人教版 (2019)必修 第二册3 万有引力理论的成就复习练习题

第七章　万有引力与宇宙航行

专题强化练7　双星、多星模型

一、选择题

1.(2020山东临沂罗庄高二上期中,)银河系的恒星中有很多是双星。某双星由质量为M的星球A和质量为m的星球B构成,两星在相互的万有引力作用下绕两者连线上的某一定点O做匀速圆周运动。已知M>m,两星球之间的距离为L,下列说法正确的是(　　)

A.星球A运动的轨道半径大

B.星球B运动的线速度大

C.星球B的运动周期大

D.星球B的向心力大

2.(2020广东深圳第二高级中学高一下月考,)(多选)宇宙中,两颗靠得比较近的恒星,受到彼此之间的万有引力作用而互相绕转,称之为双星系统。在浩瀚的银河系中,有许多恒星是双星。设某双星系统A、B绕其连线上的O点做匀速圆周运动,如图所示,若AO>OB,则(　　)

A.星球A的质量一定大于B的质量

B.星球A的向心加速度一定大于B的向心加速度

C.A与B运动的角速度相等

D.双星的总质量一定,双星之间的距离越大,其转动周期越小

3.(2020山东烟台高二上期中,)(多选)天文学家观测到一个双星系统由主星α和伴星β构成,其主星α不断向外喷射物质,使其质量不断减小。假设该双星系统演化的初期,它们之间的距离不变,它们运动的轨道近似为圆轨道,伴星β的质量不变。则在演化初期,该双星系统(深度解析)

A.做圆周运动的周期将不断增大

B.做圆周运动的周期将不断减小

C.主星α的轨道半径不断变大

D.伴星β的线速度不断变大

4.(2020河北石家庄实验中学高一下月考,)(多选)2017年10月16日,南京紫金山天文台对外发布一项重大发现,我国南极巡天望远镜追踪探测到首例引力波事件光学信号。关于引力波,早在1916年爱因斯坦基于广义相对论预言了其存在。1974年拉塞尔·赫尔斯和约瑟夫·泰勒发现赫尔斯-泰勒脉冲双星,这个双星系统在互相绕转时,由于不断发射引力波而失去能量,因此逐渐相互靠近,这种现象为引力波的存在提供了首个间接证据。以上叙述中,若不考虑赫尔斯-泰勒脉冲双星质量的变化,则关于赫尔斯-泰勒脉冲双星的下列说法正确的是(　　)

A.脉冲双星逐渐靠近的过程中,它们的角速度不变

B.脉冲双星逐渐靠近的过程中,它们相互绕转的周期逐渐变小

C.脉冲双星逐渐靠近的过程中,它们各自做圆周运动的轨道半径逐渐减小,但轨道半径的比值保持不变

D.若测出脉冲双星相互绕转的周期,就可以求出双星的总质量

二、非选择题

5.(2020北京清华附中高一下期末,)如图所示,三颗质量均为m的恒星,分别位于一个边长为a的等边三角形的三个顶点上,它们仅受彼此的万有引力作用,且正在以三角形的中心O点为圆心、在三角形所在的平面内做匀速圆周运动。已知引力常量为G,则此系统的角速度ω=　　　　。(提示:对于其中的任意一颗恒星,另外两颗恒星对它的万有引力的合力指向O点,且提供向心力) 

6.(2020山东普通高中学业水平考试模拟,)宇宙中存在一些由四颗星球组成的四星系统,它们的质量相等且距离其他恒星较远,通常可忽略其他星球对它们的引力作用。已知每颗星球的质量均为M、半径均为R,四颗星球分别稳定在边长为a的正方形的四个顶点上,这四颗星球均围绕正方形对角线的交点做匀速圆周运动,引力常量为G。求:

(1)星球表面的重力加速度g;

(2)星球做匀速圆周运动的半径r;

(3)星球做匀速圆周运动的周期T。

答案全解全析

1.B　双星的角速度相等,万有引力提供向心力,有Mω2rA=mω2rB,得rA=rB,由于M>m,则rA<rB,选项A错误;线速度v=ωr,由于rA<rB,则vA<vB,即星球B运动的线速度大,选项B正确;双星做圆周运动的周期相等,选项C错误;双星间的万有引力提供星球做圆周运动的向心力,双星间的万有引力是一对作用力与反作用力,两星球的向心力大小相等,选项D错误。

2.BC　设A的质量为m1,B的质量为m2,两星体间距为L,O点到A的距离为r1,到B的距离为r2,A、B均绕O点转动,二者的角速度大小相等,由万有引力提供向心力,有G=m1ω2r1=m2ω2r2,由于r1>r2,得到m1<m2,即A的质量一定小于B的质量,选项A错误,C正确。由于二者角速度大小相等,根据向心加速度公式an=ω2r,且r1>r2,可知星球A的向心加速度一定大于B的向心加速度,选项B正确。根据万有引力提供向心力,可得G=m1r1=m2r2,且r1+r2=L,整理可以得到T=2π,可知双星的总质量一定,双星之间的距离越大,其转动周期越大,选项D错误。

3.AC　根据G=mβrβ=mαrα,可得=rβ,G=rα,两式相加,可得=(rα+rβ),即G(mα+mβ)=L3,因mα不断减小,mβ和间距L不变,可知该双星系统做圆周运动的周期将不断增大,选项A正确,B错误。由G=rα可知,由于mβ和L不变,周期T不断变大,则rα不断变大;由于间距L=rα+rβ,且L不变,则rβ不断减小;由vβ=可知vβ不断减小,选项C正确,D错误。

导师点睛

解决双星问题时,应注意以下三点:其一,两星之间的万有引力提供各自做圆周运动的向心力;其二,两星绕某一圆心做匀速圆周运动的绕向相同、周期相同;其三,两星的轨道半径之和等于两星间的距离。

4.BC　设脉冲双星的质量及轨道半径分别为m1、m2,r1、r2,则间距L=r2+r1。由于=m1ω2r1=m2ω2r2,得m1=,m2=,则双星的总质量m1+m2==,整理得G(m1+m2)=L3ω2,由于总质量不变,脉冲双星逐渐靠近的过程中L变小,则ω变大,由T=可知周期逐渐变小,选项A错误,B正确。由于m1ω2r1=m2ω2r2,可得=,可知轨道半径的比值保持不变;因为L=r2+r1,脉冲双星逐渐靠近的过程中L变小,所以它们各自做圆周运动的轨道半径逐渐减小,选项C正确。由以上分析可知m1+m2==,要想求出脉冲双星的总质量,需要知道周期T和双星间距L,选项D错误。

5.答案　

解析　三颗质量均为m的恒星,分别位于一个边长为a的等边三角形的三个顶点上,等边三角形的三个角均为60°。任意两颗恒星之间的万有引力为F=。根据平行四边形定则,可得每一颗恒星受到的合力F合=2F cos 30°=F=G;由几何关系得r cos 30°=,解得r=a;根据任意一颗恒星所受的另外两颗恒星对它的万有引力的合力提供向心力,有G=mω2r,解得ω=。

6.答案　(1)G　(2)a　(3)2πa

解析　(1)质量为m的物体在某星球表面上时,其所受重力等于该星球对它的万有引力,即mg=G

解得g=G

(2)由于四颗星球均围绕正方形对角线的交点做匀速圆周运动,由几何关系可知,每颗星球做圆周运动的半径均为r=a。

(3)任意一颗星球在其他三颗星球的引力作用下围绕正方形对角线的交点做匀速圆周运动,由万有引力定律及圆周运动的知识可知G+2G cos45°=Mr

解得T=2πa