高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第三册第七章 随机变量及其分布本章综合与测试练习

专题强化练6　均值与方差

一、选择题

1.(2019河南郑州高二下期末,)已知随机变量X的可能取值为1,2,3,若P(X=3)=,E(X)=,则D(X)=(　　)

A. B. C. D.

2.(2020浙江湖州中学高三月考,)已知甲、乙两个盒子中分别装有两种大小相同的动物玩具,甲盒中有2只熊猫,1只狗;乙盒中有1只熊猫,2只狗.现从甲、乙两个盒中依次不放回地各取走两个动物玩具,此时记甲盒中的熊猫只数为X1,乙盒中的熊猫只数为X2,则(　　)

A.E(X1)<E(X2),D(X1)=D(X2) 

B.E(X1)>E(X2),D(X1)=D(X2)

C.E(X1)>E(X2),D(X1)>D(X2) 

D.E(X1)<E(X2),D(X1)<D(X2)

3.()交强险是车主必须为机动车购买的险种,若普通6座以下私家车投保交强险的基准保费为a,在下一年续保时,实行费率浮动机制,保费与车辆发生道路交通事故出险的情况相联系,最终保费=基准保费×(1+与道路交通事故相联系的浮动比率),具体情况如下表:

为了解某一品牌普通6座以下私家车的投保情况,随机抽取100辆车龄已满三年的该品牌同型号私家车并了解其下一年续保时的情况,统计如下表:

若以这100辆该品牌同型号私家车的投保类别的频率代替一辆车投保类别的概率,则随机抽取一辆该品牌同型号私家车,其在第四年续保时费用的期望为(　　)

A.a B.0.958a C.0.957a D.0.956a

二、填空题

4.()一个口袋里装有大小相同的6个小球,其中红色、黄色、绿色的球各2个,现从中任意取出3个小球,其中恰有2个小球同颜色的概率是　　　　.若取到红球得1分,取到黄球得2分,取到绿球得3分,记X为取出的3个小球得分之和,则X的期望为　　　　. 

5.(2020湖北孝感二中高二模拟,)某蔬菜种植基地将采摘的有机蔬菜以每份三斤称重并保鲜分装,以每份10元的价格销售到生鲜超市,超市以每份15元的价格卖给顾客,如果当天前8小时卖不完,则超市通过促销以每份5元的价格卖给顾客(根据经验,当天能够把剩余的有机蔬菜都低价处理完毕,且处理完毕后,当天不再进货).该生鲜超市统计了100天有机蔬菜在每天的前8小时内的销售量(单位:份),制成如下表格(x,y∈N*).以频率作为概率,该生鲜超市当天销售有机蔬菜利润的期望为决策依据,若购进17份比购进18份的利润的期望大,则x的最小值是　　　　. 

三、解答题

6.()某烘焙店加工一个成本为60元的蛋糕,然后以每个120元的价格出售,如果当天卖不完,剩下的这种蛋糕将作为餐厨垃圾处理.

(1)若烘焙店一天加工16个这种蛋糕,求当天的利润y(单位:元)关于当天的需求量n(单位:个,n∈N)的函数解析式;

(2)烘焙店记录了100天这种蛋糕的日需求量(单位:个),整理得下表:

X表示当天的利润(单位:元),以频率作为概率.

①若烘焙店一天加工16个这种蛋糕,求X的分布列,数学期望与方差;

②若烘焙店一天加工16个或17个这种蛋糕,仅从获得利润大的角度考虑,你认为应加工16个还是17个这种蛋糕?请说明理由.

答案全解全析

专题强化练6　均值与方差

一、选择题

1.C　设P(X=1)=p,P(X=2)=q,

则+p+q=1,①

E(X)=p+2q+3×=,②

由①②得,p=,q=,

∴D(X)=×+×+×=,故选C.

2.B　根据题意可得X1的可能取值为0,1,X2的可能取值为0,1,

P(X1=0)==,

P(X1=1)=+×1=,

所以X1的分布列为

P(X2=0)=+×1=,

P(X2=1)==,

所以X2的分布列为

则E(X1)=0×+1×=,

D(X1)=×+×= ,

E(X2)=0×+1×=,

D(X2)=×+×=.

所以E(X1)>E(X2),D(X1)=D(X2).

故选B.

3.D　由题意可设一辆该品牌同型号私家车在第四年续保时的费用为X,则X的可能取值有0.9a,0.8a,0.7a,a,1.1a,1.3a,且对应的概率分别为

P(X=0.9a)==0.2,

P(X=0.8a)==0.1,

P(X=0.7a)==0.1,

P(X=a)==0.38,

P(X=1.1a)==0.2,

P(X=1.3a)==0.02,

所以E(X)=0.9a×0.2+0.8a×0.1+0.7a×0.1+a×0.38+1.1a×0.2+1.3a×0.02=0.956a.

故选D.

二、填空题

4.答案　;6

解析　根据题意,红、黄、绿球分别记为A1,A2,B1,B2,C1,C2,则任取3个小球共有=20种不同的情况,而其中恰有2个小球同颜色的情况有3=12种,故所求概率为=.

由题意得,X的可能取值为4,5,6,7,8,

P(X=4)==,

P(X=5)==,

P(X=6)==,

P(X=7)==,

P(X=8)==,

因此E(X)=4×+5×+6×+7×+8×=6.

5.答案　25

解析　由题意可得x+y=30,故y=30-x(x,y∈N*).

若该超市一天购进17份这种有机蔬菜,Y1表示当天的利润(单位:元),那么Y1的分布列为

Y1的数学期望E(Y1)=65×+75×+85×=83-.

若该超市一天购进18份这种有机蔬菜,Y2表示当天的利润(单位:元),那么Y2的分布列为

Y2的数学期望E(Y2)=60×+70×+80×+90×=-.

∵购进17份比购进18份的利润的期望大,

∴83->-,且x<30,

解得24<x<30,又x∈N*,

∴x的最小值为25.

三、解答题

6.解析　(1)由题意,当n∈[0,16),且n∈N时,利润y=120n-960;

当n∈[16,+∞),且n∈N时,利润y=(120-60)×16=960.

综上,当天的利润y关于当天的需求量n的函数解析式为

y=

(2)①由(1)可得,

当n=14时,利润X=120×14-960=720;

当n=15时,利润X=120×15-960=840;

当n≥16时,利润X=960,

结合题中表格可得X的分布列为

所以E(X)=720×0.1+840×0.2+960×0.7=912;

D(X)=(720-912)2×0.1+(840-912)2×0.2+(960-912)2×0.7=6 336.

②若加工17个这种蛋糕,

当n=14时,利润X=120×14-60×17=660;

当n=15时,利润X=120×15-60×17=780;

当n=16时,利润X=120×16-60×17=900;

当n≥17时,利润X=(120-60)×17=1 020.

故X的分布列为

则E(X)=660×0.1+780×0.2+900×0.16+1 020×0.54=916.8>912,

所以从数学期望来看,一天加工17个这种蛋糕的利润高于一天加工16个这种蛋糕的利润,故应加工17个这种蛋糕.