23、34.假设两人射击是否击中目标相互之间没有影响,每人每次射击是否击中目标相互之间也没有影响.
(1)若甲连续射击,命中为止,求甲恰好射击3次结束射击的概率;
(2)若乙连续射击,直至命中2次为止,求乙恰好射击3次结束射击的概率.
题组二 二项分布的分布列及概率计算
5.设随机变量X~B6,12,则P(X=3)等于( )
A.516B.316C.58D.716
6.(2020四省八校双教研联盟高三上联考)设随机变量X~B6,13,则P(27.(2019山西临汾一中高二下期中)某处有3个水龙头,调查表明每个水龙头被打开的概率均为0.1,各个水龙头是否被打开互不影响,随机变量X表示水龙头同时被打开的个数,则P(X=2)= .(用数字作答)
8.(2020江苏南京二十九中高三下模拟)某公司的一次招聘中,应聘者都要经过A,B,C三个独立项目的测试,通过其中的两个或三个项目的测试即可被录用.若甲、乙、丙三人通过A,B,C每个项目测试的概率都是12.
(1)求甲恰好通过两个项目测试的概率;
(2)设甲、乙、丙三人中被录用的人数为X,求X的分布列.
9.(2020山东菏泽高二下期末)假设某种人寿保险规定:若投保人没活过65岁,则保险公司要赔偿10万元;若投保人活过65岁,则保险公司不赔偿,但要给投保人一次性支付4万元.已知购买此种人寿保险的每个投保人能活过65岁的概率都为0.9,随机抽取其中的4个投保人,设其中活过65岁的人数为X,保险公司支出给这4人的总金额为Y万元.(参考数据:0.94=0.656 1)
(1)求X的分布列,并写出Y与X的关系;
(2)求P(Y≥22).
题组三 二项分布的期望与方差
10.(2020浙江湖州中学高二下月考)已知随机变量X~B2,23,则E(X),D(X)分别为( )

A.83,163B.49,827
C.53,59 D.43,49
11.(2020山东泰安二中高三上月考)已知随机变量X,Y满足X+Y=8,若X~B(10,0.6),则E(Y),D(Y)分别为( )
A.6,2.4B.6,5.6
C.2,2.4D.2,5.6
12.(2020河北辛集中学高三下模拟)在3重伯努利试验中,事件A在每次试验中发生的概率相同,若事件A至少发生一次的概率为6364,则事件A发生的次数X的期望和方差分别为( )
A.94和916B.34和316
C.916和364D.94和964
13.(2019河南洛阳高二质量检测)设随机变量X~B(2,p),Y~B(4,p),若E(X)=23,则P(Y≥3)= .
14.(2020北京朝阳高三上期末)某学校在春天来临时开展了以“拥抱春天,播种绿色”为主题的植物种植实践体验活动.已知某种盆栽植物每株成活的概率为p,各株是否成活相互独立.该学校的某班随机领取了此种盆栽植物10株,设X为其中成活的株数,若D(X)=2.1,P(X=3)15.由数字0,1,2,3,4组成一个五位数α.
(1)若α的各数位上的数字不重复,求α是偶数的概率;
(2)若α的各数位上的数字可以重复,记随机变量X表示各数位上数字是0的个数,求X的分布列及数学期望.
16.某学校要招聘志愿者,参加应聘的学生要从8个试题中随机挑选出4个进行作答,至少答对3个才能通过初试.已知甲、乙两人参加初试,在这8个试题中甲能答对6个,乙能答对每个试题的概率为34,且甲、乙两人是否答对每个试题互不影响.
(1)试通过概率计算,分析甲、乙两人谁通过初试的可能性更大;
(2)若答对一题得5分,答错或不答得0分,记乙答题的得分为Y,求Y的分布列、数学期望和方差.
能力提升练
题组一 二项分布的概率
1.(2020天津塘沽一中高三二模,)袋中装有标号为1,2,3,4,5,6且大小相同的6个小球,从袋中一次性摸出两个球,记下号码并放回,若两个号码的和是3的倍数,则获奖.现有5人参与摸球,则恰好2人获奖的概率是( )
A.40243B.70243C.80243D.38243
2.(2020湖南长沙长郡中学高三一模,)“石头、剪刀、布”又称“猜丁壳”,是一种流行多年的猜拳游戏.其游戏规则:出拳之前双方齐喊口令,然后在语音刚落时同时出拳,握紧的拳头代表“石头”,食指和中指伸出代表“剪刀”,五指伸开代表“布”.“石头”胜“剪刀”,“剪刀”胜“布”,而“布”又胜过“石头”.若所出的拳相同,则为和局.小军和大明两位同学进行五局三胜制的“石头、剪刀、布”游戏比赛,则小军和大明比赛至第四局小军胜出的概率是( )
A.127B.227C.281D.881
3.(多选)(2020河北衡水枣强中学高二上期末,)一个口袋内有12个大小形状完全相同的小球,其中有n个红球,若有放回地从口袋中连续取四次(每次只取一个小球),恰好两次取到红球的概率大于827,则n的值可能为( )
A.5B.6C.7D.8
4.(2019河北示范性高中高三下联考,)一年之计在于春,一日之计在于晨,春天是播种的季节,是希望的开端.某种植户对一块地的n个坑进行播种,每个坑播3粒种子,每粒种子发芽的概率均为12,且每粒种子是否发芽相互独立.对每一个坑而言,如果至少有两粒种子发芽,则不需要进行补播种,否则要补播种.则当n= 时,有3个坑要补播种的概率最大,最大概率为 .
题组二 二项分布的期望与方差
5.(2020山东莱州一中高二下阶段检测,)某市环保局举办“六·五”世界环境日宣传活动,进行现场抽奖.抽奖规则:盒中装有10张大小相同的精美卡片,卡片上分别印有“环保会徽”或“绿色环保标志”图案.参加者每次从盒中抽取两张卡片,若抽到两张都是“绿色环保标志”卡即可获奖.已知从盒中抽取两张都不是“绿色环保标志”卡的概率是13.现有甲、乙、丙、丁四人依次抽奖,抽后放回,另一人再抽,用X表示获奖的人数,那么E(X)+D(X)=( )
A.224225B.104225C.815D.112225
6.(2020湖北武汉二中高二下月考,)已知离散型随机变量X服从二项分布B(n,p),且E(X)=4,D(X)=q,则1p+1q的最小值为( )
A.2B.52C.94D.4
7.(2020重庆西南大学附属中学高三上期末,)网上购物已经成为一种重要的消费方式.某网络公司通过随机问卷调查,得到不同年龄段的网民在网上购物的情况,并从参与的调查者中随机抽取了150人.经统计得到如下表格:
若把年龄大于或等于15而小于35岁的视为青少年,把年龄大于或等于35而小于65岁的视为中年人,把年龄大于或等于65岁的视为老年人,将频率视为概率.
(1)在青少年、中年人、老年人中,哪个群体网上购物的概率最大?
(2)现从某市青少年网民(人数众多)中随机抽取4人,设其中网上购物的人数为X,求X的分布列及期望.
答案全解全析
7.4 二项分布与超几何分布
7.4.1 二项分布
基础过关练
1.C 由伯努利试验的概念知①②③正确,④错误.
2.C 由题意知,该同学连续测试3次,只有第3次通过的概率P=1-142×14=964.故选C.
3.B 由题意知,摸到红球的概率为33+n,摸到白球的概率为n3+n,则有放回地摸球2次,恰好第1次摸到红球且第2次摸到白球的概率为33+n×n3+n=625,解得n=2或n=92(舍去),故选B.
4.解析 (1)记“甲恰好射击3次结束射击”为事件A1.
则P(A1)=13×13×23=227.
所以甲恰好射击3次结束射击的概率为227.
(2)记“乙恰好射击3次结束射击”为事件A2,
则P(A2)=34×14×34+14×34×34=932,
所以乙恰好射击3次结束射击的概率为932.
5.A 由二项分布的概率公式可得,P(X=3)=C63×123×123=516,故选A.
6.答案 220729
解析 因为随机变量X~B6,13,
所以P(2=C631331-133+C641341-132=220729.
7.答案 0.027
解析 由题意得P(X=2)=C32×0.12×0.9=0.027.
8.解析 (1)甲恰好通过两个项目测试的概率为C321221-121=38.
(2)因为甲、乙、丙三人被录用的概率均为
C321221-121+123=12,所以可看作3重伯努利试验,
甲、乙、丙三人中被录用的人数X服从二项分布,即X~B3,12,
所以P(X=0)=1-123=18,
P(X=1)=C311211-122=38,
P(X=2)=C321221-121=38,
P(X=3)=123=18.
故X的分布列为
9.解析 (1)由于每个投保人能活过65岁的概率都为0.9,因此X服从二项分布,即X~B(4,0.9),则P(X=k)=C4k0.9k×(1-0.9)4-k(k=0,1,2,3,4),故随机变量X的分布列为
因为4个投保人中,活过65岁的人数为X,则没活过65岁的人数为4-X,
因此Y=10(4-X)+4X,
即Y=40-6X(X=0,1,2,3,4).
(2)由Y≥22得40-6X≥22,即X≤3,
所以P(Y≥22)=P(X≤3)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)=1-P(X=4)=1-0.656 1=0.343 9.
所以P(Y≥22)=0.343 9.
10.D 因为随机变量X~B2,23,
所以E(X)=2×23=43,
D(X)=2×23×1-23=49.
故选D.
11.C ∵X~B(10,0.6),
∴E(X)=10×0.6=6,
D(X)=10×0.6×0.4=2.4.
∵X+Y=8,∴Y=8-X,
∴E(Y)=E(8-X)=8-E(X)=2,
D(Y)=D(8-X)=D(X)=2.4.
故选C.
12.A 由题意,设事件A在每次试验中发生的概率为p,
因为事件A至少发生一次的概率为6364,
所以1-(1-p)3=6364,解得p=34,
则X~B3,34,
所以E(X)=3×34=94,
D(X)=3×34×1-34=916.
故选A.
13.答案 19
解析 ∵X~B(2,p),∴E(X)=2p=23,
∴p=13,∴Y~B4,13,
∴P(Y≥3)=P(Y=3)+P(Y=4)=C43133231+C44134=19.
14.答案 0.7
解析 由题意可知X~B(10,p),
∴10p(1-p)=2.1,P(X=3)即100p2-100p+21=0,C103p3(1-p)7解得p=0.7.
15.解析 (1)由0,1,2,3,4组成的五位数共有A55-A44=96个,
其中是偶数的分为两类:
第一类,个位是0,有A44=24个;
第二类,个位是2或4,有C21C31A33=36个,
所以α是偶数的概率P=24+3696=58.
(2)因为首位一定不为0,第2位至第5位上数字为0的概率均是15,且相互独立,所以X~B4,15,所以P(X=k)=C4k×15k1-154-k,k=0,1,2,3,4,
所以X的分布列为
E(X)=4×15=45.
16.解析 (1)由题意得,甲通过初试的概率P1=C63C21C84+C64C84=1114,
乙通过初试的概率P2=C43343141+C44344=189256.
∵1114>189256,∴甲通过初试的可能性更大.
(2)设乙答对试题的个数为X,则X的可能取值为0,1,2,3,4,且X~B4,34,
∴P(X=k)=C4k34k144-k(k=0,1,2,3,4),
易知Y=5X,
∴Y的分布列为
E(Y)=5×4×34=15,
D(Y)=25×4×34×14=754.
能力提升练
1.C 从6个小球中摸出两个小球,共有C62=15种情况,
两个球的号码之和是3的倍数,共有(1,2),(1,5),(2,4),(3,6),(4,5)5种情况,
∴获奖的概率是515=13,
因此5人参与摸球,相当于5重伯努利试验,且每次获奖的概率均为13,
∴所求概率P=C52132233=80243.
故选C.
2.B 由题意得,每局比赛中小军胜大明、小军与大明和局和小军输给大明的概率都为13,
若小军和大明进行五局三胜制的“石头、剪刀、布”游戏比赛,比赛至第四局小军胜出,则前3局中小军胜2局,第四局小军胜,
∴所求概率P=C32132231×13=227.
故选B.
3.ABC 设每次取到红球的概率为p(0由题意得C42p2(1-p)2>827,即p(1-p)>29,
解得13因为p=n12,所以n=12p∈(4,8),
所以n=5或6或7.故选ABC.
4.答案 5或6;516
解析 对一个坑而言,要补播种的概率P=C30123+C31123=12,
则有3个坑要补播种的概率为Cn3123·12n-3=Cn312n.
要使Cn312n最大,
只需Cn312n≥Cn-1312n-1,Cn312n≥Cn+1312n+1,
解得5≤n≤6,所以n=5或n=6.
当n=5时,C53125=516,
当n=6时,C63126=516,
所以当n=5或n=6时,有3个坑要补播种的概率最大,最大概率为516.
5.A 设盒中印有“环保会徽”图案的卡片有n张,则印有“绿色环保标志”图案的卡片有(10-n)张,
由题意得Cn2C102=13,所以n=6,
所以参加者每次从盒中抽取两张卡片,获奖的概率P=C42C102=215,
因此X~B4,215,
所以E(X)+D(X)=4×215+4×215×1-215=224225.故选A.
6.C 由题意得E(X)=4=np,
D(X)=q=np(1-p),
所以q1-p=4,即p+q4=1(p>0,q>0),
所以1p+1q=1p+1qp+q4=54+q4p+pq≥54+2q4p·pq=54+1=94,
当且仅当q=2p=43,即q=43,p=23时取等号.故选C.
7.解析 (1)由题表中的数据知,青少年网上购物的概率为12+3315+45=4560=34,
中年人网上购物的概率为35+15+345+30+8=5383,
老年人网上购物的概率为27,
因为34>5383>27,
所以青少年网上购物的概率最大.
(2)由题意及(1)知,X~B4,34,
P(X=0)=C40144=1256,
P(X=1)=C41341143=12256=364,
P(X=2)=C42342142=54256=27128,
P(X=3)=C43343141=108256=2764,
P(X=4)=C44344=81256.
故X的分布列为
E(X)=4×34=3.年龄(岁)
[15,25)
[25,35)
[35,45)
[45,55)
[55,65)
[65,75]
频数
15
45
45
30
8
7
在网上购
物的人数
12
33
35
15
3
2
X
0
1
2
3
P
18
38
38
18
X
0
1
2
3
4
P
0.000 1
0.003 6
0.048 6
0.291 6
0.656 1
X
0
1
2
3
4
P
256625
256625
96625
16625
1625
Y
0
5
10
15
20
P
1256
364
27128
2764
81256
X
0
1
2
3
4
P
1256
364
27128
2764
81256