北师大版八年级下册4 分式方程教学设计

4　分式方程

第1课时　分式方程的概念及列分式方程

教学目标

一、基本目标

1．理解分式方程的概念．

2．能够根据实际问题建立分式方程的数学模型，并能归纳出分式方程的描述性定义．

3．经历“实际问题——建立分式方程模型”的过程，提高学生分析问题、解决问题的能力，培养学生的应用意识．

二、重难点目标

【教学重点】

分式方程的概念．

【教学难点】

根据题意列分式方程．

教学过程

环节1　自学提纲，生成问题

【5 min阅读】

阅读教材P125的内容，完成下面练习．

【3 min反馈】

1．分母中含有未知数的方程叫做分式方程．

2．下列方程中，哪些是分式方程？哪些是整式方程？

①＝；②＋＝7；③＝；④＝－1；⑤＝；⑥2x＋＝10；⑦x－＝2；⑧＋3x＝1.

解：①⑤⑥是整式方程，②③④⑦⑧是分式方程．

3．甲、乙两人加工同一种服装，乙每天比甲多加工一件，乙加工服装24件所用的时间与甲加工服装20件所用的时间相同．如何用方程来描述其中数量间的相等关系？

解：设甲每天加工服装x件，可得方程＝.

环节2　合作探究，解决问题

活动1　小组讨论(师生互学)

【例1】下列关于x的方程中，是分式方程的是(　　)

A．＝　　B．＝＋3

C．＋1＝　　D．＝1－

【互动探索】(引发学生思考)如何判断一个方程是否是分式方程？

【分析】A、 B中方程分母不含未知数，故不是分式方程；C中方程分母不含表示未知数的字母，π是常数；D中方程分母含未知数x，故是分式方程．

【答案】D

【互动总结】(学生总结，老师点评)判断一个方程是否为分式方程，主要是看分母中是否含有未知数．注意：仅仅是字母不行，必须是表示未知数的字母．

【例2】某工厂生产一种零件，计划在20天内完成，若每天多生产4个，则15天完成且还多生产10个．设原计划每天生产x个，根据题意可列分式方程为(　　)

A．＝15　　B．＝15

C．＝15　　D．＝15

【互动探索】(引发学生思考)题中存在着怎样的数量关系？

【分析】原计划每天生产x个，则实际每天生产(x＋4)个，根据题意可得等量关系：(原计划20天生产的零件个数＋10个)÷实际每天生产的零件个数＝15天，根据等量关系列出方程为＝15.

【答案】A

【互动总结】(学生总结，老师点评)此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程．

活动2　 巩固练习(学生独学)

1．下列方程是分式方程的是(　A　)

A．＝　　 B．＝－2

C．2x2＋x－3＝0　 D．2x－5＝

2．运动会上，八(3)班拉拉队买了两种价格的雪糕，其中甲种雪糕共花费40元，乙种雪糕共花费30元，甲种雪糕比乙种雪糕多20根，乙种雪糕的价格是甲种雪糕价格的1.5倍，若设甲种雪糕的价格为x元，根据题意可列方程为(　B　)

A．－＝20　　B．－＝20

C．－＝20　　D．－＝20

3．一个两位数的个位数字是4，如果把个位数字与十位数字对调，那么所得的两位数与原两位数的比值是.如何用方程来描述其中数量之间的相等关系？

解：设对调前这个两位数的十位数字是x，可得方程＝.

4．某校学生到离学校15 km处植树，部分学生骑自行车出发40 min后，其余学生乘汽车出发，汽车速度是自行车速度的3倍，全体学生同时到达．如何用方程来描述其中数量之间的相等关系？

解：设自行车的速度为x km/h，则汽车的速度为3x km/h，可得方程＝＋.

环节3　课堂小结，当堂达标

(学生总结，老师点评)

1．分式方程的概念

2．列分式方程

练习设计

请完成本课时对应练习！

第2课时　分式方程的解法

教学目标

一、基本目标

1．掌握解分式方程的基本方法和步骤．

2．经历和体会解分式方程的基本步骤，使学生进一步了解“转化”思想，能将分式方程转化为整式方程，从而找到解分式方程的方法．

二、重难点目标

【教学重点】

解分式方程的基本方法和步骤．

【教学难点】

检验分式方程的解．

教学过程

环节1　自学提纲，生成问题

【5 min阅读】

阅读教材P126～P127的内容，完成下面练习．

【3 min反馈】

1．使分式方程分母为零的根，称为分式方程的增根．产生增根的原因是在方程两边同乘了一个使分母为零的整式．

2．解分式方程的一般步骤是：(1)去分母；(2)解整式方程；(3)验根；(4)小结．

3．解方程：＝.

解：x＝9.

环节2　合作探究，解决问题

活动1　小组讨论(师生互学)

【例1】解方程：

(1)＝；　(2)＝－3.

【互动探索】(引发学生思考)将分式方程化为一元一次方程进行求解．

【解答】(1)方程两边同乘x(x－2)，

得5(x－2)＝7x，解得x＝－5.

检验：把x＝－5代入最简公分母，

得x(x－2)≠0，∴x＝－5是原方程的解．

(2)方程两边同乘(x－2)，

得1＝x－1－3(x－2)，解得x＝2.

检验：把x＝2代入最简公分母，

得x－2＝0，∴原方程无解．

【互动总结】(学生总结，老师点评)解分式方程的步骤：(1)去分母；(2)解整式方程；(3)检验；(4)写出方程的解．注意检验有两种方法，一是代入原方程，二是代入去分母时乘的最简公分母，一般是代入最简公分母检验．

活动2　 巩固练习(学生独学)

1．若方程＝＋有增根，则增根为(　A　)

A．0　 B．2　　

C．0或2　 D．1

2．如果关于x的分式方程＝1－有增根，则m的值为(　B　)

A．－3　 B．－2　　

C．－1　 D．3

3．关于x的方程＝1的解是正数，则a的取值范围是　a＜－1且a≠－2.

4．解方程：

(1)＝；　(2)＝＋1；

(3)＝；　(4)－＝0.

解：(1)x＝1.　(2)x＝－.

(3)原方程无解．　(4)x＝.

活动3　 拓展延伸(学生对学)

【例2】若关于x的分式方程＋＝无解，求m的值．

【互动探索】先把分式方程化为整式方程，再分两种情况讨论求解：一元一次方程无解与分式方程有增根．

【解答】方程两边都乘(x＋2)(x－2)，得2(x＋2)＋mx＝3(x－2)，即(m－1)x＝－10.

①当m－1＝0时，此方程无解，此时m＝1.

②方程有增根，则x＝2或x＝－2.

当x＝2时，代入(m－1)x＝－10，得(m－1)×2＝－10，m＝－4.

当x＝－2时，代入(m－1)x＝－10，得(m－1)×(－2)＝－10，解得m＝6.

∴m的值是1，－4或6.

【互动总结】(学生总结，老师点评)分式方程无解与分式方程有增根所表达的意义是不一样的．分式方程有增根仅仅针对使最简公分母为0的数，分式方程无解不但包括使最简公分母为0的数，而且还包括分式方程化为整式方程后，使整式方程无解的数．

环节3　课堂小结，当堂达标

(学生总结，老师点评)

1．分式方程的解法

方程两边同乘最简公分母，化为整式方程求解，再检验．

2．分式方程的增根

(1)解分式方程会产生增根的原因；

(2)分式方程检验的方法．

练习设计

请完成本课时对应练习！

第3课时　分式方程的应用

教学目标

一、基本目标

1．通过创设日常生活中的情境，经历探索分式方程应用的过程，会检验根的合理性．

2．经历“实际问题情境——建立分式方程模型——解分式方程——检验解的合理性”的过程，进一步提高学生分析问题和解决问题的能力．

二、重难点目标

【教学重点】

分式方程的应用．

【教学难点】

在实际问题中建立分式方程的模型．

教学过程

环节1　自学提纲，生成问题

【5 min阅读】

阅读教材P129的内容，完成下面练习．

【3 min反馈】

1列分式方程解应用题的步骤：

(1)审题；

(2)设未知数；

(3)找出相等关系，列出分式方程；

(4)解这个分式方程；

(5)检验，看方程的解是否满足方程并符合题意；

(6)写出答案．

2．某单位向一所希望小学赠送1080件文具，现用A、B两种不同的包装箱进行包装，已知每个B型包装箱比A型包装箱多装15件文具，单独使用B型包装箱比单独使用A型包装箱可少用12个．设B型包装箱每个可以装x件文具，根据题意列方程为　＝－12　.

3．某市政府打算把一块荒地建成公园，动用了一台甲型挖土机，4天挖完了这块地的一半．后又加一台乙型挖土机，两台挖土机一起挖，结果1天就挖完了这块地的另一半．乙型挖土机单独挖这块地需要几天？

甲型挖土机4天完成了一半，那么甲型挖土机每天挖÷4＝，如果设乙型挖土机单独挖这块地需要x天，那么一天挖；两台挖土机一天共挖＋；两台一天完成另一半．所以列方程为＋＝；解得x＝，即乙单独挖需天．

环节2　合作探究，解决问题

活动1　小组讨论(师生互学)

【例1】抗洪抢险时，需要在一定时间内筑起拦洪大坝，甲队单独做正好按期完成，而乙队由于人少，单独做则超期3个小时才能完成．现甲、乙两队合作2个小时后，甲队又有新任务，余下的由乙队单独做，刚好按期完成．求甲、乙两队单独完成全部工程各需多少小时？

【互动探索】(引发学生思考)设甲队单独完成需要x小时，则乙队需要(x＋3)小时，根据等量关系“甲工作效率×2＋乙工作效率×甲队单独完成需要时间＝1”列方程．

【解答】设甲队单独完成需要x小时，则乙队需要(x＋3)小时．

由题意，得＋＝1.解得x＝6.

经检验x＝6是方程的解．∴x＋3＝9.

故甲单独完成全部工程需6小时，乙单独完成全部工程需9小时．

【互动总结】(学生总结，老师点评)解决工程问题的思路方法：各部分工作量之和等于1，常从工作量和工作时间上考虑相等关系．

【例2】从广州到某市，可乘坐普通列车或高铁，已知高铁的行驶路程是400千米，普通列车的行驶路程是高铁的行驶路程的1.3倍．

(1)求普通列车的行驶路程；

(2)若高铁的平均速度(千米/时)是普通列车平均速度(千米/时)的2.5倍，且乘坐高铁所需时间比乘坐普通列车所需时间缩短3小时，求高铁的平均速度．

【互动探索】(引发学生思考)(1)根据高铁的行驶路程是400千米和普通列车的行驶路程是高铁的行驶路程的1.3倍，两数相乘即可；(2)设普通列车的平均速度是x千米/时，根据乘坐高铁所需时间比乘坐普通列车所需时间缩短3小时，列出分式方程，然后求解即可．

【解答】(1)根据题意，得400×1.3＝520(千米)．

故普通列车的行驶路程是520千米．

(2)设普通列车的平均速度是x千米/时，则高铁的平均速度是2.5x千米/时．

根据题意，得－＝3，解得x＝120.

经检验，x＝120是原方程的解．

则高铁的平均速度是120×2.5＝300(千米/时)．

【互动总结】(学生总结，老师点评)解决问题的关键是分析题意，找到关键描述语和合适的等量关系是解决问题的关键．

活动2　 巩固练习(学生独学)

1．小丽乘坐汽车从青岛到黄岛奶奶家，她去时经过环湾高速公路，全程约84千米，返回时经过跨海大桥，全程约45千米．小丽所乘汽车去时的平均速度是返回时的1.2倍，所用时间却比返回时多20分钟．求小丽所乘汽车返回时的平均速度．

解：设小丽所乘汽车返回时的平均速度是x千米/时．

根据题意，得－＝.

解得x＝75，

经检验，x＝75是原方程的解．

故小丽所乘汽车返回时的平均速度是75千米/时．

2．某厂原计划在规定时间内生产通讯设备60台，由于改进了技术，每天生产的台数比原计划多50%，结果提前两天完成任务．求改进技术后每天生产通讯设备多少台．

解：设改进技术前每天生产x台．

根据题意，得＝＋2.

解得x＝10.

经检验，x＝10是原方程的解，则1.5x＝15.

所以改进技术后每天生产通讯设备15台．

3．一列火车从车站开出，预计行程为450千米，当它出发3小时后，因特殊情况而多停一站，因此耽误30分钟，后来把速度提高了20%，结果准时到达目的地，求这列火车原来的速度．

解：设这列火车原来的速度为x千米/时．

根据题意，得＝3＋＋.

解得x＝75.

经检验，x＝75是原方程的解．

所以这列火车原来的速度为75千米/时．

4．甲、乙两人准备整理一批新到的实验器材，若甲单独整理需要40分钟完工，若甲、乙共同整理20分钟后，乙需要再单独整理20分钟才能完工．

(1)乙单独整理需要多少分钟完工？

(2)若乙因工作需要，他的整理时间不超过30分钟，则甲至少整理多少分钟才能完工？

解：(1)设乙单独整理需要x分钟完工．

根据题意，得＋＝1.

解得x＝80.

经检验，x＝80是原分式方程的解．

故乙单独整理需要80分钟完工．

(2)设甲至少整理y分钟才能完工．

根据题意，得＋≥1.

解得y≥25.

故甲至少整理25分钟才能完工．

活动3　 拓展延伸(学生对学)

【例3】佳佳果品店在批发市场购买某种水果销售，第一次用1200元购进若干千克，并以每千克8元出售，很快售完．由于水果畅销，第二次购买时，每千克的进价比第一次提高了10%，用1452元所购买的数量比第一次多20千克，以每千克9元售出100千克后，因出现高温天气，水果不易保鲜，为减少损失，便降价50%售完剩余的水果．

(1)第一次水果的进价是每千克多少元？

(2)该果品店在这两次销售中，总体上是盈利还是亏损？盈利或亏损了多少元？

【互动探索】(1)根据第二次购买水果数多20千克，可列出方程，解方程即可得出答案；(2)先计算两次购买水果的数量，赚钱情况：销售的水果量×(实际售价－当次进价)，两次合计，就可以求得是盈利还是亏损了．

【解答】(1)设第一次购买的单价为x元，则第二次的单价为1.1x元．

根据题意，得－＝20.

解得x＝6.

经检验，x＝6是原方程的解．

故第一次水果的进价为每千克6元．

(2)第一次购买水果1200÷6＝200(千克)．

第二次购买水果200＋20＝220(千克)．

第一次赚钱为200×(8－6)＝400(元)，

第二次赚钱为100×(9－6.6)＋120×(9×0.5－6.6)＝－12(元)．

所以两次共盈利400－12＝388(元)．

【互动总结】(学生总结，老师点评)本题具有一定的综合性，应该把问题分解成购买水果和卖水果两部分分别考虑．

环节3　课堂小结，当堂达标

(学生总结，老师点评)

列分式方程解应用题的步骤——

练习设计

请完成本课时对应练习！