数学人教A版 (2019)7.4 二项分布与超几何分布一课一练

7.4.2　超几何分布

基础过关练

题组一　超几何分布及其概率计算

1.(2019湖南常德高二下期末)某工厂生产的100个产品中有90个一等品,10个二等品,现从这批产品中随机抽取4个,则其中恰有一个二等品的概率为(　　)

A.1- B.

C.      D.

2.一个班级共有30名学生,其中有10名女生,现从中任选3名学生代表班级参加学校开展的某项活动,假设选出的3名代表中女生的人数为变量X,男生的人数为变量Y,则P(X=2)+P(Y=2)等于(　　)

A.      B.

C. D.

3.(2020山东烟台栖霞四中高二下月考)盒中有10个螺丝钉,其中有3个是坏的,现从盒中随机地抽取4个,那么概率是的事件为(　　)

A.恰有1个是坏的

B.4个全是好的

C.恰有2个是好的

D.至多有2个是坏的

4.在10个排球中有6个正品,4个次品,从中随机抽取4个,则正品数比次品数少的概率为(　　)

A. B. 

C. D.

5.(多选)一个袋中装有6个同样大小的黑球,编号分别为1,2,3,4,5,6,还有4个同样大小的白球,编号分别为7,8,9,10.现从中任取4个球,下列变量服从超几何分布的是(　　)

A.X表示取出球的最大号码

B.Y表示取出球的最小号码

C.取出一个黑球记2分,取出一个白球记1分,Z表示取出的4个球的总得分

D.T表示取出的黑球个数

6.(2019辽宁抚顺高三一模)学校要从5名男生和2名女生中随机抽取2人参加社区志愿者服务,若用X表示抽取的志愿者中女生的人数,请写出随机变量X的分布列.(结果用分数表示)

7.箱中装有4个白球和m个黑球.规定取出一个白球得2分,取出一个黑球得1分,现从箱中任取3个球,假设每个球被取出的可能性都相等.记随机变量X为取出的3个球所得分之和.

(1)若P(X=6)=,求m的值;

(2)当m=3时,求X的分布列.

8.厂家在产品出厂前需对产品进行检验,厂家将一批产品发给商家时,商家按合同规定也需随机抽取一定数量的产品进行检验,以决定是否接收这批产品.

(1)若厂家库房中(视为数量足够多)的每件产品合格的概率为0.7,从中任意取出3件进行检验,求至少有2件是合格品的概率;

(2)若厂家发给商家20件产品,其中有4件不合格,按合同规定商家从这20件产品中任取2件进行检验,只有2件都合格时才接收这批产品,否则拒收.求该商家可能检验出的不合格产品的件数X的分布列,并求该商家拒收这批产品的概率.

题组二　超几何分布的期望与方差

9.(2020四川宜宾高三二模)为了加强环保知识的宣传,某学校组织了垃圾分类知识竞赛活动.活动设置了四个箱子,分别写有“厨余垃圾”“有害垃圾”“可回收物”“其他垃圾”,另有卡片若干张,每张卡片上写有一种垃圾的名称.每位参赛选手从所有卡片中随机抽取20张,按照自己的判断将每张卡片放入对应的箱子中.按规则,每正确投放一张卡片得5分,投放错误得0分.比如将写有“废电池”的卡片放入写有“有害垃圾”的箱子,得5分,放入其他箱子,得0分.从所有参赛选手中随机抽取20人,将他们的得分按照[0,20],(20,40],(40,60],(60,80],(80,100]分组,绘成如下频率分布直方图.

(1)分别求出所抽取的20人中得分落在[0,20]和(20,40]内的人数;

(2)从所抽取的20人中得分落在[0,40]内的选手中随机选取3名选手,以X表示这3名选手中得分不超过20分的人数,求X的分布列和数学期望.

10.(2020北京海淀育英中学高三月考)自由购是通过自助结算方式购物的一种形式.某大型超市为调查顾客使用自由购的情况,随机抽取了100名顾客,统计结果整理如下:

(1)现从中随机抽取1名顾客,试估计该顾客年龄在[30,50)内且未使用自由购的概率;

(2)从被抽取的年龄在[50,70]内使用自由购的顾客中随机抽取3人进一步了解情况,用X表示这3人中年龄在[50,60)内的人数,求X的分布列及数学期望;

(3)为鼓励顾客使用自由购,该超市拟对使用自由购的顾客赠送1个环保购物袋.若某日该超市预计有5 000人购物,试估计该超市当天至少应准备多少个环保购物袋.

11.(2020湖南衡阳八中高三下月考)为践行“绿水青山就是金山银山”的发展理念和提高生态环境的保护意识,某校高二年级准备成立一个环境保护兴趣小组.该年级理科班有男生400人,女生200人;文科班有男生100人,女生300人.现按男、女用分层随机抽样的方法从理科生中抽取6人,从文科生中抽取4人,组成环境保护兴趣小组,再从这10人的兴趣小组中抽出4人参加学校的环保知识竞赛.

(1)设事件A为“选出参加环保知识竞赛的4人中有两个男生、两个女生,而且这两个男生中文、理科生都有”,求事件A发生的概率;

(2)用X表示抽取的4人中文科女生的人数,求X的分布列及方差.

能力提升练

题组一　超几何分布的应用

1.(2020河南名校联盟高三调研,)某市移动公司为了提高服务质量,决定对使用A,B两种套餐的集团用户进行调查,准备从本市n个人数超过1 000的大集团和8个人数低于200的小集团中随机抽取若干个集团进行调查,已知一次抽取2个集团,全是小集团的概率为.

(1)求n的值;

(2)若抽取的2个集团是同一类集团,求全为大集团的概率;

(3)若一次抽取4个集团,假设取出小集团的个数为X,求X的分布列和期望.

2.(2019山东日照高二下期中,)微信是现代生活信息交流的重要工具,随机对使用微信的100人进行统计,得到如下数据统计表,每天使用微信时间在两小时以上的人被定义为“微信依赖”,不超过两小时的人被定义为“非微信依赖”,已知“非微信依赖”与“微信依赖”人数比恰为3∶2.

(1)确定x,y,p,q的值;

(2)为进一步了解使用微信对自己的日常工作和生活是否有影响,从“微信依赖”和“非微信依赖”的100人中用分层随机抽样的方法确定10人,若需从这10人中随机选取3人进行问卷调查,设选取的3人中“微信依赖”的人数为X,求X的分布列;

(3)求(2)中选取的3人中“微信依赖”至少2人的概率.

题组二　超几何分布与二项分布的综合应用

3.(2019山西太原第五中学高二月考,)某高校通过自主招生方式在A市招收一名优秀的高三毕业生,经过层层筛选,甲、乙两名学生进入最后测试,该校设计了一个测试方案:甲、乙两名学生各自从6个问题中随机抽3个问题回答.已知这6个问题中,学生甲能正确回答其中的4个问题,而学生乙能正确回答每个问题的概率为,甲、乙两名学生对每个问题的回答都是互不影响的.

(1)求甲、乙两名学生共答对2个问题的概率;

(2)请从期望和方差的角度分析,甲、乙两名学生哪位被录取的可能性更大.

4.(2020辽宁省实验中学、鞍山一中、东北育才学校等高三上期末联考,)某种水果按照果径大小可分为四类:标准果、优质果、精品果、礼品果.某采购商从采购的一批水果中随机抽取100个,利用水果的等级分类标准得到的数据如下:

(1)若将频率视为概率,从这100个水果中有放回地随机抽取4个,求恰好有2个水果是礼品果的概率;(结果用分数表示)

(2)用样本估计总体,果园老板提出两种购销方案给采购商参考.

方案1:不分类卖出,售价为20元/kg,

方案2:分类卖出,分类后的水果售价如下,

从采购商的角度考虑,应该采用哪种方案?

(3)用分层随机抽样的方法从这100个水果中抽取10个,再从抽取的10个水果中随机抽取3个,X表示抽取的是精品果的数量,求X的分布列及数学期望.

答案全解全析

7.4.2　超几何分布

基础过关练

1.D　由超几何分布的概率公式可知,所求概率为.故选D.

2.C　由题意得,P(X=2)=,

P(Y=2)=,

所以P(X=2)+P(Y=2)=.

故选C.

3.C　对于选项A,其概率为=.对于选项B,其概率为=.对于选项C,其概率为=.对于选项D,其包括没有坏的,有1个是坏的,有2个是坏的三种情况,根据A选项,恰好有1个是坏的概率为>,故D选项不正确.故选C.

4.A　由题意知有两种情况:0个正品、4个次品,1个正品、3个次品,

由超几何分布的概率可知,取出0个正品、4个次品的概率为=,

取出1个正品、3个次品的概率为==,

所以所求概率为+=.

故选A.

5.CD　根据超几何分布的概念可知,选项C、D正确.

6.答案　

解析　X的可能取值为0,1,2,

当X=0时,表示没有抽到女生;当X=1时,表示抽到1名女生;当X=2时,表示抽到2名女生,

∴P(X=0)==,

P(X=1)==,

P(X=2)==.

7.解析　(1)由题意得,只有当取出的3个球都是白球时,随机变量X=6,

∴P(X=6)==,即=10,所以m=1.

(2)由题意得,当m=3时,X的可能取值为3,4,5,6.

P(X=3)==,

P(X=4)==,

P(X=5)==,

P(X=6)==.

∴X的分布列为

8.解析　(1)“从中任意取出3件进行检验,至少有2件是合格品”记为事件A,

其中包含“恰有2件是合格品”和“3件都是合格品”两个基本事件,

∴P(A)=×0.72×0.3+0.73=0.784.

(2)X的可能取值为0,1,2,

P(X=0)==,P(X=1)==,

P(X=2)==,

∴X的分布列为

∵只有2件都合格时才接收这批产品,

∴商家拒收这批产品的对立事件为商家任取2件产品检验都合格,记“商家拒收这批产品”为事件B,

则P(B)=1-P(X=0)=,

∴商家拒收这批产品的概率为.

9.解析　(1)由题图知,所抽取的20人中得分落在[0,20]内的人数有0.005 0×20×20=2,得分落在(20,40]内的人数有0.007 5×20×20=3.

(2)由题意可知,X的可能取值为0,1,2,

P(X=0)==,

P(X=1)===,

P(X=2)==,

所以X的分布列为

所以E(X)=0×+1×+2×=.

10.解析　(1)在随机抽取的100名顾客中,年龄在[30,50)内且未使用自由购的共有3+14=17人,

所以随机抽取1名顾客,估计该顾客年龄在[30,50)内且未使用自由购的概率P=.

(2)X的可能取值为1,2,3,

P(X=1)==,

P(X=2)==,

P(X=3)==.

所以X的分布列为

所以E(X)=1×+2×+3×=2.

(3)在随机抽取的100名顾客中使用自由购的顾客共有3+12+17+6+4+2=44人,

所以估计该超市当天至少应准备环保购物袋的个数为×5 000=2 200.

11.解析　(1)由题意可得,抽取了理科男生4人,女生2人,文科男生1人,女生3人.

所以P(A)===.

(2)X的可能取值为0,1,2,3,

P(X=0)==,

P(X=1)==,

P(X=2)==,

P(X=3)==,

所以X的分布列为

所以E(X)=0×+1×+2×+3×=,

所以D(X)=×+×+×+×=.

能力提升练

1.解析　(1)由题意知共有(n+8)个集团,抽取2个集团的方法总数是,其中全是小集团的情况有种,故全是小集团的概率是==,

整理得(n+7)(n+8)=210,即n2+15n-154=0,解得n=7(n=-22舍去).

(2)若抽取的2个集团全是大集团,则共有=21种情况;若抽取的2个集团全是小集团,则共有=28种情况,

故所求概率为=.

(3)由题意知,X的可能取值为0,1,2,3,4,

P(X=0)==,

P(X=1)==,

P(X=2)==,

P(X=3)==,

P(X=4)==.

故X的分布列为

所以E(X)=0×+1×+2×+3×+4×=.

2.解析　(1)由题可知“非微信依赖”人数为100×=60,则“微信依赖”人数为40,

故可得x=60-(5+15+15)=25,则p==0.25;y=40-30=10,则q==0.10.

(2)根据题意,10人中“非微信依赖”人数为60×=6,“微信依赖”人数为40×=4.

则X的可能取值为0,1,2,3,

P(X=0)==,P(X=1)==,

P(X=2)==,P(X=3)==.

故X的分布列为

(3)由题可知选取的3人中“微信依赖”至少2人的概率为P(X≥2),

由(2)中分布列可得P(X≥2)=+=.

故选取的3人中“微信依赖”至少2人的概率为.

3.解析　(1)由题意得甲、乙两名学生共答对2个问题的概率

P=×××+×××=.

(2)设学生甲答对的题数为X,则X的可能取值为1,2,3,

P(X=1)==,P(X=2)==,P(X=3)==,

则E(X)=1×+2×+3×=2,

D(X)=(1-2)2×+(2-2)2×+(3-2)2×=.

设学生乙答对题数为Y,则Y的可能取值为0,1,2,3,

由题意知Y~B,则E(Y)=3×=2,D(Y)=3××=,

∴E(X)=E(Y),D(X)<D(Y),

∴甲被录取的可能性更大.

4.解析　(1)设“从100个水果中随机抽取1个,抽到礼品果”为事件A,则P(A)==,

现有放回地随机抽取4个,设抽到礼品果的个数为Z,则Z~B,

∴恰好抽到2个礼品果的概率P(Z=2)==.

(2)设方案2中水果的售价为Y,则

E(Y)=16×+18×+22×+24×==20.6.

∵E(Y)>20,∴从采购商的角度考虑,应该采用方案1.

(3)用分层随机抽样的方法从100个水果中抽取10个,则其中精品果4个,非精品果6个.

现从中随机抽取3个,则精品果的数量X服从超几何分布,其可能的取值为0,1,2,3.

P(X=0)==,P(X=1)==,

P(X=2)==,P(X=3)==.

∴X的分布列为

∴E(X)=0×+1×+2×+3×=.